Fibracja przestrzeni ścieżki

W topologii algebraicznej włóknienie przestrzeni ścieżki w przestrzeni bazowej jest włóknieniem postaci ${\ Displaystyle (X, *)}$

{\ Displaystyle \ Omega X \ hookrightarrow PX {\ overset {\ chi \ mapsto \ chi (1)} {\ do}} X}

Gdzie

$X$ przestrzenią ; _ _ _ tj. ${\ Displaystyle PX = \ operatorname {Mapa} (I, X) = \ {f \ dwukropek I\to X\mid f\ {\text{ciągły}},f(0)=*\}}$ wyposażony w topologię zwarto-otwartą .
${\ Displaystyle \ Omega X}$ jest włóknem ${\ Displaystyle \ chi \ mapsto \ chi (1)}$ nad punktem bazowym X ; jest to zatem przestrzeń pętli X .

Przestrzeń składa się ze wszystkich map od $I$ do X , mogą nie zachowywać punktów bazowych nazywa się to przestrzenią swobodnej ścieżki X i fibracją określoną przez, powiedzmy, X ${\ Displaystyle X ^ {I} \ do X}$ $\ mapsto \ chi (1 )}$ , nazywa się fibracją przestrzeni swobodnej ścieżki .

Fibracja przestrzeni ścieżki może być rozumiana jako podwójna względem stożka mapującego . ^{[ potrzebne wyjaśnienie ]} Zredukowane włóknienie nazywane jest włóknem mapującym lub równoważnie włóknem homotopowym .

Mapowanie przestrzeni ścieżki

Jeśli $Y.$ $mapą$ , to przestrzeń $_$ _ ${\ Displaystyle Y ^ {I} \ do Y, \, \ chi \ mapsto \ chi (1)}$ wzdłuż ${\ Displaystyle f}$ . (Przestrzeń ścieżki odwzorowania spełnia uniwersalną właściwość, która jest podwójna do właściwości cylindra odwzorowania, którym jest wypchnięcie. Z tego powodu przestrzeń ścieżki odwzorowania jest również nazywana współcylindrem odwzorowania ) .

Ponieważ fibracja cofa się do fibracji, jeśli Y jest oparte, mamy fibrację

{\ Displaystyle F_ {f} \ hookrightarrow P_ {f} {\ overset {p} {\ do}} Y

gdzie ${\ Displaystyle p (x, \ chi) = \ chi (0)}$ ${\ Displaystyle PY {\ overset {\ chi \ mapsto \ chi (1)} {\ longrightarrow}} Y}$ $jest$ włóknem homotopii wycofaniem fibracji wzdłuż ${\ displaystyle f}$ .

Zwróć też uwagę na kompozycję ${\ displaystyle f}$

{\ Displaystyle X {\ overset {\ phi} {\ do}} P_ {f} {\ overset {p} {\ do}} Y}

gdzie pierwsza mapa ${$ x do ( $f (x)})}$ ; tutaj do $\ Displaystyle c_ {f (x)}}$ oznacza stałą ścieżkę o wartości ${\ Displaystyle f (x)}$ . Oczywiście , $jest$ równoważnością ; zatem powyższy rozkład mówi, że każda mapa jest rozwłóknieniem aż do równoważności homotopii.

Jeśli na $początek jest$ $jest$ , to mapa równoważnością fa ${\ displaystyle f}$ $\ displaystyle f}$ nad składową ścieżki punktu bazowego są homotopią równoważną włóknu homotopii $\ displaystyle F_ {f}}$ fa .

Przestrzeń ścieżki Moore'a

Z definicji ścieżka w przestrzeni X jest mapą od przedziału jednostkowego I do X . $\ Displaystyle \ alpha (1) = \ beta (0)}$ z definicji iloczyn dwóch ścieżek $)$ że jest ścieżką ${\ Displaystyle \ beta \ cdot \ alfa \ dwukropek I \ do X}$ podane przez:

{\ Displaystyle (\ beta \ cdot \ alfa) (t )={\begin{przypadki}\alpha (2t)&{\text{if }}0\równoważnik t\równik 1/2\\\beta (2t-1)&{\text{jeśli }}1/2 \leq t\leq 1\\\end{przypadki}}}

.

Ten produkt na ogół nie jest asocjacyjny na nosie: ${\ Displaystyle (\ gamma \ cdot \ beta) \ cdot \ alfa \ neq \ gamma \ cdot (\beta \cdot \alpha )}$ , jak widać bezpośrednio. Jednym z rozwiązań tego niepowodzenia jest przejście do klas homotopii : jeden ma ${\ Displaystyle [(\ gamma \ cdot \ beta) \ cdot \ alfa] = [\ gamma \ cdot (\ beta \ cdot \ alfa)]}$ . Innym rozwiązaniem jest praca ze ścieżkami o dowolnej długości, prowadząca do opisanych poniżej pojęć przestrzeni ścieżek Moore'a i fibracji przestrzeni ścieżek Moore'a. (Bardziej wyrafinowanym rozwiązaniem jest ponowne przemyślenie kompozycji: praca z dowolną rodziną kompozycji; patrz wstęp do artykułu Lurie, prowadzący do pojęcia opery ) .

Biorąc pod uwagę przestrzeń opartą, pozwalamy ${\ Displaystyle (X, *)}$

{\ Displaystyle P'X = \ {f \ dwukropek [0, r] \ do X \ mid r \ geq 0, f (0) = * \}.}

Element f tego zestawu ma unikalne rozszerzenie $\ Displaystyle [0, \ infty$ przedziału [ $}$ ${\ Displaystyle {\ widetilde {f}} (t) = f (r), \, t \ geq r}$ takie, że . Zatem zbiór można zidentyfikować jako podprzestrzeń ${\ Displaystyle \ operatorname {Mapa} ([0, \ infty), X)}$ . Powstała przestrzeń jest nazywana przestrzenią ścieżki Moore'a X , na cześć Johna Colemana Moore'a , który wprowadził to pojęcie. Następnie, tak jak poprzednio, następuje fibracja, fibracja przestrzeni ścieżki Moore'a :

{\ Displaystyle \ Omega 'X \ hookrightarrow P'X {\ overset {p} {\ do}} X}

gdzie p wysyła każdy $Displaystyle$ $: [0, r] \ do X}$ ( $(r$ jest włóknem Okazuje się, że i ${\ Displaystyle \ Omega X}$ i ${\ Displaystyle \ Omega 'X}$ są odpowiednikami homotopii.

Teraz definiujemy mapę produktu

{\ Displaystyle \ mu: P'X \ razy \ Omega 'X \ do P'X}

przez: dla ${\ Displaystyle f \ dwukropek [0, r] \ do X}$ i ${\ Displaystyle g \ dwukropek [0, s] \ do X}$ ,

{\ Displaystyle \ mu (g, f) (t) = {\ rozpocząć{przypadki}f(t)&{\text{jeśli }}0\równoważnik t\równoważnik r\\g(tr)&{\text{jeśli }}r\równoważnik t\równoważnik s+r\\\koniec {przypadki}}}

.

Ten produkt jest wyraźnie asocjacyjny. W szczególności, gdy μ jest ograniczone do Ω ' X × Ω ' X , mamy, że Ω ' X jest monoidem topologicznym (w kategorii wszystkich przestrzeni). Co więcej, ten monoid Ω ' X działa na P ' X przez pierwotne μ . W rzeczywistości ${\ Displaystyle p: P'X \ do X}$ to Ω ' X - fibracja .

Notatki

Davis, James F.; Kirk, Paweł (2001). Notatki z wykładów z topologii algebraicznej (PDF) . Studia podyplomowe z matematyki. Tom. 35. Providence, RI: Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne . s. XVI + 367. doi : 10.1090/gsm/035 . ISBN 0-8218-2160-1 . MR 1841974 .
Maj, J. Peter (1999). Zwięzły kurs topologii algebraicznej (PDF) . Wykłady z matematyki w Chicago. Chicago, IL: University of Chicago Press . s. x+243. ISBN 0-226-51182-0 . MR 1702278 .
Whitehead, George W. (1978). Elementy teorii homotopii . Absolwent Teksty z matematyki . Tom. 61 (wyd. 3). Nowy Jork-Berlin: Springer-Verlag . s. XXI + 744. ISBN 978-0-387-90336-1 . MR 0516508 .