Kohomologia Aleksandra-Spaniera

W matematyce , zwłaszcza w topologii algebraicznej , kohomologia Alexandra – Spaniera jest teorią kohomologii dla przestrzeni topologicznych .

Historia

Został wprowadzony przez Jamesa W. Alexandra ( 1935 ) dla szczególnego przypadku zwartych przestrzeni metrycznych oraz przez Edwina H. Spaniera ( 1948 ) dla wszystkich przestrzeni topologicznych, w oparciu o sugestię Alexandra D. Wallace'a .

Definicja

Jeśli X $,$ przestrzenią topologiczną, a G jest modułem R gdzie R jest pierścieniem o jedności, to istnieje zespół współłańcuchowy C , którego p -ty jest zbiorem wszystkich funkcji z ${\ Displaystyle X ^ {p + 1}}$ do G z różniczką ${\ Displaystyle d \ dwukropek C ^ {p-1} \ do C ^ {p}}$ podane przez

${\ Displaystyle df (x_ {0}, \ ldots, x_ {p}) = \ suma _ {i} (-1) ^ {i} f (x_ {0}, \ ldots, x_ {i-1}, x_{i+1},\ldkropki,x_{p}).}$

Zdefiniowany kompleks kołańcuchowy $X$ opiera $}$ { $*} (C ^ {*} (X; G) )}$ rzeczywistości, jeśli jest niepustą przestrzenią, $sol$ gdzie jest $stopniowanym$ , którego jedynym nietrywialnym modułem jest ${\ displaystyle G}$ na stopniu 0.

$\ Displaystyle \ varphi \$ element jest lokalnie zerowy jeśli istnieje pokrycie $in C ^$ ( ${\ Displaystyle X}$ przez otwarte zbiory takie, że znikają na dowolnej $1)}$$Displaystyle (p$ - krotce ${\ Displaystyle X}$ , która leży w jakimś elemencie ${\ Displaystyle \ {U \}}$ (tj. ${\ Displaystyle \ varphi}$ znika na ${\ textstyle \ bigcup _ {U \ w \ {U \}} U ^ {p+1}$ } ). Podzbiór składający się z lokalnie zerowych funkcji jest modułem podrzędnym oznaczonym przez do ${\ Displaystyle C_ {0} ^ {p}$${\ Displaystyle C_ {0} ^ {p} (X) }$ . $\ Displaystyle C_ {0} ^ {*} (X) = \ {C_ {0} ^ {p} (X), d \}}$ jest do ${\ Displaystyle C ^ {*} (X)}$ więc definiujemy iloraz kompleksu łańcuchowego ${\ Displaystyle {\ słupek {C}}^{*}(X)=C^{*}(X)/C_{0}^{*}(X)}$ . Grupy kohomologii Aleksandra-Spaniera $} styl wyświetlania {\bar {C}}^{*}(X)}$ zdefiniowane jako grupy kohomologii do $) {\ Displaystyle {\ bar {H}} ^ {p} ($ .

Indukowany homomorfizm

Biorąc pod uwagę funkcję , która niekoniecznie jest ciągła, istnieje indukowana mapa kołańcuchowa ${\ Displaystyle f: X \ do Y}$

${\ Displaystyle f ^ {\ ostry}: C ^ {*} (Y; G) \ do C ^ {*} (X; G) }$

${\ Displaystyle (f ^ {\ ostry} \ varphi) (x_ {0},..., x_ {p}) = (\ varphi f) (x_ {0},...,$ przez

Jeśli $ciągła$ , istnieje indukowana mapa łańcucha łańcuchowego

$: {\ bar {C}} ^ {*} (Y; G) \ do {\ słupek {C}}^{*}(X;G)}$

Moduł kohomologii względnej

Jeśli jest podprzestrzenią ${\ Displaystyle X$$}$ i $Displaystyle i: A$${\ Displaystyle i ^ {\ ostry}: {\ bar {C}} ^ {*} (X; G) \ do {\ bar {C}}$ , to występuje epimorfizm indukowany . Ja ${\ Displaystyle i ^ {\ ostry}}$ jest podkołańcuchem kołańcuchowym, który jest ${*} (X; G)}$ oznaczony przez do ${\ Displaystyle {\ bar {C}} ^ {*} (X, AG; G)$ . Jeśli do $\ Displaystyle C ^ {*} (X, A)}$$} varphi}$ oznaczamy podzespół funkcji ${\ Displaystyle C ^ {*} (X$ , które są lokalnie zerowe na $,$ następnie ${\ Displaystyle {\ bar {C}} ^ {* }(X,A)=C^{*}(X,A)/C_{0}^{*}(X)}$ .

Względny moduł to $_$${\ Displaystyle {\ bar {C}} ^ {*} (X, AG; G)}$ _ .

${\ Displaystyle {\ bar {H}} ^ {q} (X, AG; G)}$ nazywa się modułem kohomologii Aleksandra z $}$${\ Displaystyle (X, A$$)$ stopnia ze $współczynnikami i$ moduł spełnia wszystkie aksjomaty kohomologii Powstała teoria kohomologii nazywana jest teorią kohomologii Alexandra (lub Alexandra-Spaniera).

Aksjomaty teorii kohomologii

• (aksjomat wymiaru) Jeśli jest $przestrzenią$ jednopunktową, ${\ Displaystyle G \ simeq {\ bar {H}} ^ {*} (X; G$
• $\ Displaystyle i$$A \ hookrightarrow X}$ Jeśli ${\ Displaystyle j: X \ hookrightarrow (X, A)}$ parą topologiczną z mapami inkluzji i istnieje dokładna sekwencja
  $${\ Displaystyle \ cdots \ do {\ bar {H}} ^ {q} (X, A; G) \ xrightarrow {j ^ {*}} {\ bar {H}} ^ {q} (X; G )\xrightarrow {i^{*}} {\bar {H}}^{q}(A;G)\xrightarrow {\delta ^{*}} {\bar {H}}^{q+1}( X,A;G)\do \cdots }$$
• $X}$ Aksjomat wycięcia ) Dla pary topologicznej ${\ Displaystyle (X, A)}$ , jeśli jest otwartym podzbiorem $Displaystyle$ takim, że ${\ displaystyle {\ bar {U}} \ podzbiór \ nazwa operatora {int} A}$$\ Displaystyle {\ bar {C}} ^{*}(X,A)\simeq {\bar {C}}^{*}(XU,AU)}$ a następnie do .
• (aksjomat homotopii) Jeśli ${\ Displaystyle f_ {0}, f_ {1}: (X, A) \ do (Y, B)}$ są homotopijne, wtedy ${\ Displaystyle f_ {0} ^ {*} = f_ {1} ^ {*}: H ^ {*}(Y,B;G)\do H^{*}(X,A;G)}$

Kohomologia Aleksandra ze zwartymi podporami

$.$$współograniczony,$ podzbiór jest jeśli jest ograniczony, tj jego domknięcie

Podobnie do definicji modułu kohomologii Aleksandra, można zdefiniować moduł kohomologii Aleksandra ze zwartymi podporami pary ${\ Displaystyle (X, A)}$ , dodając właściwość, że ${\ Displaystyle \ varphi \ in C ^ {q} (X, A; G)}$ jest lokalnie zerem na pewnym połączonym podzbiorze ${\ displaystyle X}$ .

Formalnie można zdefiniować w następujący sposób: dla danej pary topologicznej ${\ Displaystyle (X, A)}$ , submoduł ${\ Displaystyle C_ {c} ^ {q} (X, A; G)}$ składa się z do $\ Displaystyle C ^ {q} (X, A; G)}$ składa się z ${\ Displaystyle \ varphi \ in C ^ {q} (X, A; G)}$ takie, że jest lokalnie równe $X$ na pewnym połączonym podzbiorze $\ displaystyle X}$ .

$_ X,A;G)=\{C_{c}^{q}(X,A;G),\delta \}}$ można i kompleks kołańcuchowy ${\ Displaystyle {\ bar {C}} _ ​​{c} ^ {*} (X, A; G) = C_ {c} ^ {*} (X ,A;G)/C_{0}^{*}(X;G)}$ .

Aleksandra z $}$ ze zwartymi podporami kompleksu kołańcuchowego $ZA$ jest ${\ Displaystyle (X, A$ i oznaczonymi przez ${\ Displaystyle {\ bar {H}} _ {c} ^ {*} (X, A; G)}$ . Indukowany homomorfizm tej kohomologii jest określany jako teoria kohomologii Aleksandra.

Zgodnie z tą definicją, możemy zmodyfikować aksjomat homotopii dla kohomologii do właściwego aksjomatu homotopii , jeśli zdefiniujemy homomorfizm kograniczny $G)}$${\ styl wyświetlania \delta ^{*}:{\bar {H}}_{c}^{q}(A;G)\to {\bar {H}}_{c}^{q+1}(X, A$ ; tylko wtedy $zamkniętym$ jest . Podobnie aksjomat wycinania można zmodyfikować do aksjomatu wycinania właściwego , tzn. mapa wycinania jest mapą właściwą.

Nieruchomość

Jedną z najważniejszych własności tego modułu kohomologii Aleksandra ze zwartym nośnikiem jest następujące twierdzenie:

• Jeśli jest lokalnie zwartą przestrzenią Hausdorffa i jest $\$ zagęszczeniem $,$ to istnieje izomorfizm X $}$
  $${\ Displaystyle {\ bar {H}} _ {c} ^ {q} (X; G) \ simeq {\ tylda {\ bar {H}}} ^ {q} (X ^ {+}; G). }$$

Przykład

${\ Displaystyle {\ bar {H}} _ {c} ^ {q} (\ mathbb {R} ^ {n}; G) \simeq {\begin{przypadki}0&q\neq n\\G&q=n\end{przypadki}}}$

jak ${\ Displaystyle (\ mathbb {R} ^ {n}) ^ {+} \ cong S ^ {n}}$ . Stąd jeśli ${\ Displaystyle n \ neq m}$ , ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ i ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {m}}$ nie są tego samego właściwy typ homotopii .

Związek z napięciem

• Z faktu, że zamknięta podprzestrzeń parazwartej przestrzeni Hausdorffa jest napiętą podprzestrzenią w stosunku do teorii kohomologii Aleksandra i pierwszej podstawowej właściwości naprężenia , jeśli ${\ Displaystyle B \ podzbiór A \ podzbiór X}$ gdzie ${ \displaystyle X}$ jest parakompaktową przestrzenią Hausdorffa, $displaystyle$ i $B}$ są zamkniętymi podprzestrzeniami $X$ , wtedy jest ${\ Displaystyle (A, B)}$$.$ para w stosunku do teorii kohomologii Aleksandra

Korzystając z tej właściwości naprężenia, można pokazać następujące dwa fakty:

• ( Właściwość silnego wycinania ) Niech i ${\ Displaystyle (Y, B$$z$ X $\ Displaystyle X}$ i $\ Displaystyle Y }$$_$ Hausdorff i $_$ . Niech ${\ Displaystyle f: (X, A) \ do (Y, B)}$ będzie zamkniętą mapą ciągłą taką, że $od$ jednego do -jedna mapa ${\ displaystyle XA}$ na ${\ displaystyle YB}$ . Następnie dla wszystkich $displaystyle$ dla wszystkich $G}$ { \
  $${\ Displaystyle f ^ {*}: {\ bar {H}} ^ {q} (Y, B; G)\xrightarrow {\sim} {\bar {H}}^{q}(X,A;G)}$$
• ( Właściwość słabej ciągłości ) Niech ${\ Displaystyle \ {(X_ {\ alfa}, A_ {\ alfa}} \} _ {\ alfa}}$ będzie rodziną zwartych par Hausdorffa w trochę miejsca skierowanego w dół przez inkluzję i niech ${\ textstyle (X, A) = (\ bigcap X_ {\ alfa}, \ bigcap A_ {\ alfa} )}$ . Mapy inkluzji $X, A) \ do (X_ {\ alfa}, A_ {\ alfa})}$ ( izomorfizm

  ${\ Displaystyle \ {i_ {\ alfa} ^ {*} \ }:\varinjlim {\bar {H}}^{q}(X_{\alpha},A_{\alpha};M)\xrightarrow {\sim} {\bar {H}}^{q}(X, A; M)}$ .

Różnica w stosunku do teorii kohomologii osobliwej

Przypomnijmy, że moduł kohomologii osobliwej przestrzeni jest bezpośrednim iloczynem modułów kohomologii osobliwej składowych jej ścieżki.

Niepusta przestrzeń $jest$ połączona wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ Displaystyle G \ simeq {\ bar {H}} ^ {0} (X; G)$ . Stąd dla każdej połączonej przestrzeni, która nie jest połączona drogą , kohomologia osobliwa i kohomologia Aleksandra różnią się stopniem 0.

Jeśli $jest$ otwartym pokryciem ${\ textstyle {\ bar {H}} ^ {q} (X; G) \ simeq \ prod _ {j} {\ bar {H}} ^ {q} (U_ { j};G)}$$rozłącznych$ istnieje naturalny . ${\ textstyle {\ bar {H}} ^ {q} (X; G) \ simeq \ prod _ {j} {\ bar {H}} ^ {q} (C_{j};G)}$ szczególności, jeśli $jest$ zbiorem $)$ połączonej istnieje .

Warianty

Możliwe jest również zdefiniowanie homologii Alexandra – Spaniera i kohomologii Alexandra – Spaniera za pomocą zwartych podpór. ( Bredon 1997 )

Połączenie z innymi kohomologiami

Grupy kohomologii Aleksandra-Spaniera pokrywają się z grupami kohomologii Čecha dla zwartych przestrzeni Hausdorffa i pokrywają się z pojedynczymi grupami kohomologii dla lokalnie skończonych kompleksów.

Bibliografia

•      Alexander, James W. (1935), „On the Chains of a Complex and Their Duals”, Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America , National Academy of Sciences, 21 (8): 509–511, Bibcode : 1935PNAS...21..509A , doi : 10.1073/pnas.21.8.509 , ISSN 0027-8424 , JSTOR 86360 , PMC 1076641 , PMID 16577676
•    Bredon, Glen E. (1997), Teoria snopów , Graduate Texts in Mathematics, tom. 170 (wyd. 2), Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-1-4612-0647-7 , ISBN 978-0-387-94905-5 , MR 1481706
•     Massey, William S. (1978), „Jak dać ekspozycję teorii homologii typu Čech-Alexander-Spanier”, The American Mathematical Monthly , 85 (2): 75–83, doi : 10.2307/2321782 , ISSN 0002- 9890 , JSTOR 2321782 , MR 0488017
•    Massey, William S. (1978), Homologia i teoria kohomologii. Podejście oparte na cochainach Alexandra-Spaniera. , Monografie i podręczniki matematyki czystej i stosowanej, tom. 46, Nowy Jork: Marcel Dekker Inc., ISBN 978-0-8247-6662-7 , MR 0488016
•     Spanier, Edwin H. (1948), „Teoria kohomologii dla przestrzeni ogólnych”, Annals of Mathematics , druga seria, 49 (2): 407–427, doi : 10.2307/1969289 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1969289 , MR 0024621
•   Spanier, Edwin H. (1966), Topologia algebraiczna , ISBN 978-0387944265