Niedodatnia krzywizna

W matematyce przestrzenie o niedodatniej krzywiźnie występują w wielu kontekstach i tworzą uogólnienie geometrii hiperbolicznej . W kategorii rozmaitości riemannowskich można rozważyć krzywiznę przekroju rozmaitości i wymagać, aby krzywizna ta była wszędzie mniejsza lub równa zeru. Pojęcie krzywizny rozciąga się na kategorię geodezyjnych przestrzeni metrycznych , gdzie można użyć trójkątów porównawczych ilościowe określenie krzywizny przestrzeni; w tym kontekście przestrzenie nie zakrzywione dodatnio są znane jako (lokalnie) przestrzenie CAT(0) .

Powierzchnie Riemanna

Jeśli jest zamkniętą, orientowalną powierzchnią Riemanna , to z twierdzenia o uniformizacji wynika , że można $ją$ wyposażyć w pełną metrykę Riemanna ze stałą krzywizną Gaussa albo $displaystyle$ $0}$ , $S} \ displaystyle 1}$ lub ${\ displaystyle -1}$ . W wyniku twierdzenia Gaussa-Bonneta można określić, że powierzchnie, które mają Riemanna metrykę stałej krzywizny $,$ $tj$ , riemannowską metryką niedodatniej stałej krzywizny, są dokładnie tymi, których rodzaj jest w co najmniej ${\ displaystyle 1}$ . Twierdzenie o uniformizacji i twierdzenie Gaussa-Bonneta można zastosować zarówno do orientowalnych powierzchni Riemanna z granicą, aby pokazać, że te powierzchnie, które mają niedodatnią charakterystykę Eulera są dokładnie tymi, które dopuszczają riemannowską metrykę niedodatniej krzywizny. Istnieje zatem nieskończona rodzina homeomorfizmów takich $Gaussa$ , podczas gdy sfera Riemanna jest jedyną zamkniętą, orientowalną powierzchnią Riemanna o stałej krzywiźnie .

Powyższa definicja krzywizny zależy od istnienia metryki Riemanna i dlatego leży w dziedzinie geometrii. Jednak twierdzenie Gaussa-Bonneta gwarantuje, że topologia powierzchni nakłada ograniczenia na pełne metryki Riemanna, które można nałożyć na powierzchnię, więc badanie przestrzeni metrycznych o niedodatniej krzywiźnie ma żywotne znaczenie zarówno w matematycznych dziedzinach geometrii, jak i topologia . Klasycznymi przykładami powierzchni o niedodatniej krzywiźnie są płaszczyzna euklidesowa i płaski torus (dla krzywizny ${\ displaystyle 0}$ ) oraz płaszczyzna hiperboliczna i pseudosfera (dla krzywizny ${\ Displaystyle -1}$ ). Z tego powodu te metryki, jak również powierzchnie Riemanna, na których leżą jako kompletne metryki, są określane odpowiednio jako euklidesowe i hiperboliczne.

Uogólnienia

Charakterystyczne cechy geometrii niedodatnio zakrzywionych powierzchni Riemanna są wykorzystywane do uogólnienia pojęcia niedodatnich poza badaniem powierzchni Riemanna. W badaniu rozmaitości lub orbifoldów o wyższym wymiarze stosuje się pojęcie krzywizny przekroju , w którym ogranicza się uwagę do dwuwymiarowych podprzestrzeni przestrzeni stycznej w danym punkcie. W wymiarach większych niż $twierdzenie$ Prasada o sztywności zapewnia, że rozmaitość hiperboliczna skończonego obszaru ma unikalną kompletną metrykę hiperboliczną , więc badanie geometrii hiperbolicznej w tym ustawieniu jest integralną częścią badania topologii .

W dowolnej geodezyjnej przestrzeni metrycznej pojęcia bycia hiperbolą Gromowa lub przestrzenią CAT (0) uogólniają pogląd, że na powierzchni Riemanna o niedodatniej krzywiźnie trójkąty, których boki są geodezyjne, wydają się cienkie , podczas gdy w ustawieniach dodatniej krzywizny pojawiają się tłuszcz . To pojęcie krzywizny niedodatniej pozwala, aby pojęcie krzywizny niedodatniej było najczęściej stosowane do wykresów i dlatego jest bardzo przydatne w dziedzinie kombinatoryki i geometrycznej teorii grup .

Zobacz też

Lemat Margulisa

Ballmann, Werner (1995). Wykłady o przestrzeniach o niedodatniej krzywiźnie . Seminarium DMV 25. Bazylea: Birkhäuser Verlag. s. VIII + 112. ISBN 3-7643-5242-6 . MR 1377265
Bridson, Martin R .; Haefliger, Andre (1999). Przestrzenie metryczne o nie dodatniej krzywiźnie . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Podstawowe zasady nauk matematycznych]. Tom. 319. Berlin: Springer-Verlag. s. XXII + 643. ISBN 3-540-64324-9 . MR 1744486
Papadopoulos, Athanase (2014) [2004]. Przestrzenie metryczne, wypukłość i niedodatnia krzywizna . IRMA Wykłady z matematyki i fizyki teoretycznej tom. 6. Zurych: Europejskie Towarzystwo Matematyczne. P. 298. ISBN 978-3-03719-010-4 . MR 2132506