Kohomologia lokalna

W geometrii algebraicznej kohomologia lokalna jest algebraicznym odpowiednikiem kohomologii względnej . Alexander Grothendieck przedstawił go na seminariach na Harvardzie w 1961 roku, napisany przez Hartshorne'a (1967) oraz w latach 1961-2 w IHES napisany jako SGA2 - Grothendieck (1968) , ponownie opublikowany jako Grothendieck (2005) . Biorąc pod uwagę funkcję (bardziej ogólnie, odcinek quasi-koherentnego snopka ) zdefiniowaną na otwartym podzbiorze rozmaitości algebraicznej (lub schemat ), lokalna kohomologia mierzy przeszkodę w rozszerzeniu tej funkcji na większą dziedzinę . Na przykład funkcja wymierna jest zdefiniowana tylko $1}}$ dopełnieniu na $1 {\$ afinicznej $Displaystyle$$\ mathbb {A} _ {K}$ nad polem i nie $można$ rozszerzyć na funkcję na całej przestrzeni. Lokalny moduł kohomologii ${\ Displaystyle H_ {(x)} ^ {1} (K [x])}$ (gdzie $\ Displaystyle K [x]}$${\ Displaystyle \ mathbb {A} _ {K} ^ {1}}$ jest pierścieniem współrzędnych ) wykrywa to w nieznikaniu klasy kohomologii ${\ Displaystyle [1/x]}$ . W podobny sposób ${\ Displaystyle 1/xy}$ jest zdefiniowany z dala od ${\ displaystyle$ i $y}$ w płaszczyźnie afinicznej , ale nie może być rozszerzony ani na dopełnienie osi ${\ displaystyle x}$ ani na dopełnienie y {\ displaystyle $} displaystyle y}$ - sama oś (ani nie może być wyrażona jako suma takich funkcji); ta przeszkoda dokładnie odpowiada niezerowej klasie w lokalnym module kohomologii ${\ Displaystyle [1/xy]}$${\ Displaystyle H_ {(x, y)} ^ {2} (K [x, y])}$ .

Poza geometrią algebraiczną kohomologia lokalna znalazła zastosowanie w algebrze przemiennej , kombinatoryce i niektórych rodzajach równań różniczkowych cząstkowych .

Definicja

$Y}$ postaci teorii przekroje są rozważane dla snopka grup abelowych w przestrzeni topologicznej ${\ Displaystyle$$\ Gamma _ {$ } wsparcie w $\$ zamkniętym , Funktory pochodne z tworzą lokalne grupy kohomologii $Gamma _ {Y}}$

${\ Displaystyle H_ {Y} ^ {i} (X, F)}$

W algebraicznej postaci teorii, przestrzeń X jest widmem Spec( R ) przemiennego pierścienia R (zakłada się, że jest noetherowski w całym artykule), a snop F jest snopkiem quasi-koherentnym związanym z R - modułem M , oznaczonym przez ${\ Displaystyle {\ tylda {M}}}$ . Zamknięty podschemat Y jest zdefiniowany przez ideał I . W tej sytuacji funktor Γ _Y ( F ) odpowiada funktorowi I - torsyjnemu , związkowi anihilatorów

${\ Displaystyle \ Gamma _ {I} (M): = \ bigcup _ {n \ geq 0} (0: _ {M} ja ^ { N}),}$

tj. elementy M , które są unicestwiane przez jakąś moc I. Jako prawy wyprowadzony funktor , i ^-ty lokalny moduł kohomologii w odniesieniu do I jest i- ^tą grupą kohomologii ${\ Displaystyle H ^ {i} (\ Gamma _ {I} (E ^ {\bullet}})}$ kompleksu łańcuchowego ${\ Displaystyle \ Gamma _ {I} (E ^ {\ kula})}$ uzyskany z przyjęcia części I -skrętnej ${\ Displaystyle \ Gamma _ {I} (-)}$ rozdzielczości iniekcyjnej ${\ Displaystyle E ^ {\ punktor}}$ modułu ${\ Displaystyle M}$ . Ponieważ składa się z R $-modułów$ i R , każda z lokalnych grup kohomologicznych ma naturalną strukturę modułu R.

Część I -skrętną można alternatywnie opisać jako ${\ Displaystyle \ Gamma _ {I} (M)}$

${\ Displaystyle \ Gamma _ {I} (M): = \ varinjlim _ {n \ w N} \ operatorname {Hom} _{R}(R/I^{n},M),}$

iz tego powodu lokalna kohomologia R -modułu M zgadza się z bezpośrednim ograniczeniem modułów Ext ,

${\ Displaystyle H_ {I} ^ {i} (M): = \ varinjlim _ {n \ w N} \ operatorname {Ext} _ {R} ^ {i} (R / I ^ {n}, M). }$

Z jednej z tych definicji wynika, że $​​byłby$$został$ , gdyby innym mającym Wynika z tego również, że lokalna kohomologia nie zależy od żadnego wyboru generatorów dla I , co staje się istotne w następującej definicji dotyczącej kompleksu Čecha.

Wykorzystanie kompleksów Koszul i Čech

Definicja funktora pochodnego kohomologii lokalnej wymaga $.$ rozwiązania modułu , co może uniemożliwić jego użycie w obliczeniach jawnych Kompleks Čech jest postrzegany jako bardziej praktyczny w pewnych kontekstach. Iyengara i in. (2007) na przykład stwierdzają, że „zasadniczo ignorują” „problem faktycznego wytworzenia dowolnego z tych [iniekcyjnych] rodzajów rozdzielczości dla danego modułu” przed przedstawieniem złożonej definicji kohomologii lokalnej Čecha, oraz Hartshorne ( 1977 ) opisuje kohomologię Čecha jako „podając praktyczną metodę obliczania kohomologii quasi-spójnych snopów na schemacie”. i jako „dobrze nadające się do obliczeń”.

Kompleks Čech $_$ współgranicę kompleksów _ ${\ displaystyle f_ {1}, \ ldots, f_ {n}}$ generować ${\ displaystyle I}$ . Lokalne moduły kohomologii można opisać jako:

${\ Displaystyle H_ {I} ^ {i} (M) \ cong \varinjlim _{m}H^{i}\left(\operatorname {Hom} _{R}\left(K^{\bullet }\left(f_{1}^{m},\kropki ,f_{ n}^{m}\prawo),M\prawo)\prawo)}$

Kompleksy Koszula mają tę właściwość, że mnożenie przez ${\ Displaystyle \ cdot f_ {i}: K ^ {\ punktor} (f_ {1}, \ ldots, f_ {n}) \ do K ^ {\ punktor} (f_ {1}, \ ldots, f_ {n })}$ łańcuchów $K$ , który jest homotopijny do zera, co oznacza ${\ Displaystyle H ^ {i} (K ^ {\ punktor} (f_ {1}, \ ldots, f_ {n}})}$ zostaje unicestwiony przez ${\ displaystyle f_ {i}}$ . Niezerowa mapa w colimit zbiorów ${\ displaystyle \ operatorname {Hom}}$ zawiera mapy ze wszystkich, ale nieskończenie wielu kompleksów Koszula, które nie są unicestwiane przez jakiś element ideału.

Ta granica kompleksów Koszula jest izomorficzna z kompleksem Čech , oznaczona do ${\ Displaystyle {\ check {C}} ^ {\ punktor} (f_ {1}, \$ poniżej.

${\ Displaystyle 0 \ do M \ do \ bigoplus _ {i_ {0}} M_ { f_{i}}\to \bigoplus _{i_{0}<i_{1}}M_{f_{i_{0}}f_{i_{1}}}\to \cdots \to M_{f_{1} \cdots f_{n}}\do 0}$

gdzie i $_$ ^ty lokalny $względem$ . _ do i- ^tej grupy kohomologii powyższego kompleksu łańcuchowego ,

${\ Displaystyle H_ {I} ^ {i} (M) \ cong H ^ {i} ({\ sprawdź {C}} ^ {\ punktor} (f_ {1}, \ ldots, f_ {n}; M) ).}$

Szersze zagadnienie obliczania lokalnych modułów kohomologii (w charakterystyce zero ) jest omówione w Leykin (2002) oraz Iyengar et al. (2007 , Wykład 23).

Podstawowe właściwości

Ponieważ kohomologia lokalna jest zdefiniowana jako funktor pochodny , dla dowolnej krótkiej dokładnej sekwencji R -modułów ${\ Displaystyle 0 \ do M_ {1} \ do M_ {2} \ do M_ {3} \to 0}$ , z definicji istnieje naturalna długa sekwencja dokładna w kohomologii lokalnej

${\ Displaystyle \ cdots \ do H_ {I} ^ { i}(M_{1})\do H_{I}^{i}(M_{2})\do H_{I}^{i}(M_{3})\do H_{I}^{i+ 1}(M_{1})\do \cdots }$

Istnieje również długa dokładna sekwencja kohomologii snopów , łącząca kohomologię snopów zwykłych X i zbioru otwartego U = X \ Y , z lokalnymi modułami kohomologii. Dla quasi-koherentnego snopka F określonego na X ma to postać

${\ Displaystyle \ cdots \ do H_ {Y} ^{i}(X,F)\do H^{i}(X,F)\do H^{i}(U,F)\do H_{Y}^{i+1}(X,F) \do \cdots }$

W ustawieniu, w którym X jest schematem afinicznym ${\ Displaystyle {\ tekst {Spec}} (R)},$ a Y jest zanikającym zbiorem ideału I , grupy kohomologii ${\ displaystyle H ^ {i} (X, F)}$ znikają dla ${\ displaystyle i> 0}$ . Jeśli prowadzi to do dokładnej sekwencji ${\ Displaystyle F = {\ tylda {M}}}$

${\ Displaystyle 0 \ do H_ {I} ^ {0} (M) \ do M {\ stackrel { \text{res}}{\to }}H^{0}(U,{\tylda {M}})\to H_{I}^{1}(M)\to 0,}$

gdzie środkowa mapa jest ograniczeniem sekcji. Cel tej mapy ograniczeń jest również określany jako idealna transformacja. Dla n ≥ 1 istnieją izomorfizmy

${\ Displaystyle H ^ {n} (U, {\ tylda {M}}) {\ stackrel {\ cong} {\ do}} H_ {I} ^ {n + 1} (M).}$

Ze względu na powyższy izomorfizm z kohomologią snopów , lokalną kohomologię można wykorzystać do wyrażenia wielu znaczących konstrukcji topologicznych na schemacie w kategoriach czysto algebraicznych. ${\ Displaystyle X = \ operatorname {Spec} (R)}$ . Na przykład istnieje naturalny analog w lokalnej kohomologii sekwencji Mayera – Vietorisa w odniesieniu do pary zbiorów otwartych U i V w X , dane przez dopełnienia zamkniętych podschematów odpowiadających odpowiednio parze ideałów I i J . Sekwencja ta ma postać

${\ Displaystyle \ cdots H_ {I + J} ^ {i} (M) \ do H_ {I} ^ {i} (M) \ oplus H_ {J} ^ {i} (M) \ do H_ {ja \ czapka J}^{i}(M)\do H_{I+J}^{i+1}(M)\do \cdots }$

dla każdego -module $displaystyle$$M}$ .

$do$ związania najmniejszej liczby równań (określanych jako ranga arytmetyczna) potrzebnych do (ustawienia teoretycznego w ${\ Displaystyle \ nazwa operatora {Spec} (R)}$ . Jeśli $\$ ten sam pierwiastek co $}$ jest generowany przez $displaystyle I$ , to kompleks Čech na generatorach ja { ${\ displaystyle J}$ nie ma terminów w stopniu ${\ displaystyle i> n}$ . Najmniejsza liczba generatorów spośród wszystkich ideałów taka $,$ że ​​jest rangą arytmetyczną $\$$}$ oznaczony ${\ Displaystyle \ nazwa operatora {ara} (ja)}$ . Ponieważ lokalna kohomologia względem ja $\ displaystyle I}$ można obliczyć przy użyciu dowolnego takiego ideału, wynika z tego, że ${\ Displaystyle H_ {I} ^ {i} (M) = 0}$ dla ${\ Displaystyle i> \ operatorname {ara} (ja)}$ .

Stopniowana kohomologia lokalna i geometria rzutowa

Kiedy jest $oceniany$ przez , jest przez jednorodne elementy i jest $stopniowanym$ modułem, istnieje naturalna ocena $R$$}$ R na lokalnym module kohomologii, $\ displaystyle R}$$jest$ zgodny z ocenami i $}$ i . Wszystkie podstawowe właściwości kohomologii lokalnej wyrażone w tym artykule są zgodne ze strukturą stopniowaną. Jeśli $jest$$generowany$ skończenie i ${\ Displaystyle H _ {\ mathfrak {m}} ^ {i} (M) _ {n}}$ przez elementy o dodatnim stopniu $H.$ są skończenie generowane przez ${\ Displaystyle R}$ i znikają dla wystarczająco dużego ${\ displaystyle n}$ .

Przypadek, w którym ideał generowany przez wszystkie elementy stopnia dodatniego (czasami nazywany ideałem nieistotnym $) jest szczególnie$ związek z geometrią rzutową. W tym przypadku występuje izomorfizm

${\ Displaystyle H _ {\ mathfrak {m}} ^ {i + 1} (M) \ cong \ bigoplus _{k\in \mathbf {Z}}H^{i}({\text{Proj}}(R),{\tylda {M}}(k))}$

gdzie ${\ Displaystyle {\ tekst {Proj}} (R)}$ jest rzutowym schematem związanym z $Displaystyle$ a $(k)}$ oznacza skręt Serre'a . Ten izomorfizm jest stopniowany, dając

${\ Displaystyle H _ {\ mathfrak {m}} ^ {i + 1} (M) _ {n} \ cong H^{i}({\text{Proj.}}(R),{\tylda {M}}(n))}$

we wszystkich stopniach ${\ displaystyle n}$ .

Ten izomorfizm wiąże lokalną kohomologię z globalną kohomologią schematów rzutowych . Na przykład regularność Castelnuovo – Mumforda można sformułować przy użyciu lokalnej kohomologii jako

${\ Displaystyle {\ tekst {reg.}} (M) = {\ tekst {sup}} \ {{\ tekst {koniec}} (H _ {\ mathfrak {m.}} ^ {i }(M))+i\,|\,0\równik i\równik {\text{dim}}(M)\}}$

gdzie $≠ {\$$\ neq 0}$ najwyższy stopień $Displaystyle$ , że . Lokalna kohomologia może być wykorzystana do udowodnienia pewnych górnych granic wyników dotyczących prawidłowości.

Przykłady

Najlepsza kohomologia lokalna

$n$ kompleksu $_ \ displaystyle H_ {I} ^ {n} (M)}$ _ jest generowany przez obrazy ułamków formalnych ${\ displaystyle R}$

${\ Displaystyle \ lewo [{\ Frac {m} {f_ {1} ^ {t_ {1}} \ cdots f_ {n} ^ {t_ {n}}} }\Prawidłowy]}$

dla ${\ Displaystyle m \ w M}$ i ${\ Displaystyle t_ {1}, \ ldots, t_ {n} \ geq 1}$ . $Ułamek$$,$ elementowi wtedy i gdy nie ma ${\ Displaystyle (f_ {1} \ cdots f_ {t}) ^ {k} m \ w (f_ {1} ^ {t_ { 1}+k},\ldots,f_{t}^{t_{n}+k})M}$ . Na przykład, jeśli ${\ displaystyle t_ {i} = 1}$ , to

${\ Displaystyle f_ {i} \ cdot \ lewo [{\ Frac {m} {f_ {1} ^ {t_ {1} } \ cdots f_ {i} \ cdots f_ {n} ^ {t_ {n}}}} \ right] = 0.} Jeśli$

• K $\ Displaystyle K}$ jest polem i ${\ Displaystyle R = K [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}]}$ jest pierścieniem wielomianowym nad $n$$\ styl wyświetlania H_{(x_{1},\ldots ,x_{n})}^{n}(K[x_{1},\ldots ,x_{n}])} może być traktowany jako$ następnie lokalnym $]$ n przestrzeń wektorowa nad ${\ Displaystyle K}$ z podstawą określoną przez ( klasy kohomologii Čecha ) odwrotne jednomiany ${\ Displaystyle \ lewo [x_ {1} ^ {- t_ {1}} \ cdots x_ {n} ^ {- t_ {n}} \ prawej]}$ dla ${\ Displaystyle t_ {1}, \ ldots, t_ {n} \ geq 1}$ . Jako $-mnożenie$ przez ${\ Displaystyle x_ {i}}$ obniża ${\ displaystyle t_ {i}}$ o 1, z zastrzeżeniem warunku ${\ Displaystyle x_ {i} \ cdot \ lewo [x_ {1} ^ {- t_ {1}} \ cdots x_ {i} ^ {-1} \ cdots x_ {n} ^ {- t_ {n}} \ po prawej] = 0.}$ Ponieważ uprawnienia ${\ displaystyle t_ {i}}$$\ Displaystyle H_ {(x_ {1} ,\ldots ,x_{n})}^{n}(K[x_{1},\ldots ,x_{n}])} nie jest$ można zwiększyć przez pomnożenie przez elementy $modułu$ H. generowane w sposób skończony .

Przykłady H ¹

Jeśli $\ operatorname {Spec} (R) -V (I)}$ gdzie $U$ ), moduł można czasami obliczyć jawnie przy użyciu sekwencji ${\ Displaystyle H_ {I} ^ {1} (R)}$

${\ Displaystyle 0 \ do H_ {I} ^ {0} (R) \ do R \ do H ^ {0}(U,{\tylda {R}})\do H_{I}^{1}(R)\do 0.}$

W poniższych $polem$ jest dowolnym .

• R $\ Displaystyle R = K [X, Y ^ {2}, XY, Y ^ {3}]}$${\ Displaystyle I = (X, Y ^ {2}) R}$ i , a następnie ${\ Displaystyle H ^ {0} (U, {\ tylda {R}} )=K[X,Y]}$$X$${\ Displaystyle K [X, Y] / K [X, Y ^ {2}, XY, Y ^ {3}]}$ przestrzeń pierwszym $kohomologii$ K 1-wymiarowy ${\ Displaystyle K}$ przestrzeń wektorowa generowana przez ${\ displaystyle Y}$ .

• R ${\ Displaystyle R = K [X, Y] / (X ^ {2}, XY)}$ m $\ displaystyle {\ mathfrak {m}} = (X, Y) R}$ Γ ${\ Displaystyle \ Gamma _ {\ mathfrak {m}} (R) = xR$ i ${\ Displaystyle H ^ {0} (U, {\ tylda {R}}) = K [Y, Y ^ {- 1}]},$ więc ${\ Displaystyle H _ {\ mathfrak {m}} ^ {1} (R) = K [Y, Y ^ {-1}] / K [Y]}$ jest nieskończenie wymiarową ${\ Displaystyle K}$ przestrzeń wektorowa z podstawą ${\ Displaystyle Y ^ {- 1}, Y ^ {- 2}, Y ^ {- 3}, \ ldots}$

Związek z niezmiennikami modułów

Wymiar dim _R (M) modułu (zdefiniowany jako wymiar Krulla jego podparcia) zapewnia górną granicę dla lokalnych modułów kohomologii:

${\ Displaystyle H_ {I} ^ {n} (M) = 0 {\ tekst {dla wszystkich}} n> \ dim _ {R} (M).}$

Jeśli R jest lokalny , a M skończenie generowany , to ta granica jest ostra, tj. ${\ Displaystyle H _ {\ mathfrak {m}} ^ {n} (M) \ neq 0$ }

Głębokość (zdefiniowana jako maksymalna długość regularnej sekwencji M ; określana również jako stopień M ) zapewnia ostrą dolną granicę, tj. jest najmniejszą liczbą całkowitą n taką, że

${\ Displaystyle H_ {I} ^ {n} (M) \ neq 0.}$

$.$ charakterystykę modułów -Macaulaya na lokalnych pierścieniach: są to dokładnie te moduły, w dla ale jeden N.

Lokalna dualność

lokalnej dualności jest lokalnym odpowiednikiem dualności Serre'a . Dla lokalnego pierścienia Cohena-Macaulaya o wymiarze $,$ który jest homomorficznym obrazem $pierścienia$ Gorensteina (na przykład, jeśli jest kompletny ), stwierdza się, że $\ displaystyle R}$ naturalne parowanie

${\ Displaystyle H _ {\ mathfrak {m}} ^ {n} (M) \ razy \ operatorname { Ext} _{R}^{dn}(M,\omega _{R})\do H_{\mathfrak {m}}^{d}(\omega _{R})}$

jest idealnym parowaniem , gdzie jest dualizującym modułem dla $}}$$R$ . Pod względem $funktora$ dualności Matlisa lokalnej można wyrazić jako następujący

${\ Displaystyle H _ {\ mathfrak {m}} ^ {n} (M) \ cong D (\ operatorname {Ext} _ {R}^{dn}(M,\omega _{R}))}$

Stwierdzenie jest prostsze, gdy $jest$$równoważne$ hipotezą jest Gorensteinem . Dzieje się tak na przykład , $regularny$ jest .

Aplikacje

Początkowe zastosowania dotyczyły analogii twierdzeń o hiperpłaszczyznach Lefschetza . Ogólnie rzecz biorąc, takie twierdzenia stwierdzają, że homologia lub kohomologia jest obsługiwana na przekroju hiperpłaszczyznowym rozmaitości algebraicznej , z wyjątkiem pewnej „straty”, którą można kontrolować. Wyniki te odnosiły się do podstawowej grupy algebraicznej i do grupy Picarda .

Innym rodzajem zastosowania są twierdzenia o powiązaniach, takie jak twierdzenie o powiązaniach Grothendiecka (lokalny odpowiednik twierdzenia Bertiniego ) czy twierdzenie o powiązaniach Fultona-Hansena na podstawie Fultona i Hansena (1979) oraz Faltingsa (1979) . Ten ostatni twierdzi, że dla dwóch rozmaitości rzutowych V i W w P ^r nad algebraicznie zamkniętym polem wymiar łączności Z = V ∩ W (tj. minimalny wymiar zamkniętego podzbioru T z Z , który należy usunąć z Z , aby dopełnienie Z \ T zostało odłączone ) jest ograniczone przez

c ( Z ) ≥ ciemny V + ciemny W - r - 1.

Na przykład Z jest spójny, jeśli dim V + dim W > r .

W geometrii wielościennej kluczowym składnikiem dowodu Stanleya z 1975 r. Uproszczonej postaci twierdzenia McMullena o górnej granicy jest wykazanie, że pierścień Stanleya-Reisnera odpowiedniego kompleksu uproszczonego to Cohen-Macaulay , a lokalna kohomologia jest ważnym narzędziem w tym obliczeniu, poprzez Wzór Hochstera.

Zobacz też

• Homologia lokalna - daje analogię topologiczną i obliczenie homologii lokalnej stożka przestrzeni
• Twierdzenie o anihilatorze Faltingsa

Odniesienie wprowadzające

• Huneke, Craig; Taylor, Amelia, Wykłady z lokalnej kohomologii

• Brodmann, poseł; Sharp, RY (1998), Local Cohomology: An Algebraic Introduction with Geometric Applications (wyd. 2), Cambridge University Press Recenzja książki autorstwa Hartshorne'a
• Bruns, W.; Herzog, J. (1998), pierścienie Cohena-Macaulaya , Cambridge University Press
•    Eisenbud, Dawid (1995). Algebra przemienna z myślą o geometrii algebraicznej . Absolwent Teksty z matematyki . Tom. 150. Nowy Jork: Springer-Verlag . XVI+785. ISBN 0-387-94268-8 . MR 1322960 .
• Eisenbud, David (2005), The Geometry of Syzygies , Graduate Texts in Mathematics , tom. 229, Springer-Verlag , s. 187–200
•   Faltings, Gerd (1979), „Algebraizacja niektórych formalnych wiązek wektorowych”, Ann. z matematyki. , 2, 110 (3): 501–514, doi : 10.2307/1971235 , MR 0554381
•   Fulton, W.; Hansen, J. (1979), „Twierdzenie o łączności dla rozmaitości rzutowych z zastosowaniami do przecięć i osobliwości odwzorowań”, Annals of Mathematics , Annals of Mathematics , 110 (1): 159–166, doi : 10.2307/1971249 , JSTOR 1971249
•    Grothendieck, Alexander (2005) [1968], Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1962 - Cohomologie locale des faisceaux cohérents et théorèmes de Lefschetz locaux et globaux - (SGA 2) , Documents Mathématiques (Paryż), tom. 4 , Paryż : Société Mathématique de France _ _ _ _ _ _ _ _
• Grothendieck, Alexandre (1968) [1962]. Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1962 - Cohomologie locale des faisceaux cohérents et théorèmes de Lefschetz locaux et globaux - (SGA 2) (Advanced Studies in Pure Mathematics 2 ) (w języku francuskim). Amsterdam: North-Holland Publishing Company. VII+287.
•   Hartshorne, Robin (1967) [1961], Kohomologia lokalna. Seminarium wygłoszone przez A. Grothendiecka, Uniwersytet Harvarda, jesień 1961 r. , Notatki z wykładów z matematyki, tom. 41, Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , doi : 10.1007/BFb0073971 , MR 0224620
•    Hartshorne, Robin (1977), Geometria algebraiczna , Absolwent Teksty z matematyki , tom. 52, Nowy Jork: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9 , MR 0463157
•   Huang, I-Chiau (2002). „Metody pozostałości w analizie kombinatorycznej”. W Lubenicy Giennadij (red.). Kohomologia lokalna i jej zastosowania . Marcela Dekkera. s. 255–342. ISBN 0-8247-0741-9 .
•    Iyengar, Srikanth B.; Leuschke, Graham J.; Leykin, Anton; Miller, Klaudia; Miller, Ezdrasz; Singh, Anurag K.; Walther, Uli (2007), Dwadzieścia cztery godziny lokalnej kohomologii , Graduate Studies in Mathematics , tom. 87, Providence, RI: American Mathematical Society , doi : 10.1090/gsm/087 , ISBN 978-0-8218-4126-6 , MR 2355715
•   Leykin, Anton (2002). „Obliczanie lokalnej kohomologii w Macaulay 2”. W Lubenicy Giennadij (red.). Kohomologia lokalna i jej zastosowania . Marcela Dekkera. s. 195–206. ISBN 0-8247-0741-9 .