Twierdzenie Bertiniego

W matematyce twierdzenie Bertiniego jest twierdzeniem o istnieniu i rodzajowości dla gładko połączonych przekrojów hiperpłaszczyzn dla gładkich odmian rzutowych na algebraicznie zamkniętych polach , wprowadzonym przez Eugenio Bertiniego . Jest to najprostsze i najszersze z „twierdzeń Bertiniego” odnoszących się do liniowego układu dzielników ; najprostsze, ponieważ nie ma ograniczeń co do charakterystyki pola bazowego, podczas gdy rozszerzenia wymagają charakterystyki 0.

Oświadczenie dotyczące przekrojów hiperpłaszczyznowych odmian gładkich

Niech X będzie gładką quasi-rzutową rozmaitością na algebraicznie zamkniętym polu, osadzoną w przestrzeni rzutowej. ${\ displaystyle \ mathbf {P} ^ {n}}$ . Niech ${\ Displaystyle | H|}$ oznaczają kompletny system dzielników hiperpłaszczyzn w ${\ Displaystyle \ mathbf {P} ^ {n}}$ . Przypomnijmy, że jest to przestrzeń podwójna ${\ Displaystyle (\ mathbf {P} ^ {n}) ^ {\ gwiazda}$ P ${\ Displaystyle \ mathbf {P} ^ {n}}$ i jest izomorficzny z ${\ Displaystyle \ mathbf {P} ^ {n}}$ .

Twierdzenie Bertiniego mówi, że zbiór hiperpłaszczyzn niezawierających X i o gładkim przecięciu z X zawiera otwarty, gęsty podzbiór całego układu dzielników ${\ displaystyle | H |}$ . Sam zbiór jest otwarty, jeśli X jest rzutowy. Jeśli ${\ Displaystyle \ dim (X) \ geq 2}$ , to te przecięcia (zwane przekrojami hiperpłaszczyznowymi X ) są połączone, a zatem nieredukowalne.

Twierdzenie stwierdza zatem, że ogólny przekrój hiperpłaszczyzny, który nie jest równy X , jest gładki, to znaczy: właściwość gładkości jest ogólna.

Nad dowolnym polem k istnieje gęsty otwarty podzbiór przestrzeni dualnej ${\ Displaystyle (\ mathbf {P} ^ {n}) ^ {\ gwiazda}},$ którego wymierne punkty definiują hiperpłaszczyzny gładkie przekroje hiperpłaszczyzn X. _ Kiedy k jest nieskończone, ten podzbiór otwarty ma nieskończenie wiele punktów wymiernych i istnieje nieskończenie wiele gładkich przekrojów hiperpłaszczyzn w X .

W polu skończonym powyższy podzbiór otwarty może nie zawierać punktów wymiernych i generalnie nie ma hiperpłaszczyzn o gładkim przecięciu z X . Jeśli jednak weźmiemy hiperpowierzchnie o wystarczająco dużych stopniach, to twierdzenie Bertiniego jest prawdziwe.

Zarys dowodu

Rozważamy subfibrację odmiany produktu ${\ Displaystyle X \ razy | H|}$ z włóknem powyżej $przecinają$ układu hiperpłaszczyzn, X poprzecznie w punkcie x .

Stopień fibracji w produkcie jest o jeden mniejszy niż współwymiar $,$ przestrzeń ma mniejszy wymiar niż ${\ displaystyle$ i tak jego rzut zawiera się w dzielniku całego układu ${\ Displaystyle | H|}$ .

Ogólne zestawienie

W dowolnym nieskończonym polu $charakterystyce$ 0, jeśli X $jest$ gładką quasi-rzutową , ogólny element liniowego układu dzielników na X jest gładki z dala od podstawowego locus k {\ displaystyle k} system. wyjaśnienia oznacza to, że $uwagę$ przedobraz ${\ Displaystyle f ^ {- 1} (H)}$ hiperpłaszczyzny H jest gładka - poza miejscem podstawowym f - dla wszystkich hiperpłaszczyzn H w jakimś gęstym otwartym podzbiorze podwójnej przestrzeni rzutowej ${ \ Displaystyle (\ mathbf {P} ^ {n}) ^ {\ gwiazda}}$ . Twierdzenie to obowiązuje również w charakterystyce p>0, gdy układ liniowy f jest nierozgałęziony.

Uogólnienia

Twierdzenie Bertiniego zostało uogólnione na różne sposoby. Na przykład wynik uzyskany przez Stevena Kleimana stwierdza (por. Twierdzenie Kleimana ): dla połączonej grupy algebraicznej G i dowolnej jednorodnej G -rozmaitości X oraz dwóch odmian Y i Z odwzorowujących X , niech Y ^σ będzie rozmaitością uzyskany przez pozwolenie σ ∈ G na Y . Następnie istnieje otwarty gęsty podschemat H z G takie , że dla $jest$ albo puste, albo ma wyłącznie ( Y dim Z - dim X . Jeżeli dodatkowo Y i Z są gładkie , a pole podstawowe ma charakterystyczne zero, to H można przyjąć takie, że ${\ Displaystyle Y ^ {\ sigma} \ razy _ {X} Z}$$płynne$ dla wszystkich twierdzenie Bertiniego jest szczególnym przypadkiem, w którym jest wyrażone $iloraz$ SL _n przez paraboliczną podgrupę macierzy górnego trójkąta Z a Y jest hiperpłaszczyzną.

Twierdzenie Bertiniego zostało również uogólnione na dyskretne dziedziny wartościowania lub pola skończone lub na pokrycie etalne X .

Twierdzenie jest często używane do kroków indukcyjnych.

Zobacz też

• Twierdzenie Grothendiecka o łączności

Notatki

•    Hartshorne, Robin (1977), Geometria algebraiczna , Absolwent Teksty z matematyki , tom. 52, Nowy Jork: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9 , MR 0463157
• Bertini i jego dwa podstawowe twierdzenia Stevena L. Kleimana o życiu i twórczości Eugenio Bertiniego