Twierdzenie Kleimana

W geometrii algebraicznej twierdzenie Kleimana , wprowadzone przez Kleimana (1974) , dotyczy wymiaru i gładkości przecięcia teorii schematów po pewnym zaburzeniu czynników w przecięciu.

Dokładniej, stwierdza: biorąc pod uwagę spójną grupę algebraiczną G działającą przechodnie na rozmaitości algebraicznej X nad algebraicznie zamkniętym polem k i ${\ Displaystyle V_ {i} \ do X, i = 1, 2}$ morfizmy rozmaitości, G zawiera niepusty otwarty podzbiór taki, że dla każdego g w zbiorze

1. sol ${\ Displaystyle gV_ {1} \ razy _ {X} V_ {2}}$ jest pusty lub ma czysty wymiar ${\ Displaystyle \$ , gdzie ${\ Displaystyle gV_ {1}}$ to ${\ Displaystyle V_ {1} \ do X {\ overset {g}{\do}}X}$ ,
2. ( Twierdzenie Kleimana – Bertiniego $}$ Jeśli ${\ Displaystyle V_ {$ gładkimi i jeśli charakterystyka pola podstawowego wynosi zero, to jest płynny.

Stwierdzenie 1 ustanawia wersję ruchomego lematu Chowa : po pewnym zaburzeniu cykli na X , ich przecięcie ma oczekiwany wymiar.

Szkic dowodu

Piszemy fa $\ displaystyle f_ {i}}$ dla ${\ displaystyle V_ {i} \ do X}$ . Niech ${\ Displaystyle h: G \ razy V_ {1} \ do X}$ będzie kompozycją, która jest ${\ Displaystyle ( ( 1_{G},f_{1}):G\razy V_{1}\to G\razy X}$ po którym następuje akcja grupowa ${\ displaystyle \ sigma: G \ razy X \ do X}$ .

Niech ${\ Displaystyle \ Gamma = (G \ razy V_ {1}) \ razy _ {X} V_ {2}}$ będzie produktem włóknistym ${\ displaystyle h}$ i ${\ displaystyle f_ {2}: V_ {2} \ do X}$ ; jego zbiór punktów zamkniętych wynosi

${\ Displaystyle \ Gamma = \ {(g, v, w) | g \ w sol, v \in V_{1},w\in V_{2},g\cdot f_{1}(v)=f_{2}(w)\}}$ .

Chcemy obliczyć wymiar ${\ displaystyle \ Gamma}$ . Niech ${\ Displaystyle p: \ Gamma \ do V_ {1} \ razy V_ {2}}$ będzie rzutem. Jest suriekcją, ponieważ $X$ przechodnio na . Każde włókno p jest zestawem stabilizatorów na X i tak dalej

${\ Displaystyle \ słaby \ Gamma = \ słaby V_ {1} + \ słaby V_ {2} + \ słaby G- \ słaby X }$ .

Rozważ projekcję ${\ Displaystyle q: \ Gamma \ do G}$ ; włókno q nad g wynosi i $że$ wymiar To kończy dowód twierdzenia 1.

Dla Stwierdzenia 2, ponieważ G działa przechodnio na X , a miejsce gładkie X jest niepuste (przez charakterystyczne zero), samo X jest gładkie. Ponieważ G jest gładkie, każde włókno geometryczne p jest gładkie, a więc $\ Displaystyle p_ {0}: \ Gamma _ {0}: = (G \ razy V_ {1, {\ tekst {sm}}}) \ razy _ {X} V_ {2, {\ tekst {sm }}}\to V_{1,{\text{sm}}}\times V_{2,{\text{sm}}}} jest$ gładkim morfizmem . Wynika $przez$ włókno jest gładkie gładkość . ${\ Displaystyle \ kwadrat}$

Notatki

•   Eisenbud, Dawid ; Harris, Joe (2016), 3264 i wszystko to: drugi kurs geometrii algebraicznej , Cambridge University Press, ISBN 978-1107602724
•   Kleiman, Steven L. (1974), „Poprzeczność ogólnego tłumaczenia” , Compositio Mathematica , 28 : 287–297, MR 0360616
•    Fulton, William (1998), Teoria przecięcia , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete . 3. Folge., tom. 2 (wyd. 2), Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-62046-4 , MR 1644323