Radykał ideału

W przypadku innych rodników patrz rodnik pierścienia .

W teorii pierścieni , gałęzi matematyki , pierwiastek ideału pierścienia $przemiennego$ jest kolejnym ideałem zdefiniowanym przez właściwość, że element w pierwiastku wtedy i tylko wtedy, gdy pewna moc jest $displaystyle I}$ { \ z ${\ displaystyle x}$ jest w ${\ displaystyle I}$ . Przyjmowanie radykalnego ideału nazywa się radykalizacją . Radykalny ideał (lub ideał półpierwszy ) jest ideałem równym pierwiastkowi. Pierwiastek ideału pierwotnego jest ideałem pierwszym .

Ta koncepcja została uogólniona na pierścienie nieprzemienne w artykule o pierścieniach półpierwszorzędnych .

Definicja

Pierwiastek ideału w pierścieniu przemiennym $,$ oznaczony przez $rad} (ja)}$$\$ Displaystyle lub ${\ displaystyle {\ sqrt { I}}}$ , jest zdefiniowany jako

${\ Displaystyle {\ sqrt {I}} = \ lewo \ {r \ w R \ mid r ^ {n} \ w ja \ { \hbox{dla niektórych}}\ n\in \mathbb {Z} ^{+}\!\right\},}$

(zwróć uwagę, że ${\ displaystyle I \ podzbiór {\ sqrt {I}}})$ . Intuicyjnie, $.$$wszystkich$$wzięcie$ pierwiastków elementów wewnątrz pierścienia Równoważnie, $zapowiedzią$ ideału nilpotentnych elementów ( ) pierścienia ilorazowego / ${\ Displaystyle R / I}$ (poprzez naturalną mapę ${\ Displaystyle \ pi \ okrężnica R \ do R/I}$ ). To ostatnie dowodzi $jest$ że ideałem.

Jeśli pierwiastek jest generowany w sposób skończony $,$ to pewna moc jest zawarta w $}$$displaystyle I$ . W szczególności, jeśli $i$$są$ ideałami $I}$ noetherowskiego , to i mają ten sam rodnik wtedy i tylko wtedy $gdy$$displaystyle$${$ } $zawiera$$.$ moc i $pewną$ _ _

Jeśli ideał $zbiega$ się z własnym radykałem, to nazywany jest ideałem $.$ ideałem półpierwszym

Przykłady

• Rozważ pierścień liczb całkowitych Z $\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ .
  1. Pierwiastek ideału całkowitych wielokrotności $to$$\ Displaystyle 4}$ 2 $2 \ mathbb {Z}}$ .
  2. Rodnik ${\ Displaystyle 5 \ mathbb {Z}}$ to ${\ Displaystyle 5 \ mathbb {Z}}$ .
  3. Pierwiastek ${\ Displaystyle 12 \ mathbb {Z}}$ to ${\ Displaystyle 6 \ mathbb {Z}}$ .
  4. Ogólnie rzecz biorąc, pierwiastek $,$ jest gdzie jest $displaystyle$ wszystkich różnych czynników pierwszych m $m}$$m \ mathbb {Z$$} \$$displaystyle$ , największy współczynnik bez kwadratów patrz Pierwiastek liczby całkowitej ). W rzeczywistości jest to uogólnienie na dowolny ideał (patrz Właściwości ).
• $_$ ideał _ Ja ${\ Displaystyle {\ sqrt {I}} = (y)}$ (przy użyciu podstawowej właściwości $\ displaystyle {\ sqrt {I ^ {n}}} = { \sqrt {I}}}$ ), ale podajemy kilka alternatywnych metod: Radykał ${\ Displaystyle {\ sqrt {I}}}$ odpowiada nilradical { $\ Displaystyle {\ sqrt {0}}}$ ilorazu pierścienia ${\ Displaystyle R = \ mathbb {C} [x,y]/\!\left(y^{4}\right)}$ , czyli punkt przecięcia wszystkich ideałów pierwszych pierścienia ilorazu. Zawarte jest to w radykale Jacobsona , który jest przecięciem wszystkich ideałów maksymalnych , będących jądrami homomorfizmów na pola . _ Każdy homomorfizm pierścieni $}}$ mieć w jądrze, aby mieć dobrze zdefiniowany homomorfizm (jeśli powiedzieliśmy na przykład, że jądro powinno R → do {\ displaystyle R \ $mathbb {$ być ${\ Displaystyle (x, y-1)}$ kompozycja ${\ Displaystyle \ mathbb {C} [x, y] \ do R \ do \ mathbb {C}}$ byłoby ${\ Displaystyle \ lewo (x, y ^ {4}, y-1 \ prawej)}$ , co jest równoznaczne z próbą wymuszenia ${\ displaystyle 1 = 0}$ ). Ponieważ jest algebraicznie domknięty $C}}$ każdy homomorfizm uwzględniać przez $\ mathbb$${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$ , więc musimy tylko obliczyć przecięcie ${\ Displaystyle \ {\ ker (\ Phi): \ Phi \in \operatorname {Hom} (R,\mathbb {C} )\}}$ do obliczenia pierwiastka z ${\ Displaystyle (0).}$ Następnie stwierdzamy, że ${\ Displaystyle {\ sqrt {0}} = (y) \ podzbiór R.}$

Nieruchomości

W tej sekcji będziemy kontynuować konwencję, że I jest ideałem pierścienia przemiennego: ${\ displaystyle R}: R {\ displaystyle R$ }

• Zawsze jest prawdą $radykalizacja$ że operacją . Co więcej, $to$ najmniejszy radykalny ideał zawierający ${\ displaystyle I}$ .
• $\ displaystyle {\ sqrt {I}}}$$displaystyle I}$ jest przecięciem wszystkich głównych ideałów , które zawierają ${\$
  $${\ Displaystyle {\ sqrt {I}} = \ bigcap _ {\ stackrel {{\ mathfrak {p}} {\ tekst {liczba pierwsza}}} {R \ supsetneq { \mathfrak {p}}\supseteq I}}{\mathfrak {p}},}$$
  a zatem pierwiastek ideału pierwszego jest sobie równy. Dowód: Z jednej strony każdy ideał pierwszy jest radykalny, więc to przecięcie zawiera ${\ displaystyle {\ sqrt {I}}}$ . Załóżmy, że $jest$ elementem $displaystyle$$R}$ , którego nie ma w niech ${\ displaystyle S}$ będzie zbiorem ${\ Displaystyle \ lewo \ {r ^ {n} \ mid n = 0,1,2, \ ldots \ prawo \}}$ . Zgodnie z definicją , musi być rozłączny z ${\ displaystyle {$$}$${I}}$ . jest również $domknięty$ . Tak więc $zgodnie$ z wariantem twierdzenia Krulla , istnieje ideał pierwszy $.$ który zawiera i nadal jest rozłączny ${\ displaystyle S}$ (patrz ideał pierwszy ). Ponieważ ${\$$,$ ale nie $pokazuje$ , to, że $displaystyle r$ znajduje się na przecięciu głównych ideałów zawierających $} \displaystyle I}$ . To kończy dowód. Stwierdzenie można nieco wzmocnić: radykał $przecięciem$ wszystkich głównych ideałów ${\ displaystyle R}$$,$ które są minimalne wśród tych .
• Specjalizując się w ostatnim punkcie, nilradical (zbiór wszystkich elementów nilpotentnych) jest równy przecięciu wszystkich głównych ideałów ${\ displaystyle R}$
  $${\ Displaystyle {\ sqrt {0}} = {\ mathfrak {N}} _ {R} = \ bigcap _ {{\ mathfrak {p}} \ subsetneq R {\ text {prim}}}} {\ mathfrak {p }}.}$$
  Ta właściwość jest postrzegana jako równoważna z pierwszą na podstawie naturalnej mapy ${\ Displaystyle \ pi \ okrężnica R \ do R / I},$ która daje bijekcję ${\ displaystyle u}$ :
  $${\ Displaystyle \ lewo \ lbrace {\ tekst {ideały}} J \ mid R \ supseteq J \ supseteq I \ right \ rbrace \quad {\overset {u}{\rightleftharpoons}}\quad \left\lbrace {\text{ideały}}J\mid J\subseteq R/I\right\rbrace ,}$$
  zdefiniowane przez ${\ Displaystyle u \ dwukropek J \ mapsto J / I = \ lbrace r + I \ środkowy r \ w J \ rbrace.}$
• Ideał w pierścieniu $jest$$zmniejszony$ wtedy $tylko$ wtedy , iloraz pierścienia
• Radykał jednorodnego ideału jest jednorodny.
• Radykał przecięcia ideałów jest równy przecięciu ich pierwiastków: ${\ Displaystyle {\ sqrt {I \ cap J}} = {\ sqrt {I}} \ cap {\ sqrt { J}}}$ .
• Rodnik ideału pierwotnego jest liczbą pierwszą. Jeśli pierwiastek ideału $maksymalny$ , to $pierwotny$ .
• Jeśli ${\ displaystyle I}$ jest ideałem, ${\ displaystyle {\ sqrt {I ^ {n}}} = {\ sqrt {I}}}$ . Ponieważ ideały pierwsze są ideałami radykalnymi, dla każdego ideału pierwszego ${\ displaystyle {\ sqrt {{\ mathfrak {p}} ^ {n}}} = {\ mathfrak {p}$$} mathfrak {p}}}$ .
• Niech $ja$$,$ będę pierścienia Jeśli $,$ współmaksymalne to są $_$ _
• Niech będzie skończenie generowanym modułem na pierścieniu noetherowskim $R}$$displaystyle$ . Następnie
  $${\ Displaystyle {\ sqrt {\ nazwa operatora {ann} _ {R} (M)}} = \ bigcap _ {{\ mathfrak {p}}\,\in \,\operatorname {supp} M}{\mathfrak {p}}=\bigcap _{{\mathfrak {p}}\,\in \,\operatorname {ass} M} {\mathfrak {p}}}$$
  gdzie ${\ Displaystyle \ operatorname {supp} M}$ jest wsparciem dla i $\ operatorname {tyłek} M}$$Displaystyle$ jest zbiorem powiązanych liczb pierwszych M $Displaystyle M }$ .

Aplikacje

Główną motywacją do studiowania radykałów jest Nullstellensatz Hilberta w algebrze przemiennej . Jedna wersja tego słynnego twierdzenia mówi, że dla każdego ideału w $pierścieniu$ wielomianu ${\ Displaystyle \ mathbb {k} [x_ {1}, x_$ nad algebraicznie zamkniętym polem , ma się ${\ displaystyle \ mathbb {k}}$

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {I} (\ nazwa operatora {V} (J)) = {\ sqrt {J}}}$

Gdzie

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {V} (J) = \ lewo \ {x \ w \ mathbb {k} ^ {n }\mid f(x)=0{\mbox{ dla wszystkich }}f\w J\right\}}$

I

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {I} (V) = \ {f \ w \ mathbb {k} [x_ {1}, x_ {2}, \ ldots x_ {n}] \ mid f (x) = 0 {\ mbox{ dla wszystkich }}x\in V\}.}$

Z geometrycznego punktu widzenia oznacza to, że jeśli rozmaitość zostanie wycięta przez równania wielomianowe ${\ Displaystyle f_ {1} = 0, \ ldots, f_ {r} =$$1$, then the only other polynomials which vanish on $V$ are those in the radical of the ideal $(f_{1},\ldots ,f_{r})$.

Ujmując to inaczej: kompozycja ${\ Displaystyle \ nazwa operatora {I} (\ nazwa operatora {V} (-)) = {\ sqrt {-}}} jest$ operatorem domknięcia na zbiorze ideałów pierścienia.

Zobacz też

• radykał Jacobsona
• Nilrodnik pierścienia
• Prawdziwy radykalizm

Cytaty

•   Atiyah, Michael Francis ; Macdonald, Ian G. (1994). Wprowadzenie do algebry przemiennej . Czytanie, MA: Addison-Wesley . ISBN 0-201-40751-5 .
•    Eisenbud, Dawid (1995). Algebra przemienna z myślą o geometrii algebraicznej . Absolwent Teksty z matematyki . Tom. 150. Nowy Jork: Springer-Verlag . ISBN 0-387-94268-8 . MR 1322960 .
•     Lang, Serge (2002), Algebra , Absolwent Teksty z matematyki , tom. 211 (poprawione wydanie trzecie), Nowy Jork: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4 , MR 1878556 , Zbl 0984.00001