Ind-ukończenie

W matematyce ind -completion lub ind-construction to proces swobodnego dodawania przefiltrowanych kolimitów do danej kategorii C . Obiekty w tej kategorii ind-complete, oznaczone Ind( C ), są znane jako systemy bezpośrednie , są to funktory z małej przefiltrowanej kategorii I do C .

Podwójna koncepcja to pro-ukończenie, Pro( C ) .

Definicje

Filtrowane kategorie

Dalsze informacje: Filtrowana kategoria

Systemy bezpośrednie opierają się na pojęciu kategorii filtrowanych . $której$ przykład kategoria N , obiektami są naturalne iz dokładnie jednym morfizmem od n do m ilekroć , kategorią filtrowaną.

Systemy bezpośrednie

Zobacz także: Ograniczenie bezpośrednie § System bezpośredni

System bezpośredni lub obiekt-ind w kategorii C jest definiowany jako funktor

$: ja \ do C}$

od małej przefiltrowanej kategorii I do C . Na przykład, jeśli I jest kategorią N wspomnianą powyżej, to dane są równoważne z sekwencją

${\ Displaystyle X_ {0} \ do X_ {1} \ do \ cdots}$

obiektów w C wraz z wyświetlanymi morfizmami.

Ind-ukończenie

Ind-przedmioty w C tworzą kategorię ind- C .

Dwa obiekty ind

$: ja \ do C}$

I

${\ textstyle G: J \ do C}$ określ funktor

ja ^op x jot ${\ Displaystyle \ do}$ Zestawy ,

mianowicie funktor

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {Hom} _ {C} (F (i), G (j)).}$

Zbiór morfizmów między F i G w Ind( C ) jest zdefiniowany jako współgranica tego funktora w drugiej zmiennej, po której następuje granica w pierwszej zmiennej:

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {Hom} _ {\ nazwa operatora {Ind} {\ tekst {-}} C} (F, G) = \ lim _ {i} \ nazwa operatora {colim} _ {j} \ nazwa operatora {Hom} _{C}(F(i),G(j)).}$

$\ Displaystyle F (i) \ do G ($ ze zbioru map każdego ja , gdzie $} displaystyle j_{i}}$ jest (w zależności od i ) wystarczająco duży.

Relacja między C i Ind( C )

Ostateczna kategoria I = {*} składająca się z pojedynczego obiektu * i tylko jego morfizmu tożsamościowego jest przykładem kategorii filtrowanej. W szczególności każdy obiekt X w C powoduje powstanie funktora

${\ Displaystyle \ {* \} \ do C, * \ mapsto X}$

a zatem do funktora

${\ Displaystyle C \ do \ nazwa operatora {Ind} (C), X \ mapsto (* \ mapsto X).}$

Funktor ten jest, jako bezpośrednia konsekwencja definicji, w pełni wierny. Dlatego Ind( C ) można uważać za kategorię większą niż C .

I odwrotnie, generalnie nie musi istnieć naturalny funktor

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {Ind.} (C) \ do C.}$

Jeśli jednak $I )$ posiada wszystkie filtrowane współgranice ( to wysyłanie obiektu ind dla pewnej filtrowanej kategorii jego

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {colim} _ {I} F (i)}$

daje taki funktor, który jednak na ogół nie jest równoważnością. Tak więc, nawet jeśli C ma już wszystkie przefiltrowane współgranice, Ind( C ) jest zdecydowanie większą kategorią niż C.

Obiekty w Ind( C ) można traktować jako formalne bezpośrednie granice, więc niektórzy autorzy również oznaczają takie obiekty przez

${\ Displaystyle {\ tekst {„}} \ varinjlim _ {i \ w ja} {\ tekst {''}} F (i).}$

Ta notacja pochodzi od Pierre'a Deligne'a .

Uniwersalna właściwość ind-complement

Przejście z kategorii C do Ind( C ) sprowadza się do swobodnego dodania przefiltrowanych kolimitów do kategorii. Dlatego konstrukcja jest również określana jako ind-completion of C . Uściśla to następujące twierdzenie: dowolny funktor wartości w kategorii $D$ rozciąga się na funktor ${\ Displaystyle Ind (C) \ do D}$ , który jest jednoznacznie określony przez wymagania, że ​​jego wartość na C jest oryginalnym funktorem F i taka, że ​​zachowuje wszystkie filtrowane współgranice.

Podstawowe właściwości kategorii-ind

Zwarte obiekty

Zasadniczo dzięki projektowi morfizmów w Ind( C ), każdy obiekt X z C jest zwarty , gdy jest traktowany jako obiekt z Ind( C ), tj. jest funktorem rdzeniowym

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {Hom} _ {\ nazwa operatora {Ind} (C)} (X, -)}$

zachowuje przefiltrowane kolimity. Jest to prawdą bez względu na to, czym C lub obiekt X , w przeciwieństwie do faktu, że X nie musi być zwarty w C . I odwrotnie , każdy zwarty obiekt w Ind( C ) powstaje jako obraz obiektu w X.

Kategoria C nazywana jest generowaną ${0}$ , jeśli jest równoważna $)}$ dla jakiejś małej kategorii . Ind-dopełnieniem kategorii FinZbiór zbiorów skończonych jest kategorią wszystkich zbiorów . Podobnie, jeśli C jest kategorią grup skończenie generowanych, to ind-C jest równoważne kategorii wszystkich grup.

Rozpoznawanie uzupełnień ind

$ma$ na następujących faktach: jak wspomniano powyżej, każdy funktor przyjmujący wartości w kategorii D która rozszerzenie

${\ Displaystyle {\ tylda {F}}: \ operatorname {Ind} (C) \ do D,}$

który zachowuje przefiltrowane kolimity. To rozszerzenie jest unikalne aż do równoważności. $displaystyle F (c)}$ pierwsze, ten funktor $jest$ zasadniczo surjekcją , jeśli dowolny obiekt w D można wyrazić jako przefiltrowane współgranice obiektów w postaci \ dla odpowiednie obiekty c w C . Po $wtedy,$ , jest w pełni wierny wtedy i tylko oryginalny funktor F jest w pełni wierna i jeśli F wysyła dowolne obiekty w C do zwartych obiektów w D .

Zastosowanie tych faktów do, powiedzmy, funktora inkluzji

${\ Displaystyle F: \ operatorname {FinSet} \ podzbiór \ operatorname {zestaw},}$

równoważność

${\ Displaystyle \ operatorname {Ind} (\ operatorname {FinSet}) \ cong \ operatorname {Set}}$

wyraża fakt, że każdy zbiór jest filtrowaną współgranicą zbiorów skończonych (na przykład każdy zbiór jest sumą jego skończonych podzbiorów, co jest systemem filtrowanym), a ponadto, że każdy zbiór skończony jest zwarty, gdy jest traktowany jako obiekt zbioru .

Zakończenie

Podobnie jak inne pojęcia i konstrukcje kategoryczne, ind-completion dopuszcza dualność znaną jako pro-completion: kategoria Pro( C ) jest zdefiniowana w terminach ind-obiektu jako

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {Pro} (C): = \ nazwa operatora {Ind} (C ^ {op}) ^ {op}.}$

(Definicja pro- C pochodzi od Grothendiecka (1960) .)

Dlatego obiekty Pro( C ) są systemami odwrotnymi lub proobiektami w C . Z definicji są to systemy bezpośrednie w $\ displaystyle C ^ {op}}$ kategorii lub równoważnie funktory do

$: ja \ do C}$

z małej kofiltrowanej kategorii I .

Przykłady prokategorii

Chociaż Pro( C ) istnieje dla dowolnej kategorii C , warto zwrócić uwagę na kilka szczególnych przypadków ze względu na powiązania z innymi pojęciami matematycznymi.

• Jeśli C jest kategorią grup skończonych , to pro-C jest równoważne kategorii grup skończonych i ciągłych homomorfizmów między nimi.
• Proces nadawania wstępnie $. text{fin}})}$ zestawu topologią Aleksandrowa kategorii skończonych wstępnie uporządkowanych , z kategorią spektralnych przestrzeni topologicznych i quasi-zwartych morfizmów.
• Kamienny dualizm zapewnia $, że$ kategoria kategorii zbiorów skończonych jest równoważna kategorią kamiennych

Pojawienie się pojęć topologicznych w tych prokategoriach można przypisać równoważności, która sama w sobie jest szczególnym przypadkiem dualizmu Stone'a,

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {FinSet} ^ {op} = \ nazwa operatora {FinBool}}$

który wysyła zbiór skończony do zbioru potęgowego (traktowanego jako skończona algebra Boole'a). Dwoistość między pro- i ind-obiektami oraz znany opis dopełnień ind również dają początek opisom pewnych przeciwstawnych kategorii. Na przykład takie rozważania można wykorzystać do wykazania, że ​​przeciwna kategoria kategorii przestrzeni wektorowych (nad stałym polem) jest równoważna kategorii liniowo zwartych przestrzeni wektorowych i ciągłych map liniowych między nimi.

Aplikacje

Pro-uzupełnienia są mniej widoczne niż ind-uzupełnienia, ale zastosowania obejmują teorię kształtu . Proobiekty powstają również poprzez ich połączenie z funktorami proreprezentacyjnymi, na przykład w teorii Galois Grothendiecka , a także w kryterium Schlessingera w teorii deformacji .

Pojęcia pokrewne

Obiekty Tate są mieszanką ind- i pro-obiektów.

Warianty nieskończoności-kategoryczne

Ind-completion (i dualnie pro-completion) zostało rozszerzone na ∞-kategorie przez Lurie (2009) .

Zobacz też

• Granica bezpośrednia - Szczególny przypadek kolimitu w teorii kategorii
• Odwrotna granica – Konstrukcja w teorii kategorii

Notatki

•   Bergmana; Hausknecht (1996), Kogrupy i ko-pierścienie w kategoriach pierścieni asocjacyjnych , Badania matematyczne i monografie, tom. 45, doi : 10.1090/surv/045 , ISBN 9780821804957
•   Bourbaki, Nicolas (1968), Elementy matematyki. Teoria zbiorów , Przetłumaczone z francuskiego, Paryż: Hermann, MR 0237342 .
•    Grothendieck, Alexander (1960), "Technique de descente et théoèmes d'existence en géométrie algébriques. II. Le théorème d'existence en théorie formelle des module" , Séminaire Bourbaki: années 1958/59 - 1959/60, exposés 169-204 (w języku francuskim), Sociétée mathématique de France, s. 369–390, MR 1603480 , Zbl 0234.14007
• „System (w kategorii)” , Encyklopedia matematyki , EMS Press , 2001 [1994]
•   Johnstone, Peter T. (1982), Kamienne przestrzenie , ISBN 0521337798
•    Lurie, Jacob (2009), Wyższa teoria toposu , Annals of Mathematics Studies, tom. 170, Princeton University Press , arXiv : math.CT/0608040 , ISBN 978-0-691-14049-0 , MR 2522659
•   Segal, Jack; Mardešić, Sibe (1982), Teoria kształtów , North-Holland Mathematical Library, tom. 26, Amsterdam: Holandia Północna, ISBN 978-0-444-86286-0