Przestrzeń widmowa

W matematyce przestrzeń widmowa jest przestrzenią topologiczną , która jest homeomorficzna z widmem pierścienia przemiennego . Czasami nazywana jest również spójną przestrzenią ze względu na związek ze spójnymi toposami .

Definicja

Niech X będzie przestrzenią topologiczną i niech ( X ^$)$ będzie zbiorem wszystkich zwartych otwartych podzbiorów X Wtedy mówi się, że X jest widmowy , jeśli spełnia wszystkie następujące warunki:

X jest zwarty , a T ₀ .
K ^{${\ Displaystyle \ circ}$} ( X ) jest podstawą otwartych podzbiorów X .
K ^{${\ displaystyle \ circ}$} ( X ) jest zamknięty pod skończonymi przecięciami.
X jest trzeźwy , tj. każdy niepusty, nieredukowalny, domknięty podzbiór X ma (koniecznie unikalny) punkt ogólny .

Równoważne opisy

Niech X będzie przestrzenią topologiczną. Każda z następujących właściwości jest równoważna właściwości widmowej X :

X jest homeomorficzny do rzutowej granicy skończonych ₀ T -przestrzeni .
X jest homeomorficzny z widmem ograniczonej sieci rozdzielczej L . W tym przypadku L jest izomorficzne (jako ^$się$ siatka) z kratą ( X ) (nazywa to Kamienną reprezentacją sieci dystrybucyjnych ).
X jest homeomorficzne z widmem pierścienia przemiennego .
X jest przestrzenią topologiczną określoną przez przestrzeń Priestleya .
₀ X jest przestrzenią T , której układ zbiorów otwartych jest spójny (a każdy spójny układ pochodzi w ten sposób z unikalnej przestrzeni widmowej).

Nieruchomości

Niech X będzie przestrzenią widmową i niech K ^{${\ displaystyle \ circ}$} ( X ) będzie jak poprzednio. Następnie:

K ^{${\ Displaystyle \ circ}$} ( X ) jest ograniczoną podsiecią podzbiorów X .
Każda zamknięta podprzestrzeń X jest widmowa .
Dowolne przecięcie zwartych i otwartych podzbiorów X ( ^$X$ elementów z ( ) ) jest znowu widmowe .
X to T ₀ z definicji, ale generalnie _nie T1 . W rzeczywistości przestrzeń widmowa jest T ₁ wtedy i tylko wtedy, gdy jest Hausdorffem (lub T ₂ ) wtedy i tylko wtedy, gdy jest przestrzenią logiczną wtedy i tylko wtedy, gdy ^$jest$ X ) algebrą logiczną .
X może być postrzegane jako parami przestrzeń Stone'a .

Mapy spektralne

Widmowa mapa f : X → Y między przestrzeniami widmowymi X i Y jest ciągłą mapą taką, że preobraz każdego otwartego i zwartego podzbioru Y pod f jest znowu zwarty.

Kategoria przestrzeni widmowych, która ma mapy widmowe jako morfizmy, jest podwójnie równoważna kategorii ograniczonych sieci rozdzielczych (wraz z morfizmami takich sieci). W tej antyrównoważności przestrzeń widmowa X odpowiada siatce ( ^$X$ )

Cytaty

M. Hochster (1969). Pierwsza idealna struktura w pierścieniach przemiennych. Trans. Amer. Matematyka soc. , 142 43-60
Johnstone, Peter (1982), „II.3 Spójne lokalizacje”, Stone Spaces , Cambridge University Press, s. 62–69, ISBN 978-0-521-33779-3 .
Dickmann, Maks; Schwartz, Niels; Tressl, Marcus (2019). Przestrzenie widmowe . Nowe monografie matematyczne. Tom. 35. Cambridge: Cambridge University Press . doi : 10.1017/9781316543870 . ISBN 9781107146723 .