Teoria dualizmu dla sieci rozdzielczych

W matematyce teoria dwoistości dla sieci dystrybucyjnych zapewnia trzy różne (ale blisko powiązane) reprezentacje ograniczonych sieci dystrybucyjnych poprzez przestrzenie Priestleya , przestrzenie widmowe i przestrzenie parami Stone'a . Ta dwoistość, która pierwotnie pochodzi również od Marshalla H. Stone'a , uogólnia dobrze znaną dualność Stone'a między przestrzeniami Stone'a a algebrami Boole'a .

Niech $L będzie ograniczoną$ $siatką$ rozdzielczą i niech $X$ oznacza zbiór filtrów pierwszych L . Dla każdego $za \in L$ , niech $φ + (za) = {x \in X : za \in x}$ . Wtedy $(X, τ +)$ jest przestrzenią widmową, w której topologia $τ +$ na $X$ jest generowana przez ${φ + (a) : a \in L}$ . Przestrzeń widmowa $(X, τ +)$ nazywana jest $widmem$ pierwszym L .

Odwzorowanie $φ + jest$ izomorfizmem sieciowym od $L$ do sieci wszystkich zwartych podzbiorów otwartych zbioru $(X, τ +)$ . W rzeczywistości każda przestrzeń widmowa jest homeomorficzna z widmem pierwszym pewnej ograniczonej sieci rozdzielczej.

Podobnie, jeśli $φ - (a) = {x \in X : a \notin x}$ i $τ -$ oznacza topologię generowaną przez ${φ - (a) : a \in L}$ , to $(X, τ -)$ jest również przestrzenią widmową . Ponadto $(X, τ +, τ -)$ jest parami przestrzeni Stone'a . Parami przestrzeń Stone'a $(X, τ +, τ -)$ nazywana jest bitopologiczną liczbą dualną $L$ . Każda para przestrzeni Stone'a jest bi-homeomorficzna z bitopologiczną dualnością jakiejś ograniczonej sieci rozdzielczej.

Na koniec niech $\leq$ będzie inkluzją teoriomnogościową na zbiorze filtrów pierwszych $L$ i niech $τ = τ + \lor τ -$ . Wtedy $(X, τ,\leq)$ jest przestrzenią Priestleya . Co więcej, $φ +$ jest izomorfizmem sieci od $L$ do sieci wszystkich zamknięć up-setów ( $X, τ, \leq)$ . Przestrzeń Priestleya $(X, τ,\leq)$ nazywana jest liczbą podwójną Priestleya dla $L$ . Każda przestrzeń Priestleya jest izomorficzna z dualnością Priestleya pewnej ograniczonej sieci rozdzielczej.

Niech Dist oznacza kategorię ograniczonych krat rozdzielczych i ograniczonych homomorfizmów kratowych . Następnie powyższe trzy reprezentacje ograniczonych sieci rozdzielczych można rozszerzyć do podwójnej równoważności między Dist a kategoriami Spec , PStone i Pries przestrzeni widmowych z mapami widmowymi, parami przestrzeni Stone'a z mapami dwuciągłymi i przestrzeni Priestleya z morfizmami Priestleya odpowiednio:

Dualność dla ograniczonych krat rozdzielczych

Zatem istnieją trzy równoważne sposoby przedstawiania ograniczonych krat rozdzielczych. Każdy z nich ma swoją własną motywację i zalety, ale ostatecznie wszystkie służą temu samemu celowi, jakim jest zapewnienie lepszego zrozumienia ograniczonych sieci rozdzielczych.

Zobacz też

Notatki

Priestley, HA (1970). Reprezentacja sieci rozdzielczych za pomocą uporządkowanych przestrzeni Stone'a. Byk. Matematyka Londynu. soc. , (2) 186–190.
Priestley, HA (1972). Uporządkowane przestrzenie topologiczne i reprezentacja sieci rozdzielczych. proc. Matematyka Londynu. soc. , 24(3) 507-530.
Kamień, M. (1938). Reprezentacja topologiczna sieci rozdzielczych i logika Brouwera. Szkodnik Casopisa. Mata. Fys., 67 1–25.
Kornwalijski, WH (1975). O podwójnej kategorii ograniczonych krat rozdzielczych H. Priestleya. Mata. Vesnik , 12(27) (4) 329-332.
M. Hochster (1969). Pierwsza idealna struktura w pierścieniach przemiennych. Trans. Amer. Matematyka soc. , 142 43–60
Johnstone, PT (1982). Kamienne przestrzenie . Cambridge University Press, Cambridge. ISBN 0-521-23893-5 .
Jung, A. i Moshier, MA (2006). O bitopologicznej naturze kamiennego dualizmu. Raport techniczny CSR-06-13 , Szkoła Informatyki Uniwersytetu w Birmingham.
Bezhanishvili, G., Bezhanishvili, N., Gabelaia, D., Kurz, A. (2010). Bitopologiczna dualność dla sieci rozdzielczych i algebr Heytinga. Struktury matematyczne w informatyce , 20.
Dickmann, Maks; Schwartz, Niels; Tressl, Marcus (2019). Przestrzenie widmowe . Nowe monografie matematyczne. Tom. 35. Cambridge: Cambridge University Press . doi : 10.1017/9781316543870 . ISBN 9781107146723 .