Przestrzeń Priestleya

W matematyce przestrzeń Priestleya jest uporządkowaną przestrzenią topologiczną o specjalnych właściwościach. Przestrzenie Priestleya zostały nazwane na cześć Hilary Priestley , która je wprowadziła i zbadała. Przestrzenie Priestleya odgrywają fundamentalną rolę w badaniu sieci rozdzielczych . W szczególności istnieje dwoistość („ dwoistość Priestleya ”) między kategorią przestrzeni Priestleya a kategorią ograniczonych sieci rozdzielczych.

Definicja

Przestrzeń Priestleya to uporządkowana przestrzeń topologiczna ( X , τ ,≤) , czyli zbiór X wyposażony w częściowy porządek ≤ i topologię τ , spełniający dwa warunki:

1. ( X , τ ) jest zwarty .
2. Jeśli ${\ Displaystyle \ scriptstyle x \, \ not \ równoważnik \, y}$ , to istnieje zbiór zamknięty U z X taki, że x ∈ U i y ∉ U . (Warunek ten jest znany jako aksjomat separacji Priestleya ).

Własności przestrzeni Priestleya

• Każda przestrzeń Priestleya to Hausdorff . Rzeczywiście, biorąc pod uwagę dwa punkty x , y przestrzeni Priestleya ( X , τ , ≤) , jeśli x ≠ y , to ponieważ ≤ jest porządkiem częściowym, albo ${\ Displaystyle \ scriptstyle x \ \ \ not \ leq \ y}$ lub ${\ Displaystyle \ scriptstyle y \ \ nie \ równoważnik \, x}$ . Zakładając, bez utraty ogólności, że ${\ displaystyle \ scriptstyle x \, \ not \ leq \, y}$ , (ii) zapewnia zamknięte zestawienie U z X takie, że x ∈ U i y ∉ U . Dlatego U i V = X - U są rozłącznymi otwartymi podzbiorami X oddzielającymi x i y .
• Każda przestrzeń Priestleya jest również zerowymiarowa ; to znaczy, każde otwarte sąsiedztwo U punktu x przestrzeni Priestleya ( X , τ ,≤) zawiera zamknięte sąsiedztwo C od x . Aby to zobaczyć, postępuje się w następujący sposób. Dla każdego y ∈ X - U , albo ${\ Displaystyle \ scriptstyle x \ \ nie \ równoważnik \, y}$ lub ${\ displaystyle \ scriptstyle y \, \ nie \ równoważnik \, x}$ . Zgodnie z aksjomatem separacji Priestleya istnieje zbiór domknięty lub zbiór domknięty zawierający x i brakujący y . Przecięcie tych domkniętych sąsiedztw x nie spełnia X − U . Dlatego, ponieważ X jest zwarty, istnieje skończone przecięcie tych domkniętych sąsiedztw x brakujących X − U . To skończone przecięcie jest pożądanym zamkniętym sąsiedztwem C x zawarte w U .

Wynika z tego, że dla każdej przestrzeni Priestleya ( X , τ ,≤) przestrzeń topologiczna ( X , τ ) jest przestrzenią Stone'a ; to znaczy jest to zwarta przestrzeń zerowymiarowa Hausdorffa.

Niektóre dalsze użyteczne właściwości przestrzeni Priestleya wymieniono poniżej.

Niech ( X , τ ,≤) będzie przestrzenią Priestleya.

(a) Dla każdego podzbioru domkniętego F z X , oba ↑ F = { x ∈ X : y ≤ x dla pewnego y ∈ F } i ↓ F = { x ∈ X : x ≤ y dla pewnego y ∈ F } są podzbiorami domkniętymi z X. _

(b) Każdy otwarty zbiór X jest sumą domkniętych zbiorów X i każdy otwarty zbiór X jest sumą zbiorów domkniętych X .

(c) Każdy zamknięty zestaw górny X jest przecięciem zbiorów domkniętych X i każdy domknięty zbiór dolny X jest przecięciem zbiorów domkniętych X .

(d) Zbiory domknięte w górę i zbiory domknięte w dół X tworzą podbazę dla ( X , τ ) .

(e) Dla każdej pary podzbiorów domkniętych F i G od X , jeśli ↑ F ∩ ↓ G = ∅ , to istnieje zbiór zamknięty U taki, że F ⊆ U i U ∩ G = ∅ .

Morfizm Priestleya z przestrzeni Priestleya ( X , τ ,≤) do innej przestrzeni Priestleya ( X ′, τ ′,≤′) to mapa f : X → X ′ , która jest ciągła i zachowuje porządek .

Niech Pries oznaczy kategorię przestrzeni Priestleya i morfizmów Priestleya.

Połączenie z przestrzeniami widmowymi

Przestrzenie Priestleya są blisko spokrewnione z przestrzeniami widmowymi . Dla przestrzeni Priestleya ( X , τ ,≤) niech τ ^u oznacza zbiór wszystkich zbiorów otwartych X . Podobnie niech τ ^d oznacza zbiór wszystkich otwartych zbiorów X .

Twierdzenie: Jeśli ( X , τ ,≤) jest przestrzenią Priestleya, to zarówno ( X , τ ^u ) jak i ( X , τ ^d ) są przestrzeniami widmowymi.

I odwrotnie, mając daną przestrzeń widmową ( X , τ ) , niech τ ^# oznacza topologię łat na X ; to znaczy topologia generowana przez podbazę składającą się ze zwartych otwartych podzbiorów ( X , τ ) i ich dopełnień . Niech też ≤ oznacza porządek specjalizacji ( X , τ ) .

Twierdzenie: Jeśli ( X , τ ) jest przestrzenią widmową, to ( X , τ ^# ,≤) jest przestrzenią Priestleya.

W rzeczywistości ta zgodność między przestrzeniami Priestleya a przestrzeniami widmowymi jest funkcjonalna i daje izomorfizm między Priesem a kategorią Spec przestrzeni widmowych i map widmowych .

Związek z przestrzeniami bitopologicznymi

Przestrzenie Priestleya są również blisko spokrewnione z przestrzeniami bitopologicznymi .

Twierdzenie: Jeśli ( X , τ ,≤) jest przestrzenią Priestleya, to ( X , τ ^u , τ ^d ) jest parą przestrzeni Stone'a . I odwrotnie, jeśli ( X , τ ₁ , τ ₂ ) jest przestrzenią Stone'a parami, to ( X , τ ,≤) jest przestrzenią Priestleya, gdzie τ jest połączeniem τ ₁ i τ ₂ i ≤ jest porządkiem specjalizacji ( X , τ ₁ ) .

Odpowiedniość między przestrzeniami Priestleya i parami przestrzeni Stone'a jest funkcjonalna i daje izomorfizm między kategorią przestrzeni Priestleya i morfizmów Priestleya a kategorią PSton par przestrzeni Stone'a i dwuciągłych map .

Zatem mamy następujące izomorfizmy kategorii:

$\ Displaystyle \ mathbf {Spec} \ cong \ mathbf {Pries} \ cong \ mathbf {PStone}}$

Jedną z głównych konsekwencji teorii dualności dla sieci rozdzielczych jest to, że każda z tych kategorii jest podwójnie równoważna kategorii ograniczonych sieci rozdzielczych .

Zobacz też

• Przestrzeń widmowa
• Przestrzeń kamienia w parach
• Sieć rozdzielcza
• Dwoistość kamienia
• Teoria dualizmu dla sieci rozdzielczych

Notatki

• Priestley, HA (1970). „Reprezentacja sieci rozdzielczych za pomocą uporządkowanych przestrzeni Stone”. Byk. Matematyka Londynu. soc . 2 (2): 186–190. doi : 10.1112/blms/2.2.186 .
• Priestley, HA (1972). „Uporządkowane przestrzenie topologiczne i reprezentacja sieci dystrybucyjnych” (PDF) . proc. Matematyka Londynu. soc . 24 (3): 507–530. doi : 10.1112/plms/s3-24.3.507 . hdl : 10338.dmlcz/134149 .
• Kornwalijski, WH (1975). „O podwójnej kategorii ograniczonych sieci dystrybucyjnych H. Priestleya” . Mata. Vesnik . 12 (27): 329–332.
• Hochster, M. (1969). „Pierwotna idealna struktura w pierścieniach przemiennych” . Trans. Amer. Matematyka soc . 142 : 43–60. doi : 10.1090/S0002-9947-1969-0251026-X .
• Bezhanishvili, G.; Bezhanishvili, N.; Gabelaia, D.; Kurz, A (2010). „Dwoistość bitopologiczna dla sieci rozdzielczych i algebr Heytinga” (PDF) . Struktury matematyczne w informatyce . 20 .
•   Dickmann, Maks; Schwartz, Niels; Tressl, Marcus (2019). Przestrzenie widmowe . Nowe monografie matematyczne. Tom. 35. Cambridge: Cambridge University Press . doi : 10.1017/9781316543870 . ISBN 978-1-107-14672-3 .