Przestrzeń bitologiczna

W matematyce przestrzeń bitopologiczna jest zbiorem wyposażonym w dwie topologie . Zazwyczaj, jeśli zbiór to i topologie to i $\$${\ displaystyle$$}$ , to przestrzeń bitopologiczna jest określana jako $X,\sigma,\tau )}$${\ Displaystyle ($ . Pojęcie to wprowadził JC Kelly w badaniu quasimetrii , czyli funkcji odległości, które nie muszą być symetryczne.

Ciągłość

Mapa ${\ Displaystyle \ scriptstyle f: X \ do X'}$ z przestrzeni bitopologicznej $_ {2})}$${\ Displaystyle \ scriptstyle (X, \ tau _ {1}, \$ tau do innej przestrzeni bitopologicznej ${\ Displaystyle \ scriptstyle (X', \ tau _ {1} ', \ tau _ {2}')}$ nazywany ciągłym lub czasami $\$ ciągłym , jeśli jest ciągły zarówno jako mapa od $Displaystyle \ scriptstyle (X, \ tau _ {1})}$ do ${\ Displaystyle \ scriptstyle (X', \ tau _ {1}')}$ i jako mapa od ${\ Displaystyle \ scriptstyle (X, \ tau _ {2})}$ do ${\ Displaystyle \ scriptstyle (X', \ tau _ {2} ')}$ .

Bitopologiczne warianty własności topologicznych

Odpowiadające dobrze znanym własnościom przestrzeni topologicznych istnieją wersje dla przestrzeni bitopologicznych.

• Przestrzeń bitopologiczna jest zwarta parami $}$ jeśli każda $ja$ z ${\ Displaystyle \ scriptstyle X}$ z ${\ Displaystyle \ scriptstyle U_ {i} \ in \ tau _{1}\cup \tau _{2}}$ , zawiera skończone pokrycie podrzędne. W takim przypadku $musi$ co najmniej jednego członka $}$$_$ i co najmniej jeden członek z ${\ displaystyle \ tau _ {2}}$
• Przestrzeń $_ \ displaystyle \ scriptstyle x, y \ w X}$ jest $parami$ Hausdorffa punktów istnieją rozłączne ${\ Displaystyle \ scriptstyle U_ {1} \ w \ tau _ {1}}$ i $\$${\ Displaystyle \ scriptstyle U_ {$${2}$ Displaystyle $U_$ scriptstyle .
• Przestrzeń $parami$ zerowymiarowa w $_ \ displaystyle \ scriptstyle (X, \ tau _ {1})}$ 1 , które są zamknięte w ${\ Displaystyle \ scriptstyle (X, \ tau _ {2})}$ stanowią podstawę dla ${\ Displaystyle \ scriptstyle (X, \ tau _ {1})}$ i otwiera się w ${\ Displaystyle \ scriptstyle (X, \ tau _ {2})},$ które są zamknięte w ${\ Displaystyle \ scriptstyle (X, \ tau _ {1})}$ stanowią podstawę dla ${\ Displaystyle \ scriptstyle (X, \ tau _ {2})}$ .
• Przestrzeń bitopologiczna nazywana jest binormalną $Displaystyle$ jeśli dla każdego $\ scriptstyle F _ {\ sigma$$\ sigma }$$\$ -zamknięte i -zamknięte zbiory są tam $\ displaystyle \ displaystyle}$$scriptstyle F _ {\ tau}}$${\ Displaystyle \$$}$${\$$-otwórz$ i zestawy takie, że $\ scriptstyle F _ {\ sigma$$\ Displaystyle$${\ Displaystyle \ scriptstyle F _ {\ tau} \ subseteq G _ {\ sigma}}$ i ${\ Displaystyle \ scriptstyle G _ {\ sigma} \ czapka G _ {\ tau} = \ pusty zestaw.}$

Notatki

• Kelly, JC (1963). Przestrzenie bitologiczne. proc. Matematyka Londynu. soc. , 13(3) 71-89.
• Reilly, Illinois (1972). O właściwościach separacji bitopologicznej. Matematyka Nanta. , (2) 14–25.
• Reilly, Illinois (1973). Zerowymiarowe przestrzenie bitopologiczne. Indag. Matematyka , (35) 127–131.
• Salbany, S. (1974). Przestrzenie bitologiczne, zwartości i dopełnienia . Wydział Matematyki Uniwersytetu w Kapsztadzie w Kapsztadzie.
• Kopperman, R. (1995). Asymetria i dwoistość w topologii. Aplikacja topologiczna , 66(1) 1--39.
• Fletchera. P, Hoyle HB III i Patty CW (1969). Porównanie topologii. Duke Matematyka. J. ,36(2) 325-331.
• Dochviri, I., Noiri T. (2015). O niektórych własnościach stabilnych przestrzeni bitopologicznych. Topola. proc. , 45 111–119.