Dwoistość Esakii
W matematyce dualizm Esakii jest podwójną równoważnością między kategorią algebr Heytinga a kategorią przestrzeni Esakii . Dualizm Esakia zapewnia topologiczną reprezentację porządku algebr Heytinga za pośrednictwem przestrzeni Esakia.
Niech Esa oznacza kategorię przestrzeni Esakia i morfizmów Esakia .
Niech H będzie algebrą Heytinga, X oznacza zbiór filtrów pierwszych H , a ≤ oznacza inkluzję teorii mnogości na filtrach pierwszych H . Również dla każdego a ∈ H , niech φ ( a ) = { x ∈ X : a ∈ x } i niech τ oznacza topologię na X generowaną przez { φ ( a ), X − φ ( a ) : a ∈ H }.
Twierdzenie: ( X , τ , ≤) jest przestrzenią Esakia, zwaną esakia dualną od H . Co więcej, φ jest izomorfizmem algebry Heytinga z H na algebrę Heytinga wszystkich zbiorów zamkniętych ( X , τ , ≤) . Co więcej, każda przestrzeń Esakia jest izomorficzna w Esa z podwójną Esakią pewnej algebry Heytinga.
Ta reprezentacja algebr Heytinga za pomocą przestrzeni Esakia jest funkcjonalna i daje podwójną równoważność między kategoriami
- HA algebr Heytinga i homomorfizmów algebry Heytinga
I
- Esa przestrzeni Esakia i morfizmy Esakii.
Twierdzenie: HA jest podwójnie równoważne z Esa .
Dualizm można również wyrazić w kategoriach przestrzeni widmowych , gdzie mówi się, że kategoria algebr Heytinga jest podwójnie równoważna kategorii przestrzeni Heytinga.