Przestrzeń Esakii

W matematyce przestrzenie Esakia to specjalnie uporządkowane przestrzenie topologiczne wprowadzone i zbadane przez Leo Esakia w 1974 r. Przestrzenie Esakia odgrywają fundamentalną rolę w badaniu algebr Heytinga , głównie dzięki dwoistości Esakii — podwójnej równoważności między kategorią algebr Heytinga i kategoria przestrzeni Esakia.

Definicja

Dla zbioru częściowo uporządkowanego $(X,\leq)$ i dla $x \in X$ , niech $↓ x = {y \in X : y \leq x$ } i niech $↑ x = {y \in X : x \leq y}$ . Również dla $A \subseteq X$ , niech $↓ A = {y \in X : y \leq x dla pewnego x \in ZA$ } i $↑ A = {y \in X : y \geq x dla pewnego x \in ZA}$ .

Przestrzeń Esakia jest przestrzenią Priestleya $(X, τ,\leq)$ taką, że dla każdego domkniętego podzbioru $C$ przestrzeni topologicznej $(X, τ)$ zbiór $↓ C$ jest również domknięty.

Równoważne definicje

Istnieje kilka równoważnych sposobów definiowania przestrzeni Esakia.

Twierdzenie: Biorąc pod uwagę, że $(X, τ)$ jest przestrzenią Stone'a , następujące warunki są równoważne:

(i)

(X, τ,\leq)

jest przestrzenią Esakia.

(ii)

↑ x

jest domknięte dla każdego

x \in X

i

↓ C

jest domknięte dla każdego domknięcia

C \subseteq X

.

(iii)

↓ x

jest domknięte dla każdego

x \in X

i

↑cl(A) = cl(↑ A)

dla każdego

A \subseteq X

(gdzie

cl

oznacza domknięcie w

X

).

(iv)

↓ x

jest domknięty dla każdego

x \in X

, najmniej domknięty zbiór zawierający zbiór spęczniony jest zbiorem spęcznionym, a zbiór najmniej spęczony zawierający zbiór domknięty jest zbiorem domkniętym.

Ponieważ przestrzenie Priestleya można opisać za pomocą przestrzeni widmowych , właściwość Esakia można wyrazić w terminologii przestrzeni widmowej w następujący sposób: Przestrzeń Priestleya odpowiadająca przestrzeni widmowej $X$ jest przestrzenią Esakia wtedy i tylko wtedy, gdy zamknięcie każdego konstruowalnego podzbioru $X$ jest konstruowalny.

Morfizmy Esakii

Niech $(X,\leq)$ i $(Y,\leq)$ będą zbiorami częściowo uporządkowanymi i niech $f : X \to Y$ będzie mapą zachowującą porządek . Odwzorowanie $f$ jest morfizmem ograniczonym (znanym również jako p-morfizm ) jeśli dla każdego $x \in X$ i $y \in Y$ , jeśli $f(x)\leq y$ , to istnieje $z \in X$ takie, że $x \leq z$ i $f(z) = y$ .

Twierdzenie: Następujące warunki są równoważne:

(1)

f

jest morfizmem ograniczonym.

(2)

f(↑ x) = ↑f(x)

dla każdego

x \in X

.

(3)

fa -1 (↓ y) = ↓f -1 (y)

dla każdego

y \in Y

.

Niech $(X, τ, \leq)$ i $(Y, τ', \leq)$ będą przestrzeniami Esakia i niech $f : X \to Y$ będzie mapą. Odwzorowanie $f$ nazywamy morfizmem Esakia, jeśli $f$ jest ciągłym morfizmem ograniczonym.

Notatki

Esakia, L. (1974). Topologiczne modele Kripkego. radziecka matematyka. Dokł. , 15 147–151.
Esakia, L. (1985). Heyting Algebras I. Teoria dualności (rosyjski) . Metsniereba, Tbilisi.
Dickmann, Maks; Schwartz, Niels; Tressl, Marcus (2019). Przestrzenie widmowe . Nowe monografie matematyczne. Tom. 35. Cambridge: Cambridge University Press . doi : 10.1017/9781316543870 . ISBN 9781107146723 .