Twierdzenie Stone'a o reprezentacji dla algebr Boole'a
W matematyce twierdzenie Stone'a o reprezentacji algebr Boole'a stwierdza, że każda algebra Boole'a jest izomorficzna z pewnym polem zbiorów . Twierdzenie to ma fundamentalne znaczenie dla głębszego zrozumienia algebry Boole'a , która pojawiła się w pierwszej połowie XX wieku. Twierdzenie zostało po raz pierwszy udowodnione przez Marshalla H. Stone'a . Doprowadził do tego Stone'a , studiując spektralną teorię operatorów w przestrzeni Hilberta .
Kamienne przestrzenie
Każda algebra Boole'a B ma skojarzoną przestrzeń topologiczną, oznaczoną tutaj S ( B ), zwaną jej przestrzenią Stone'a . Punkty w S ( B ) to ultrafiltry na B lub równoważnie homomorfizmy z B do dwuelementowej algebry Boole'a . Topologia na S ( B ) jest generowana przez (zamkniętą) bazę składającą się ze wszystkich zbiorów postaci
Dla każdej algebry Boole'a B , S ( B ) jest zwartą , całkowicie rozłączną przestrzenią Hausdorffa ; takie przestrzenie nazywane są przestrzeniami kamiennymi (również przestrzeniami profinite ). I odwrotnie, biorąc pod uwagę dowolną przestrzeń topologiczną X , zbiór podzbiorów X , które są zamknięte (zarówno domknięte, jak i otwarte) jest algebrą Boole'a.
Twierdzenie o reprezentacji
Prosta wersja twierdzenia Stone'a o reprezentacji stwierdza, że każda algebra Boole'a B jest izomorficzna z algebrą podzbiorów domkniętych jej przestrzeni Stone'a S ( B ). Izomorfizm wysyła element wszystkich ultrafiltrów, zawierają b Jest to zbiór domknięty ze względu na wybór topologii na S ( B ) i ponieważ B jest algebrą Boole'a.
Przeformułowanie twierdzenia przy użyciu języka teorii kategorii ; twierdzenie stwierdza, że istnieje dwoistość między kategorią algebr Boole'a a kategorią przestrzeni Stone'a. Ta dwoistość oznacza, że oprócz zgodności między algebrami Boole'a i ich przestrzeniami Stone'a, każdy homomorfizm z algebry Boole'a A do algebry Boole'a B odpowiada w naturalny sposób funkcji ciągłej od S ( B ) do S ( A ). Innymi słowy, istnieje funktor kontrawariantny , który daje równoważność między kategoriami. Był to wczesny przykład nietrywialnej dwoistości kategorii.
Twierdzenie to jest szczególnym przypadkiem dualności Stone'a , bardziej ogólną ramą dla dualności między przestrzeniami topologicznymi a zbiorami częściowo uporządkowanymi .
Dowód wymaga albo aksjomatu wyboru , albo jego osłabionej formy. W szczególności twierdzenie to jest równoważne twierdzeniu Boole'a o ideale pierwszym , osłabionej zasadzie wyboru, która stwierdza, że każda algebra Boole'a ma ideał pierwszy.
Rozszerzenie klasycznej dualności Stone'a na kategorię przestrzeni boolowskich (= zerowymiarowe lokalnie zwarte przestrzenie Hausdorffa) i map ciągłych (odpowiednio mapy doskonałe) uzyskał GD Dimov (odpowiednio HP Doctor).
Zobacz też
- Twierdzenie Stone'a o reprezentacji sieci rozdzielczych
- Twierdzenie o reprezentacji - dowód, że każda struktura o określonych właściwościach jest izomorficzna z inną strukturą
- Pole zbiorów - pojęcie algebraiczne w teorii miary, zwane także algebrą zbiorów
- Lista tematów algebry Boole'a
- Przestrzeń Stone'a - Przestrzeń topologiczna, w której domknięcie każdego zbioru otwartego jest otwarte
- Kamienny funktor
- Grupa profinite - grupa topologiczna, która jest izomorficzna z odwrotną (rzutową) granicą odwrotnego systemu dyskretnych grup skończonych
- Lemat ultrafiltra – Maksymalny właściwy filtr
Cytaty
- Halmos, Paweł ; Gigant, Steven (1998). Logika jako algebra . Ekspozycje matematyczne Dolcianiego. Tom. 21. Amerykańskie Stowarzyszenie Matematyczne . ISBN 0-88385-327-2 .
- Johnstone, Peter T. (1982). Kamienne Przestrzenie . Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge. ISBN 0-521-23893-5 .
- Burris, Stanley N.; Sankappanavar, HP (1981). Kurs algebry uniwersalnej . Skoczek. ISBN 3-540-90578-2 .