Przestrzeń wektorowa Tate'a

W matematyce przestrzeń wektorowa Tate to przestrzeń wektorowa uzyskana ze skończonych wymiarowych przestrzeni wektorowych w sposób umożliwiający rozszerzenie pojęć, takich jak wymiar i wyznacznik , na sytuację nieskończenie wymiarową. Przestrzenie Tate zostały wprowadzone przez Alexandra Beilinsona , Borisa Feigina i Barry'ego Mazura ( 1991 ), którzy nazwali je na cześć Johna Tate'a .

Wstęp

Typowym przykładem przestrzeni wektorowej Tate nad polem k są szeregi potęgowe Laurenta

{\ Displaystyle V = k ((t)). \,}

Ma dwie charakterystyczne cechy:

t $t]]}$ t $[[ t]]}$ , gdzie t \ Displaystyle k oznacza pierścień szeregów potęgowych . Te submoduły nazywane są kratami.
Chociaż każda krata jest nieskończenie wymiarową przestrzenią wektorową, ilorazy dowolnych pojedynczych sieci,

{\ Displaystyle t ^ {- n} k [[t]] / t ^ {- m} k [[t] ],\ n\geq m}

to skończone -wymiarowe przestrzenie k -wektorowe.

Moduły Tate

Moduły Tate zostały wprowadzone przez Drinfelda (2006) jako pojęcie nieskończenie wymiarowych wiązek wektorowych. Dla dowolnego pierścienia R Drinfeld zdefiniował elementarne moduły Tate'a jako topologiczne R -moduły postaci

{\ Displaystyle P \ oplus Q ^ {*}}

gdzie P i Q są rzutowymi modułami R (o możliwie nieskończonej randze), a * oznacza liczbę podwójną.

W przypadku pola przestrzenie wektorowe Tate w tym sensie są równoważne lokalnie liniowo zwartym przestrzeniom wektorowym, co jest koncepcją sięgającą czasów Lefschetza. Charakteryzują się one tą właściwością, że mają podstawę topologii składającą się ze współmiernych przestrzeni podwektorowych.

Obiekty Tate'a

Obiekty Tate można zdefiniować w kontekście dowolnej dokładnej kategorii C . Krótko mówiąc, kategoria dokładna to sposób na aksjomatyzację pewnych cech krótkich ciągów dokładnych . Na przykład kategoria skończenie wymiarowych k -wektorowych lub kategoria skończenie generowanych R -modułów rzutowych dla pewnego pierścienia R jest kategorią ścisłą, ze zwykłym pojęciem krótkich ciągów dokładnych.

Rozszerzenie powyższego przykładu $bardziej ogólną sytuację$ następującej obserwacji:

{\ Displaystyle 0 \ do k [[t]] \ do k ((t)) \ do t ^ { -1}k[t^{-1}]\do 0}

którego wyrazy zewnętrzne są odpowiednio granicą odwrotną i granicą bezpośrednią skończenie wymiarowych przestrzeni k -wektorowych

{\ Displaystyle k [[t]] = \ lim _ {n} k [t] / t ^ {n}}

{\ Displaystyle t ^ {-1} k [t ^ {-1}] = \ nazwa operatora {colim} _ {m} \ bigoplus _ {i = -1} ^ {- m} t ^ {i} \ cdot k .}

Ogólnie rzecz biorąc, dla dokładnej kategorii C istnieje kategoria Pro( C ) proobiektów i kategoria Ind( C ) ind-przedmiotów . Ta konstrukcja może być iterowana i daje dokładną kategorię Ind(Pro( C )). Kategoria elementarnych obiektów Tate

{\ Displaystyle \ nazwa operatora {Tate} ^ {\ tekst {el}} (C)}

jest zdefiniowana jako najmniejsza podkategoria tych obiektów Ind-Pro V taka, że istnieje krótki dokładny ciąg

{\ Displaystyle 0 \ do L \ do V \ do L'\ do 0}

gdzie L jest proobiektem, a L' jest indobiektem. Można wykazać, że ten warunek na V jest równoważny temu, który jest wymagany dla ind-prezentacji

{\ Displaystyle V: ja \ do \ nazwa operatora {Za} (C)}

ilorazy są w C (w przeciwieństwie $)$ .

Kategoria Tate( C ) obiektów Tate jest zdefiniowana jako zamknięcie pod retraktami (idempotentne uzupełnienie) elementarnych obiektów Tate.

Braunling, Groechenig & Wolfson (2016) wykazali, że obiekty Tate (dla C kategoria skończenie generowanych R -modułów rzutowych i pod warunkiem, że rodziny indeksujące obiektów Ind-Pro są policzalne) są równoważne przeliczalnie generowanym Tate R -moduły w znaczeniu Drinfelda, o którym mowa powyżej.

Powiązane pojęcia i zastosowania

Algebra Tate Liego to przestrzeń wektorowa Tate'a z dodatkową strukturą algebry Liego. Przykładem algebry Tate Liego jest algebra Liego formalnych szeregów potęgowych nad skończenie wymiarową algebrą Liego.

Kategoria obiektów Tate jest również kategorią ścisłą, jak można to wykazać. Konstrukcję można zatem iterować, co jest istotne w zastosowaniach w teorii pola klas wyższych, która bada wyższe pola lokalne, takie jak

{\ Displaystyle \ mathbf {F} _ {p} ((t_ {1})) \ cdots ((t_ {n})).}

Kapranov (2001) wprowadził tak zwany torsor wyznacznikowy dla przestrzeni wektorowych Tate, który rozszerza zwykłe pojęcia algebry liniowej dotyczące wyznaczników i śladów itp. Do automorfizmów f przestrzeni wektorowych Tate V . Podstawową ideą jest to, że chociaż krata L w V jest nieskończenie wymiarowa, kraty L i f ( L ) są współmierne, tak że w sensie skończonych wymiarów można jednoznacznie rozciągnąć na wszystkie kraty, pod warunkiem, że wyznacznik jednej kraty jest ustalona. Clausena (2009) zastosował ten torsor do jednoczesnego udowodnienia twierdzenia Riemanna – Rocha , wzajemności Weila i wzoru na sumę reszt . Ta ostatnia formuła została już udowodniona przez Tate'a (1968) w podobny sposób.

Notatki

^ Braunling, Groechenig & Wolfson (2016) , Previdi (2011)
^ Arkhipow i Kremnizer (2010)

Arkhipov, Sergey (2002), „Semiinfinite cohomology of Tate Lie algebras” , Moscow Mathematical Journal , 2 (1): 35–40, arXiv : math / 0003015 , Bibcode : 2000math...... 3015A , ISSN 1609-3321 , MR 1900583
Arkhipow, Siergiej; Kremnizer, Kobi (2010), „Przestrzenie 2-gerbes i 2-Tate”, Arytmetyka i geometria wokół kwantyzacji , tom. 279, Birkäuser, s. 23–35, arXiv : 0708.4401 , doi : 10.1007/978-0-8176-4831-2_2 , MR 2656941
Beilinson, Aleksander; Feigin, B.; Mazur, Barry (1991), Notes on Conformal Field Theory , Niepublikowany rękopis
Braunling, Oliver; Groechenig, Michael; Wolfson, Jesse (2016), „Obiekty Tate w dokładnych kategoriach”, Mosc. Matematyka J. , 16 (3), arXiv : 1402.4969v4 , MR 3510209
Clausen, Dustin (2009), Nieskończenie wymiarowa algebra liniowa, wiązka linii wyznacznikowych i rozszerzenie Kaca – Moody'ego , notatki z seminarium Harvard 2009
Drinfeld, Vladimir (2006), „Wiązki wektorów nieskończonych wymiarów w geometrii algebraicznej: wprowadzenie”, w: Pavel Etingof; Władimir Retak; IM Singer (red.), The Unity of Mathematics , Birkäuser Boston, s. 263–304, arXiv : math/0309155v4 , doi : 10.1007/0-8176-4467-9_7 , ISBN 978-0-8176-4076-7 , MR 2181808
Kapranov, M. (2001), Półnieskończone potęgi symetryczne , arXiv : math/0107089 , Bibcode : 2001math......7089K
Previdi, Luigi (2011), „Lokalnie zwarte obiekty w dokładnych kategoriach”, Internat. J. Matematyka. , 22 (12): 1787–1821, arXiv : 0710.2509 , doi : 10.1142/S0129167X11007379 , MR 2872533
Tate, John (1968), „Reszty różniczkowe na krzywych” , Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure , 4, 1 (1): 149–159

[1] Braunling, Groechenig & Wolfson (2016) , Previdi (2011)

[2] Arkhipow i Kremnizer (2010)