Topologia naturalna
W dowolnej dziedzinie matematyki przestrzeń ma naturalną topologię, jeśli istnieje topologia przestrzeni, która jest „najlepiej przystosowana” do jej badania w danej dziedzinie. W wielu przypadkach ta nieprecyzyjna definicja oznacza niewiele więcej niż stwierdzenie, że dana topologia powstaje w sposób naturalny lub kanoniczny (patrz żargon matematyczny ) w danym kontekście.
Zauważ, że w niektórych przypadkach wiele topologii wydaje się „naturalnych”. Na przykład , jeśli Y jest podzbiorem całkowicie uporządkowanego zbioru X , to topologia porządku indukowanego , tj . X. _
„Topologia naturalna” dość często ma bardziej konkretne znaczenie, przynajmniej biorąc pod uwagę pewne wcześniejsze informacje kontekstowe: topologia naturalna to topologia, która sprawia, że naturalna mapa lub zbiór map jest ciągły . Jest to nadal nieprecyzyjne, nawet po określeniu, czym są mapy naturalne, ponieważ może istnieć wiele topologii o wymaganej właściwości. Jednak często istnieje najlepsza lub najgrubsza topologia, która sprawia, że dane mapy są ciągłe, w którym to przypadku są to oczywisti kandydaci do topologii naturalnej.
Najprostsze przypadki (które jednak obejmują wiele przykładów) to topologia początkowa i topologia końcowa (Willard (1970)). Topologia początkowa jest najgrubszą topologią w przestrzeni X , która sprawia, że dany zbiór odwzorowań od X do przestrzeni topologicznych X i jest ciągły. Ostateczna topologia jest najlepszą topologią w przestrzeni X , która sprawia, że dany zbiór odwzorowań z przestrzeni topologicznych X i do X jest ciągły.
Dwa z najprostszych przykładów to naturalne topologie podprzestrzeni i przestrzeni ilorazowych.
- Naturalną topologią podzbioru przestrzeni topologicznej jest topologia podprzestrzeni . Jest to najgrubsza topologia, która sprawia, że mapa inkluzji jest ciągła.
- Topologia naturalna na iloraz przestrzeni topologicznej to topologia ilorazowa . Jest to najlepsza topologia, która sprawia, że mapa ilorazu jest ciągła.
Innym przykładem jest to, że każda przestrzeń metryczna ma naturalną topologię indukowaną przez jej metrykę .
Zobacz też
- Willard, Stephen (1970). Topologia ogólna . Addison-Wesley, Massachusetts. (Ostatnie wydanie opublikowane przez Dover (2004) ISBN 0-486-43479-6 .)