Norma Bombieriego

W matematyce norma Bombieri , nazwana na cześć Enrico Bombieri , jest $}}$ dotyczącą wielomianów jednorodnych ze współczynnikiem w lub (istnieje również wersja dla innych niż ${\ displaystyle \ mathbb {R}$ jednorodne jednowymiarowe wielomiany). Ta norma ma wiele niezwykłych właściwości, z których najważniejsze wymieniono w tym artykule.

Iloczyn skalarny Bombieriego dla wielomianów jednorodnych

Zacznijmy od geometrii, iloczyn skalarny Bombieriego dla jednorodnych wielomianów z N zmiennymi można zdefiniować w następujący sposób, używając notacji wieloindeksowej :

{\ Displaystyle \ forall \ alfa, \ beta \ w \ mathbb {N} ^ {N}}

z definicji różne jednomiany są ortogonalne, tak że

{\ Displaystyle \ langle X ^ {\ alfa} | X ^ {\ beta} \ rangle = 0}

jeśli

{\ Displaystyle \ alfa \ neq \ beta,}

chwila

{\ Displaystyle \ forall \ alfa \ w \ mathbb {N} ^ {N}}

zgodnie z definicją

{\ Displaystyle \|X ^ {\ alfa} \|^ {2} = {\ Frac {\ alfa!} {|\ alfa |!}}.}

W powyższej definicji iw pozostałej części tego artykułu stosuje się następującą notację:

Jeśli

{\ Displaystyle \ alfa = (\ alfa _ {1}, \ kropki, \ alfa _ {N}) \ w \ mathbb {N} ^ {N} ,}

pisać

{\ Displaystyle |\ alfa | = \ suma _ {i = 1} ^ {N} \ alfa _ {i}}

I

{\ Displaystyle \ alfa! = \ prod _ {i = 1} ^ {N} (\ alfa _ {i}!)}

I

{\ Displaystyle X ^ {\ alfa} = \ prod _ {i = 1} ^ {N} X_ {i} ^ {\ alfa _ {i}}.}

Nierówność Bombieriego

Podstawową własnością tej normy jest nierówność Bombieriego:

niech będą dwoma jednorodnymi wielomianami odpowiednio stopnia $d ^ {\ circ} (P)}$ $Displaystyle$ i ${\ Displaystyle d ^ {$ ze zmiennymi, to zachodzi następująca nierówność: ${\ displaystyle N}$

{\ Displaystyle {\ Frac {d ^ {\ circ} (P)! d ^ {\ circ} (Q)!} {(d ^ {\ circ} (P) + d ^ {\ circ} (Q)} !}}\|P\|^{2}\,\|Q\|^{2}\równik \|P\cdot Q\|^{2}\równik \|P\|^{2}\, \|Q\|^{2}.}

Tutaj nierówność Bombieriego jest lewą stroną powyższego stwierdzenia, podczas gdy prawa strona oznacza, że norma Bombieriego jest normą algebry . Podanie lewej strony bez tego ograniczenia nie ma sensu, ponieważ w tym przypadku możemy osiągnąć ten sam wynik z dowolną normą, mnożąc normę przez dobrze dobrany współczynnik.

Ta multiplikatywna nierówność implikuje, że iloczyn dwóch wielomianów jest ograniczony od dołu przez wielkość zależną od wielomianów mnożnych. Zatem ten produkt nie może być dowolnie mały. Ta multiplikatywna nierówność jest przydatna w metrycznej geometrii algebraicznej i teorii liczb .

Niezmienność według izometrii

Inną ważną właściwością jest to, że norma Bombieri jest niezmienna pod względem składu z izometrią :

niech ${\ Displaystyle P, Q}$ będą dwoma jednorodnymi wielomianami stopnia ze $zmiennymi$ i $Displaystyle$ izometrią $mathbb {R} ^{N}}$ $\$ (lub do $\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {N}}$ ). Wtedy mamy ${\ Displaystyle \ langle P \ circ h | Q \ circ h \ rangle = \ langle P | Q \ rangle}$ . $Displaystyle P = Q}$ ${\ Displaystyle \| P \ circ h \ | = \| P \ |}$ implikuje to ‖ .