Miara Mahlera

W matematyce miara Mahlera wielomianu ze ) złożonymi współczynnikami jest $M (p$ M $Displaystyle$

{\ Displaystyle M (p) = | a | \ prod _ {|\ alfa _ {i} | \ geq 1} | \ alfa _ {i} | = | a | \ prod _ {i = 1} ^ {n}\max\{1,|\alfa _{i}|\},}

gdzie

{\ Displaystyle p (z)}

rozkłada na czynniki liczby zespolone

{\ Displaystyle \ mathbb {C}}

do

{\ Displaystyle p (z) = a (z- \ alfa _ {1}) (z - \ alfa _ {2}) \ cdots (z - \ alfa _ {n}).}

Miara Mahlera może być postrzegana jako rodzaj funkcji wysokości . Korzystając ze wzoru Jensena , można udowodnić, że miara ta jest również równa średniej geometrycznej ${\ Displaystyle | p (z) |}$ dla ${\ Displaystyle Z}$ na okręgu jednostkowym (tj. ${\ Displaystyle | z| = 1}$ ):

{\ Displaystyle M (p) = \ exp \ lewo (\ int _ {0} ^ {1} \ ln (| p (e ^ {2 \ pi i \ teta}) |) \, d \ teta \ po prawej) .}

$.$ $jako$ tym idzie, miara Mahlera liczby algebraicznej $definiowana$ miara Mahlera minimalnego wielomianu nad W szczególności, jeśli jest $liczbą$ lub liczbą Salema , to jej miarą Mahlera jest po prostu ${\ displaystyle \ alpha$ } .

Miara Mahlera została nazwana na cześć urodzonego w Niemczech australijskiego matematyka Kurta Mahlera .

Nieruchomości

Miara Mahlera jest multiplikatywna: ${\ Displaystyle \ forall p, q, \, \, M (p \ cdot q) = M (p) \ cdot M (q).}$
${\ textstyle M (p) = \ lim _ {\ tau \ do 0} \| p \ | _ {\ tau}}$ gdzie ${\ textstyle \, \| p \ | _ {\ tau} = \ lewo (\ int _ {0} ^ {1} | p (e ^{2\pi i\theta })|^{\tau }d\theta \right)^{1/\tau }}$ to ${\ Displaystyle L _ {\ tau}}$ norma p ${\ displaystyle p$ .
$(z) = z,$ Kroneckera Jeśli $=$ wielomianem całkowitym $,$ albo $cyklotomicznym$ lub jest wielomianem .
( Hipoteza Lehmera ) Istnieje $1}$ stała , że jeśli $p$ $=$ wielomianem całkowitym, to albo $Displaystyle M (p)$ lub ${\ Displaystyle M (p)> \ mu}$ .
Miarą Mahlera monicznego wielomianu całkowitoliczbowego jest liczba Perrona .

Wyższa wymiarowa miara Mahlera

$($ Mahlera wielomianu wielu zmiennych $},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ ${\ Displaystyle p (x_ {1) M ( p ) {\ Displaystyle M$ jest podobnie zdefiniowany wzorem

{\ Displaystyle M (p) = \ exp \ lewo (\ int _ {0} ^ {1} \ int _ {0} ^ {1} \ cdots \ int _ {0} ^ {1} \ log {\ Bigl (}{\bigl |}p(e^{2\pi i\theta _{1}},e^{2\pi i\theta _{2}},\ldots ,e^{2\pi i\ theta _{n}}){\bigr |}{\Bigr )}\,d\theta _{1}\,d\theta _{2}\cdots d\theta _{n}\right).}

Dziedziczy powyższe trzy właściwości miary Mahlera dla wielomianu jednej zmiennej.

$-funkcji$ że w niektórych przypadkach wielowymiarowa miara Mahlera jest powiązana ze specjalnymi wartościami funkcji i . Na przykład w 1981 roku Smyth udowodnił formuły

{\ Displaystyle m (1 + x + y) = {\ Frac {3 {\ sqrt {3}}} {4 \ pi }}L(\chi_{-3},2)}

gdzie jest

{\ Displaystyle L (\ chi _ {-3}, s)}

i L ( χ - 3 , s ) }

{\ Displaystyle m (1 + x + y + z) = {\ Frac {7} {2 \ pi ^ {2}}} \zeta (3),}

gdzie

zeta

funkcją Riemanna . Tutaj

{\ Displaystyle m (P) = \ log M (P)}

nazywa się logarytmiczną miarą Mahlera .

Niektóre wyniki autorstwa Lawtona i Boyda

Z definicji miara Mahlera jest postrzegana jako zintegrowane wartości wielomianów nad torusem (patrz także przypuszczenie Lehmera ). Jeśli $\$ na torusie $Displaystyle (S ^ {1}) ^ {n}}$ , to zbieżność całki definiującej ${\ Displaystyle M (p) }$ nie jest oczywiste, ale wiadomo, że ${\ Displaystyle M (p)}$ jest zbieżny i jest równy granicy miar Mahlera z jedną zmienną, którą wysunął Boyd .

Jest to sformułowane w następujący sposób: Niech ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {+} ^ {N} = \ {r = (r_ {1}, \ kropki, r_ {N}) \ w \ mathbb {Z} ^ {N}: r_ {j}\geq 0\ {\text{for}}\ 1\równoważnik j\równoważnik N\}}$ $liczby$ całkowite i zdefiniujmy . Jeśli ${\ Displaystyle Q (z_ {1}, \ kropki, z_ {N})}$ $jest$ wielomianem w i ${\ Displaystyle R = (r_ {1}, \ kropki, r_ {N}) \ w \ mathbb {Z} _ {+} ^ {N}} zdefiniuj$ wielomian $Q_ {r} (z)$ jednej zmiennej wg

{\ Displaystyle Q_ {r} (z): = Q (z ^ {r_ {1}}, \ kropki, z ^ {r_ { N}})}

i zdefiniuj przez ${\ displaystyle q (r)}$

{\ Displaystyle q (r): = \ min \ lewo \ {H (s): s = (s_ {1}, \ kropki, s_ {N}) \ w \ mathbb {Z} ^ {N}, s \ neq (0,\kropki ,0)~{\text{i}}~\suma _{j=1}^{N}s_{j}r_{j}=0\right\}}

gdzie ${\ Displaystyle H (s) = \ max \ {| s_ {j} |: 1 \ równoważnik j \ równoważnik N \}}$ .

Twierdzenie $_$ ) — Niech zmiennych _ Wtedy obowiązuje następujący limit (nawet jeśli warunek, że jest złagodzony): ${\ displaystyle r_ {i} \ geq 0}$

{\ Displaystyle \ lim _ {q (r) \ do \ infty} M (Q_ {r}) = M (Q)}

Propozycja Boyda

Boyd przedstawił bardziej ogólne stwierdzenia niż powyższe twierdzenie. Zwrócił uwagę, że klasyczne twierdzenie Kroneckera , charakteryzujące wielomiany moniczne o współczynnikach całkowitych, których wszystkie pierwiastki znajdują się wewnątrz dysku jednostkowego, można uznać za charakteryzujące te wielomiany jednej zmiennej, której miara wynosi dokładnie 1, i że wynik ten rozciąga się na wielomiany w kilka zmiennych.

Zdefiniuj rozszerzony wielomian cyklotomiczny jako wielomian postaci

{\ Displaystyle \ Psi (z) = z_ {1} ^ {b_ {1}} \ kropki z_{n}^{b_{n}}\Phi _{m}(z_{1}^{v_{1}}\kropki z_{n}^{v_{n}}),}

Φ

)}

-

{\ Displaystyle b_ {i} = \ max (0, -v_ {i} \ stopień \ Phi _ {m})} są

jest m -tym wielomianem cyklotomicznym , to całkowite, a wybierane minimalnie tak, że

{\ Displaystyle \ Psi ( z)}

jest wielomianem w .

{\ displaystyle z_ {i}}

. Niech

{\ Displaystyle K_ {n}}

będzie zbiorem wielomianów, które są iloczynami jednomianów

{\ Displaystyle \ pm z_ {1} ^ {c_ {1}} \ kropki z_ {n}^{c_{n}}}

i rozszerzone wielomiany cyklotomiczne.

Twierdzenie (Boyd) - Niech fa $\ Displaystyle F (z_ {1}, \ kropki, z_ {n}) \ w \ mathbb { Z} [z_{1},\ldots ,z_{n}]}$ będzie wielomianem o współczynnikach całkowitych. Wtedy $) = 1}$ $F$ wtedy i tylko wtedy, gdy jest elementem ${\ displaystyle K_ {n}}$ .

To skłoniło Boyda do rozważenia zbioru wartości

{\ Displaystyle L_ {n}: = {\ bigl \ {} m ( P(z_{1},\kropki,z_{n})):P\w \mathbb {Z} [z_{1},\kropki,z_{n}]{\bigr \}},}

L

{\ textstyle {L} _ {\ infty} = \ bigcup _ {n = 1} ^ {\ infty} L_ {n}

. Postawił daleko idące przypuszczenie, że zbiór jest zamkniętym podzbiorem

} _ {\ infty}}

displaystyle {

. Bezpośrednią konsekwencją tego przypuszczenia byłaby prawdziwość przypuszczenia Lehmera, aczkolwiek bez wyraźnej dolnej granicy. Ponieważ wynik Smytha sugeruje, że

{\ Displaystyle L_ {1} \ subsetneqq L_ {2}}

Boyd dalej przypuszcza, że

{\ Displaystyle L_ {1} \ subsetneqq L_ {2} \ subsetneqq L_ {3} \ subsetneqq \ \ cdots.}

Miara i entropia Mahlera

Działanie przez automorfizmy zwartej metryzowalnej grupy abelowej można powiązać poprzez dwoistość $}$ dowolnym policzalnym modułem $styl wyświetlania N}$ ${\ displaystyle \ alpha$ $M$ nad pierścieniem ${\ Displaystyle R = \ mathbb {Z} [z_ {1} ^ {\ pm 1} \ kropki, z_ {n} ^ {\ pm 1}]$ } Topologiczna entropia ( $jest$ jest równa entropii teoretycznej miary tego działania dana miarą Mahlera (lub jest W przypadku modułu cyklicznego dla niezerowego wielomianu ${\ Displaystyle M = R / \ langle F \ rangle}$ ${\ Displaystyle F (z_ {1}, \ kropki, z_ {n}) \ w \ mathbb {Z} [z_ {1}, \ ldots, z_ {n}]}$ formuła udowodniona przez Linda, Schmidta i Warda daje ${\ Displaystyle h (\ alfa _ {N}) = \ log M (F)}$ , logarytmiczna miara Mahlera ${\ displaystyle F}$ . W ogólnym przypadku entropia działania jest wyrażana jako suma logarytmicznych miar Mahlera nad generatorami głównych powiązanych ideałów pierwszych modułu. Jak zauważył wcześniej Lind w przypadku $automorfizmu$ ${\ displaystyle [0,\infty ]}$ to, że zbiór możliwych wartości entropii takich działań to albo wszystkie z lub zbiór przeliczalny w zależności od rozwiązania problemu Lehmera . Lind wykazał również $,$ że nieskończenie wymiarowy torus ma albo ergodyczne automorfizmy skończonej dodatniej entropii, albo ma tylko automorfizmy nieskończonej entropii w zależności od rozwiązania problemu

Zobacz też

Notatki

Borwein, Peter (2002). Wycieczki obliczeniowe w analizie i teorii liczb . Książki CMS z matematyki. Tom. 10. Springera . s. 3, 15. ISBN 978-0-387-95444-8 . Zbl 1020.12001 .

Boyd, David (1981a). „Spekulacje dotyczące zakresu miary Mahlera” . Kanadyjski Biuletyn Matematyczny . 24 (4): 453–469. doi : 10.4153/cmb-1981-069-5 .

Boyd, David (1981b). „Twierdzenie Kroneckera i problem Lehmera dla wielomianów w kilku zmiennych” . Dziennik teorii liczb . 13 : 116–121. doi : 10.1016/0022-314x(81)90033-0 .

Boyd, David (2002a). „Miara Mahlera i niezmienniki rozmaitości hiperbolicznych”. W Bennett, MA (red.). Teoria liczb dla Tysiąclecia . AK Peters. s. 127–143.

Boyd, David (2002b). „Miara Mahlera, rozmaitości hiperboliczne i dilogarytm”. Notatki Kanadyjskiego Towarzystwa Matematycznego . 34 (2): 3–4, 26–28.

Boyd, David ; Rodriguez Villegas, F. (2002). „Miara Mahlera i dylogarytm, część 1” . Kanadyjski Dziennik Matematyki . 54 (3): 468–492. doi : 10.4153/cjm-2002-016-9 . S2CID 10069657 .
Brunault, François (2020). Wiele odmian środków Mahlera: trwała symfonia . Cambridge, Wielka Brytania Nowy Jork, NY: Cambridge University Press. ISBN 978-1-108-79445-9 . OCLC 1155888228 .

Everest, Graham i Ward, Thomas (1999). „Wysokości wielomianów i entropii w dynamice algebraicznej” . Springer-Verlag London , Ltd., Londyn. XII + 211 s. ISBN : 1-85233-125-9

„Miara Mahlera” , Encyklopedia matematyki , EMS Press , 2001 [1994] .
Jensen, JL (1899). „Sur un nouvel et valid théorème de la théorie des fonctions” . Acta Mathematica . 22 : 359–364. doi : 10.1007/BF02417878 . JFM 30.0364.02 .

Knutha, Donalda E. (1997). „4.6.2 Faktoryzacja wielomianów”. Algorytmy półnumeryczne . Sztuka programowania komputerowego . Tom. 2 (wyd. 3). Addison-Wesley. s. 439–461, 678–691. ISBN 978-0-201-89684-8 .

Lawton, Wayne M. (1983). „Problem Boyda dotyczący środków geometrycznych wielomianów” . Dziennik teorii liczb . 16 (3): 356–362. doi : 10.1016/0022-314X(83)90063-X . Zbl 0516.12018 .

Mossinghoff, MJ (1998). „Wielomiany z małą miarą Mahlera” . Matematyka obliczeń . 67 (224): 1697-1706. doi : 10.1090/S0025-5718-98-01006-0 . Zbl 0918.11056 .

Schinzel, Andrzej (2000). Wielomiany ze szczególnym uwzględnieniem redukowalności . Encyklopedia matematyki i jej zastosowań . Tom. 77. Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-66225-3 . Zbl 0956.12001 .

Smyth, Chris (2008). „Miara Mahlera liczb algebraicznych: ankieta”. W McKee, James; Smyth, Chris (red.). Teoria liczb i wielomiany . Seria notatek z wykładów London Mathematical Society. Tom. 352. Cambridge University Press . s. 322–349. ISBN 978-0-521-71467-9 . Zbl 1334.11081 .

Linki zewnętrzne