przypuszczenie Lehmera

Przypuszczenie Lehmera o nieznikaniu τ( n ) można znaleźć w funkcji tau Ramanujana . Przypuszczenie Lehmera dotyczące funkcji totient Eulera można znaleźć w artykule Lehmer's totient problem .

Przypuszczenie Lehmera , znane również jako problem miary Lehmera Mahlera , jest problemem teorii liczb podniesionym przez Derricka Henry'ego Lehmera . Hipoteza zakłada, że ​​​​istnieje $\$ bezwzględna taka $[x]}$ że ​​​​każdy wielomian o współczynnikach całkowitych $Displaystyle P (x) \ in \ mathbb {Z$ spełnia jedną z następujących właściwości:

• Miara Mahlera jest $większa$ lub równa $\ Displaystyle M ( x )$ P $\mu}$$\$ .
• ${\ Displaystyle P (x)}$ jest całkowitą wielokrotnością iloczynu wielomianów cyklotomicznych lub jednomianu $x$ w którym to przypadku ${\ Displaystyle {\$ . (Równoważnie każdy złożony pierwiastek $)$ z jedności lub zera

Istnieje wiele definicji miary Mahlera, z których jedną jest uwzględnienie czynnika jako $}$ ( x $P (x)$

${\ Displaystyle P (x) = a_ {0} (x- \ alfa _ {1}) (x -\alpha _{2})\cdots (x-\alpha _{D}),}$

a następnie ustawić

${\ Displaystyle {\ mathcal {M}} (P (x)) = | a_ {0} | \ prod _ {i = 1} ^ {D} \ max (1, | \ alfa _ {i} |). }$

Najmniejsza znana miara Mahlera (większa niż 1) dotyczy „wielomianu Lehmera”

${\ Displaystyle P (x) = x ^ {10} + x ^ {9} - x^{7}-x^{6}-x^{5}-x^{4}-x^{3}+x+1\,,}$

dla którego miarą Mahlera jest liczba Salema

${\ Displaystyle {\ mathcal {M}} (P (x)) = 1,176280818 \ kropki \.}$

$, że$ przykład reprezentuje prawdziwą wartość minimalną: to znaczy Lehmera.

Motywacja

Rozważ miarę Mahlera dla jednej zmiennej, a wzór Jensena pokazuje, że jeśli ${\ Displaystyle P (x) = a_ {0} ( x-\alpha _{1})(x-\alpha _{2})\cdots (x-\alpha _{D})}$ wtedy

${\ Displaystyle {\ mathcal {M}} (P (x)) = | a_ {0} | \ prod _ {i = 1} ^ {D} \ max (1, | \ alfa _ {i} |). }$

W tym akapicie oznacz ${\ Displaystyle m (P) = \ log ({\ mathcal {M}} (P (x))}$ , który jest również nazywany Mahlerem zmierzyć .

Jeśli $}$$całkowite , to$ że jest liczbą algebraiczną więc $) {\ Displaystyle m$ ( P logarytm z algebraicznej liczby całkowitej. Pokazuje również, że ${\ Displaystyle m (P) \ geq 0}$ i że jeśli ${\ Displaystyle m (P) = 0}$ to ${\ displaystyle P}$ jest iloczynem wielomianów cyklotomicznych , tj. wielomianów monicznych, których wszystkie pierwiastki są pierwiastkami jedności, lub jednomianu wielomianu z ${\ displaystyle x}$ , czyli potęgi dla pewnego $n}}$${\ displaystyle n}$ .

Lehmer zauważył, że ${\ Displaystyle m (P) = 0}$ jest ważną wartością w badaniu ciągów całkowitych ${\ Displaystyle \ Delta _ {n} = {\ tekst {Res}} (P (x), x ^ {n} -1) = \ prod _ {i = 1} ^ {D }(\alpha _{i}^{n}-1)}$ dla monika ${\ Displaystyle P}$ . Jeśli nie zniknie na okręgu $,$${\ Displaystyle \ lim |\ Delta _ {n} | ^ {1/n} = {\ mathcal {M}} (P)}$ . Jeśli zniknie na okręgu, ale nie u żadnego pierwiastka jedności, to ta sama zbieżność zachodzi na podstawie twierdzenia Bakera (w rzeczywistości wcześniejszego wyniku Gelfonda) ${\ displaystyle P}$ jest do tego wystarczająca, jak wskazał Lind w związku z badaniem quasi-hiperbolicznych automorfizmów torału). W rezultacie Lehmer został poproszony o zapytanie

czy istnieje stała $\$ , że $Displaystyle m (P)> c}$$pod$ warunkiem jest cyklotomiczna?

Lub

biorąc pod uwagę $<$ istnieją całkowite współczynniki, dla których $\ Displaystyle 0 <m (P) <$$<$ ?

Poniżej podano kilka pozytywnych odpowiedzi, ale przypuszczenie Lehmera nie zostało jeszcze w pełni udowodnione i nadal jest kwestią bardzo interesującą.

Wyniki częściowe

Niech $_$ wielomianem $}$ _

Smyth udowodnił, że przypuszczenie Lehmera jest prawdziwe dla wszystkich wielomianów, które nie są odwrotne , tj. wszystkich wielomianów spełniających ${\ Displaystyle x ^ {D} P (x ^ {-1}) \neq P(x)}$ .

Blanksby, Montgomery i $)=1}$$x$ ) ) $M}} (P ($ lub

${\ Displaystyle \ log {\ mathcal {M}} (P (x)) \ geq {\ Frac {C} {D \ log D}}.}$

Dobrowolski poprawił to do

${\ Displaystyle \ log {\ mathcal {M}} (P (x)) \ geq C \ lewo ({\ Frac {\ log \ log D} {\ log D}} \ prawej) ^ {3}.}$

Dobrowolski uzyskał wartość C ≥ 1/1200 i asymptotycznie C > 1-ε dla wszystkich dostatecznie dużych D . Voutier w 1996 uzyskał C ≥ 1/4 dla D ≥ 2.

Analogi eliptyczne

Niech ${\ Displaystyle E/K}$ będzie eliptyczną krzywą $zdefiniowaną$ na polu liczbowym niech ${\ Displaystyle {\ hat {h}} _{E}:E({\bar {K}})\to \mathbb {R} }$ będzie kanoniczną funkcją wysokości . Wysokość kanoniczna jest odpowiednikiem krzywych eliptycznych funkcji ${\ Displaystyle (\ stopień P) ^ {- 1} \ log {\ mathcal {M}} (P (x))}$ . Ma tę $punktem$ , $,$ wtedy ${\ Displaystyle E ({\ bar {K}})}$ w . Hipoteza eliptyczna Lehmera zakłada, że ​​istnieje stała $(E/K)> 0}$ takie, że

$Q) \ geq {\ Frac {C (E / K)} {D}}}$ dla wszystkie punkty nieskręcające ${\ Displaystyle Q \ w mi ({\ bar {K}})}$ ,

gdzie ${\ Displaystyle D = [K (Q): K]}$ . Jeśli krzywa eliptyczna E ma zespolone mnożenie , to analogia wyniku Dobrowolski'ego zachodzi:

${\ Displaystyle {\ kapelusz {h}} _ {E} (Q) \ geq {\ Frac {C (E/K)}{D}}\left({\frac {\log \log D}{\log D}}\right)^{3},}$

z powodu Laurenta. W przypadku dowolnych krzywych eliptycznych najbardziej znanym wynikiem jest

${\ Displaystyle {\ kapelusz {h}} _ {E} (Q) \ geq {\ Frac {C (E / K )}{D^{3}(\log D)^{2}}},}$

dzięki Masserowi . W przypadku krzywych eliptycznych z niecałkowym niezmiennikiem j zostało to poprawione

${\ Displaystyle {\ kapelusz {h}} _ {E} (Q) \ geq {\ Frac {C (E / K )}{D^{2}(\log D)^{2}}},}$

przez Hindry'ego i Silvermana .

Ograniczone wyniki

Silniejsze wyniki są znane z ograniczonych klas wielomianów lub liczb algebraicznych.

Jeśli P ( x ) nie jest odwrotnością, to

${\ Displaystyle M (P) \ geq M (x ^ {3} -x-1) \ około 1,3247}$

i to jest oczywiście najlepsze z możliwych. Jeśli dalej wszystkie współczynniki P są nieparzyste, to

${\ Displaystyle M (P) \ geq M (x ^ {2} -x-1) \ około 1,618.}$

Dla $Mahlera$$będzie$ α , miarą minimalnego . _ Jeśli pole Q ( α ) jest $.$ Galois Q , to przypuszczenie Lehmera dla

Związek ze strukturą automorfizmów grup zwartych

Wiadomo, że teoretyczna miara entropii ergodycznego automorfizmu zwartej metryzowalnej grupy abelowej jest dana przez logarytmiczną miarę Mahlera wielomianu o współczynnikach całkowitych, jeśli jest on skończony. $przeliczalnym$ zauważył Lind, oznacza to, że zbiór możliwych wartości entropii takich działań jest albo wszystkim, problemu Lehmera. Lind wykazał również, że nieskończenie wymiarowy torus ma albo ergodyczny automorfizmy skończonej dodatniej entropii lub ma tylko automorfizmy nieskończonej entropii w zależności od rozwiązania problemu Lehmera. Ponieważ automorfizm ergodycznej grupy zwartej jest mierzalnie izomorficzny z przesunięciem Bernoulliego , a przesunięcia Bernoulliego są klasyfikowane aż do mierzalnego izomorfizmu na podstawie ich entropii przez twierdzenie Ornsteina , oznacza to, że przestrzeń modułów wszystkich automorfizmów ergodycznych grup zwartych do mierzalnego izomorfizmu jest policzalna lub niepoliczalne w zależności od rozwiązania problemu Lehmera.

Linki zewnętrzne

• http://wayback.cecm.sfu.ca/~mjm/Lehmer/ to miłe odniesienie do problemu.
• Weisstein, Eric W. „Problem pomiaru Mahlera Lehmera” . MathWorld .