Rządzona odmiana
W geometrii algebraicznej rozmaitość nad ciałem k jest rządziła , jeśli jest dwuracjonalna w stosunku do iloczynu linii rzutowej z pewną rozmaitością po k . Różnorodność nie jest rządzona , jeśli jest objęta rodziną krzywych wymiernych . (Mówiąc dokładniej, rozmaitość X jest nieuporządkowana, jeśli istnieje rozmaitość Y i dominująca mapa wymierna Y × P 1 – → X co nie uwzględnia rzutu na Y .) Koncepcja wyrosła z uporządkowanych powierzchni XIX-wiecznej geometrii, czyli powierzchni w przestrzeni afinicznej lub rzutowej , które są pokryte liniami. Odmiany jednorzędowe można uznać za stosunkowo proste wśród wszystkich odmian, chociaż jest ich wiele.
Nieruchomości
Każda rozmaitość nieliniowa na polu charakterystycznego zera ma wymiar Kodairy −∞. Odwrotność jest przypuszczeniem, które jest znane w wymiarze co najwyżej 3: różnorodność wymiaru Kodairy -∞ na polu charakterystycznego zera powinna być nieograniczona. Powiązane stwierdzenie jest znane we wszystkich wymiarach: Boucksom, Demailly , Păun i Peternell wykazali, że gładka rozmaitość rzutowa X na polu charakterystycznego zera jest nieliniowa wtedy i tylko wtedy, gdy kanoniczna wiązka X nie jest pseudoskuteczny (to znaczy nie w zamkniętym wypukłym stożku rozpiętym przez efektywne dzielniki w grupie Nérona-Severiego naprężonej liczbami rzeczywistymi). Jako bardzo szczególny przypadek, gładka hiperpowierzchnia stopnia d w P n nad polem charakterystycznym zero jest niepodporządkowana wtedy i tylko wtedy, gdy d ≤ n , przez wzór sprzężenia . (W rzeczywistości gładka hiperpowierzchnia stopnia d ≤ n w P n jest odmianą Fano a zatem jest racjonalnie powiązany , co jest silniejsze niż brak rządów).
Rozmaitość X na nieprzeliczalnym algebraicznie zamkniętym polu k jest nieliniowa wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje wymierna krzywa przechodząca przez każdy k - punkt X. W przeciwieństwie do tego, istnieją rozmaitości nad algebraicznym domknięciem k ciała skończonego , które nie są pozbawione reguł, ale mają wymierną krzywą przechodzącą przez każdy punkt k . ( Odmiana Kummera dowolnej niepojedynczej powierzchni abelowej nad F p z p nieparzysty ma te właściwości.) Nie wiadomo, czy odmiany o tych właściwościach istnieją w algebraicznym domknięciu liczb wymiernych .
Jednoliniowość jest właściwością geometryczną (nie zmienia się w przypadku rozszerzeń pól), podczas gdy rządność nie. Na przykład stożek x 2 + y 2 + z 2 = 0 w P 2 nad liczbami rzeczywistymi R jest nieliniowy, ale nie rządzony. (Powiązana krzywa na liczbach zespolonych C jest izomorficzna z P 1 i stąd jest rządzony.) W kierunku dodatnim rządzona jest każda nieliniowa rozmaitość wymiaru co najwyżej 2 na algebraicznie zamkniętym polu charakterystycznego zera. Gładkie sześcienne 3-krotne i gładkie 3-krotne kwartalne w P 4 nad C są jednorzędowe, ale nie rządzone.
Charakterystyka pozytywna
Uniwersalność zachowuje się bardzo różnie w pozytywnej charakterystyce. W szczególności istnieją nieliniowe (a nawet niewymierne ) powierzchnie ogólnego typu : przykładem jest powierzchnia x p +1 + y p +1 + z p +1 + w p +1 = 0 w P 3 nad F p , dla dowolna liczba pierwsza p ≥ 5. Tak więc jednoznaczność nie implikuje, że wymiar Kodairy ma −∞ charakterystykę dodatnią.
Rozmaitość X jest rozłącznie nieuporządkowana , jeśli istnieje rozmaitość Y z dominującą dającą się rozdzielić wymierną mapą Y × P 1 – → X , która nie uwzględnia projekcji na Y . („Rozdzielna” oznacza, że pochodna jest w pewnym momencie surjektywna; byłoby to automatyczne dla dominującej mapy wymiernej w charakterystycznym zera). Odwrotność jest prawdziwa w wymiarze 2, ale nie w wyższych wymiarach. Na przykład istnieje gładki rzut 3-krotny na F 2 , który ma wymiar Kodairy −∞, ale nie jest rozłącznie nieliniowy. Nie wiadomo, czy każda gładka odmiana Fano o dodatniej charakterystyce jest oddzielnie nieuporządkowana.
Notatki
- Bogomołow, Fiodor ; Tschinkel, Yuri (2005), „Wymierne krzywe i punkty na powierzchniach K3”, American Journal of Mathematics , 127 (4): 825–835, arXiv : math / 0310254 , doi : 10.1353 / ajm.2005.0025 , MR 2154371
- Boucksom, Sébastien; Demailly, Jean-Pierre ; Paun, Mihai; Peternell, Thomas (2013), „Pseudo-efektywny stożek zwartej rozmaitości Kählera i odmiany ujemnego wymiaru Kodairy”, Journal of Algebraic Geometry , 22 (2): 201–248, arXiv : math / 0405285 , doi : 10,1090 / S1056-3911-2012-00574-8 , MR 3019449
- Kollár, János (1996), Rational Curves on Algebraic Varieties , Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-662-03276-3 , ISBN 978-3-642-08219-1 , MR 1440180
- Sato, Ei-ichi (1993), „Kryterium jednoznaczności w charakterystyce dodatniej”, Tohoku Mathematical Journal , 45 (4): 447–460, doi : 10,2748 / tmj / 1178225839 , MR 1245712
- Shioda, Tetsuji (1974), „Przykład powierzchni niewymiernych w charakterystycznym p ”, Mathematische Annalen , 211 : 233–236, doi : 10.1007/BF01350715 , MR 0374149