Odwróć (matematyka)

W geometrii algebraicznej przerzuty i flopy są operacjami chirurgicznymi w 2-wymiarowych współrzędnych, które powstają w programie minimalnego modelu , podawanym przez rozdmuchiwanie wzdłuż względnego pierścienia kanonicznego . W wymiarze 3 odwrócenia są używane do konstruowania modeli minimalnych, a dowolne dwa biracjonalnie równoważne modele minimalne są połączone sekwencją flopów. Przypuszcza się, że to samo dotyczy wyższych wymiarów.

Minimalny program modelowy

$modelu$ można podsumować bardzo krótko w następujący sposób: biorąc pod uwagę różnorodność $n}}$ konstruujemy sekwencję skurczów ${\ Displaystyle X = X_ {1} \ rightarrow$ $jest$ , z których każda zawiera pewne krzywe, na których dzielnik kanoniczny ujemny. Ostatecznie powinien stać się nef (przynajmniej w przypadku nieujemnego wymiaru Kodairy $jest$ rezultatem. Głównym problemem technicznym jest to, że na pewnym etapie odmiana $} }$ $ja$ { nie jest już $dzielnikiem$ , więc numer przecięcia $z$ krzywą

(Przypuszczalnym) rozwiązaniem tego problemu jest odwrócenie . Biorąc pod $uwagę$ problematyczny ${\ displaystyle f \ okrężnica X_ {i} \ rightarrow X_ {i} ^ {+}}$ $powyżej$ , odwrócenie rzeczywistości izomorfizmem w kowymiarze 1 do odmiany, której osobliwości są „lepsze” niż osobliwości ${\ displaystyle X_ {i}}$ . Możemy $_$ _

Dwa główne problemy dotyczące przewrotów to pokazanie, że one istnieją i pokazanie, że nie można mieć nieskończonej sekwencji przewrotów. Jeśli oba te problemy można rozwiązać, można przeprowadzić program minimalnego modelu. Istnienie przewrotów dla 3-krotnych udowodnił Mori (1988) . Istnienie przerzucania logarytmów, bardziej ogólnego rodzaju przerzucania, w wymiarze trzecim i czwartym, zostało udowodnione przez Shokurov ( 1993 , 2003 ), którego praca była fundamentalna dla rozwiązania istnienia przerzucania logarytmów i innych problemów w wyższym wymiarze. Istnienie logarytmów w wyższych wymiarach zostało ustalone przez (Caucher Birkar, Paolo Cascini i Christopher D. Hacon et al. 2010 ). Z drugiej strony problem terminacji — udowodnienie, że nie może istnieć nieskończona sekwencja przewrotów — jest nadal otwarty w wymiarach większych niż 3.

Definicja

Jeśli $,$ morfizmem, a K jest wiązką kanoniczną pierścień f to

{\ Displaystyle \ bigoplus _ {m} f_ {*} ({\ mathcal {O}} _ {X} (mK)}}

$jest$ snopem stopniowanych algebr nad snopem regularnych na Y Wybuch

{\ Displaystyle f ^ {+} \ dwukropek X ^ {+} = \ nazwa operatora {Proj} {\ duży (} \bigoplus _{m}f_{*}({\mathcal {O}}_{X}(mK)){\big )}\do Y}

Y wzdłuż względnego pierścienia kanonicznego jest morfizmem do Y . Jeśli względny pierścień $sposób skończony$ ( jako algebra nad $),$ wówczas jest odwróceniem $displaystyle f}$ { $\$ $,$ jeśli , a flop jeśli K jest stosunkowo trywialny. (Czasami indukowany morfizm birational od do $+$ ${\ displaystyle X ^ {+}}$ nazywany jest odwróceniem lub flopem

W zastosowaniach jest często małym skurczem promienia ekstremalnego, co implikuje kilka dodatkowych właściwości: ${\ displaystyle f}$

Wyjątkowe zestawy obu map ${$ mają kowymiar co najmniej 2, $\ displaystyle f ^ {+}}$
${\ displaystyle X}$ i ${\ displaystyle X ^ {+}}$ mają tylko łagodne osobliwości, takie jak osobliwości końcowe .
${\ displaystyle f}$ i ${\ displaystyle f ^ {+}}$ są biracyjnymi morfizmami na Y , co jest normalne i rzutowe.
$są$ we $numerycznie$ i proporcjonalne

Przykłady

Pierwszy przykład flopa, znany jako flop Atiyah , został znaleziony w ( Atiyah 1958 ). Niech Y $i$ zerami niech $_$ powiększeniem Y _ _ _ Wyjątkowe miejsce tego powiększenia jest izomorficzne z i może zostać zdmuchnięte do $P$ 1 $Displaystyle \ mathbb {P} ^ {1} \ razy \ mathbb {P} ^$ $\mathbb {P} ^{1}}$ na dwa różne sposoby, dając odmiany i ${\ displaystyle X_ {1}}$ i ${\ displaystyle X_ {2}}$ . Naturalna mapa biational od ${\ displaystyle X_ {1}}$ do ${\ displaystyle X_ {2}}$ to flop Atiyah.

Reid (1983) przedstawił pagodę Reida , uogólnienie flopa Atiyaha, zastępując Y zerami ${\ Displaystyle xy = (z + w ^ {k}) (zw ^{k})}$ .

Atiyah, Michael Francis (1958), „Na analitycznych powierzchniach z podwójnymi punktami”, Proceedings of the Royal Society of London. Seria A: Nauki matematyczne, fizyczne i inżynierskie , 247 (1249): 237–244, Bibcode : 1958RSPSA.247..237A , doi : 10.1098/rspa.1958.0181 , MR 0095974
Birkar, Caucher ; Cascini, Paolo; Hacon, Christopher D .; McKernan, James (2010), „Istnienie minimalnych modeli dla odmian ogólnego typu logarytmicznego”, Journal of the American Mathematical Society , 23 (2): 405–468, arXiv : math.AG/0610203 , Bibcode : 2010JAMS ... 23..405B , doi : 10.1090/S0894-0347-09-00649-3 , ISSN 0894-0347 , MR 2601039
Corti, Alessio (grudzień 2004), „Co to jest… przewrót?” ( PDF ) , Zawiadomienia Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego , 51 (11): 1350–1351 , dostęp 2008-01-17
Kollár, János (1991), „Flip and flop”, Proceedings of the International Congress of Mathematicians, tom. I, II (Kioto, 1990) , Tokio: Math. soc. Japonia, s. 709–714, MR 1159257
Kollár, János (1991), „Przerzutki, japonki, minimalne modele itp.”, Badania geometrii różniczkowej (Cambridge, MA, 1990) , Bethlehem, PA: Lehigh Univ., s. 113–199, MR 1144527
Kollár, János ; Mori, Shigefumi (1998), Birational Geometria odmian algebraicznych , Cambridge University Press , ISBN 0-521-63277-3
Matsuki, Kenji (2002), Wprowadzenie do programu Mori , Universitext, Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98465-0 , MR 1875410
Mori, Shigefumi (1988), „Odwróć twierdzenie i istnienie minimalnych modeli dla 3-krotnych”, Journal of the American Mathematical Society , 1 (1): 117–253, doi : 10.1090 / s0894-0347-1988-0924704- x , JSTOR 1990969 , MR 0924704
Morrison, David (2005), Flops, flips, and matrix factorization (PDF) , Geometria algebraiczna i nie tylko, RIMS, Kyoto University
Reid, Miles (1983), „Minimalne modele fałd kanonicznych $algebraiczne$ , odmiany i odmiany analityczne (Tokio, 1981) , Adv. Stadnina. Czysta matematyka, tom. 1, Amsterdam: Holandia Północna, s. 131–180, MR 0715649
Shokurov, Wiaczesław V. (1993), Trójwymiarowe przerzucanie dziennika. Z dodatkiem w języku angielskim autorstwa Yujiro Kawamaty , tom. 1, rosyjski Acad. nauka Izw. Matematyka 40, s. 95–202.
Shokurov, Vyacheslav V. (2003), Prelimiting flips , Proc. Stiekłow Inst. Matematyka 240, s. 75–213.