Rozmaitość Steina

W matematyce, w teorii kilku zmiennych zespolonych i rozmaitości zespolonych , rozmaitość Steina jest złożoną podrozmaitością przestrzeni wektorowej o n zespolonych wymiarach. Zostały wprowadzone i nazwane na cześć Karla Steina ( 1951 ). Przestrzeń Steina jest podobna do rozmaitości Steina, ale może mieć osobliwości. Przestrzenie Steina są analogami rozmaitości afinicznych lub schematów afinicznych w geometrii algebraicznej.

Definicja

Załóżmy $_ {$$funkcji$ jest rozmaitością o $złożonym$ i $displaystyle X.}$ pierścień holomorficznych na \ Nazywamy $,$ Steina jeśli spełnione są następujące warunki:

• wypukła $\ Displaystyle X} jest holomorficznie wypukła$$powłoka$ tj. dla każdego zwartego podzbioru tzw |

${\ Displaystyle {\ bar {K}} = \ lewo \ {z \ w X \, \ lewo | \, | f (z) | \ równoważnik \ sup _ {w \ w K} | f (w )|\ \forall f\ in {\mathcal {O}}(X)\right.\right\},} jest$

również zwartym podzbiorem ${\ displaystyle X}$ .

• ${\ Displaystyle X} jest holomorficznie rozdzielny, tj$${\ Displaystyle$ jeśli są dwa punkty w $X}$ , to istnieje $\mathcal {O}}(X)}$$\ Displaystyle f \ w$ takie, że ${\ displaystyle f (x) \ neq f (y).}$

Niezwarte powierzchnie Riemanna to rozmaitości Steina

Niech X będzie spójną, niezwartą powierzchnią Riemanna . Głębokie twierdzenie Heinricha Behnke i Steina (1948) stwierdza, że ​​X jest rozmaitością Steina.

Inny wynik, przypisywany Hansowi Grauertowi i Helmutowi Röhrlowi (1956), stwierdza ponadto, że każda holomorficzna wiązka wektorów na X jest trywialna. W szczególności każda wiązka linii jest trywialna, więc ${\ Displaystyle H ^ {1} (X, {\ mathcal {O}} _ {X} ^ {*}) = 0}$ . Wykładnicza sekwencja snopów prowadzi do następującej dokładnej sekwencji:

${\ Displaystyle H ^ {1} (X, {\ mathcal { O}}_{X})\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{*})\longrightarrow H^{2}(X,\mathbb {Z} ) \longrightarrow H^{2}(X,{\mathcal {O}}_{X})}$

Teraz twierdzenie Cartana B pokazuje, że ${\ Displaystyle H ^ {1} (X, {\ mathcal {O}} _ {X}) = H ^ {2} (X, {\ mathcal {O}} _ {X}) = 0}$ , zatem ${\ Displaystyle H ^ {2} (X, \ mathbb {Z}) = 0 }$ .

Jest to związane z rozwiązaniem drugiego problemu Kuzyna .

Własności i przykłady rozmaitości Steina

• Standardowa przestrzeń zespolona $Steina$ rozmaitość

• Każda $.$ holomorfii w jest rozmaitością

• Można dość łatwo wykazać, że każda zamknięta podrozmaitość zespolona rozmaitości Steina jest również rozmaitością Steina. Twierdzenie

• $o osadzeniu dla$$rozmaitości$ Steina brzmi następująco: Każda rozmaitość Steina złożonym wymiarze być osadzona w ${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {2n + 1}}$ przez właściwą mapę biholomorficzną .

Fakty te sugerują, że rozmaitość Steina jest zamkniętą złożoną podrozmaitością złożonej przestrzeni, której złożona struktura jest strukturą otaczającej przestrzeni (ponieważ osadzanie jest biholomorficzne).

• Każda rozmaitość Steina o (zespolonym) wymiarze n ma typ homotopii n -wymiarowego CW-zespołu.

• W jednym złożonym wymiarze warunek Steina można uprościć: połączona powierzchnia Riemanna jest rozmaitością Steina wtedy i tylko wtedy, gdy nie jest zwarta. Można to udowodnić za pomocą wersji twierdzenia Runge'a dla powierzchni Riemanna, ze względu na Behnkego i Steina.

• Każda rozmaitość Steina $jest$ rozciągliwa, tj. dla każdego punktu ${\ displaystyle x \ in X}$$,$ istnieją funkcje holomorficzne zdefiniowane na wszystkich, które tworzą lokalny układ współrzędnych, gdy są $do$$sąsiedztwa$ .

• Bycie rozmaitością Steina jest równoznaczne z byciem (złożoną) silnie pseudowypukłą rozmaitością . To ostatnie oznacza, że ​​​​ma silnie pseudowypukłą (lub plurisubharmoniczną ) wyczerpującą funkcję, tj. Gładką funkcję rzeczywistą na ${\ Displaystyle X}$${\ displaystyle \ psi}$ (co można założyć, że jest funkcją Morse'a ) z ${\ Displaystyle i \ częściowe {\ bar {\ częściowe}} \ psi > 0}$ tak, że podzbiory ${\ Displaystyle \ {z \ w X \ mid \ psi (z) \ równoważnik c \}}$ są zwarte w ${\ Displaystyle X}$ dla każdej liczby rzeczywistej ${\ Displaystyle c}$ . Jest to rozwiązanie tak zwanego problemu Leviego , nazwanego na cześć Eugenio Leviego (1911). Funkcja zachęca do uogólnienia $rozmaitości$ Steina na ideę odpowiedniej klasy zwartych rozmaitości zespolonych z granicą zwaną Steina . $_$ praobraz . Dlatego niektórzy autorzy nazywają takie rozmaitości rozmaitościami ściśle pseudowypukłymi.

• Nawiązując do poprzedniej pozycji, inna równoważna i bardziej topologiczna definicja w wymiarze zespolonym 2 jest następująca: powierzchnia Steina jest powierzchnią zespoloną X z funkcją Morse'a f na X o wartościach rzeczywistych, taką, że z dala od punktów krytycznych f , pole złożonych stycznych do praobrazu jest ${\ Displaystyle X_ {c} = f ^ {- 1} (c)}$ struktura kontaktowa , która indukuje orientację na X _c zgodną ze zwykłą orientacją jako granicą ${\ Displaystyle f ^ {- 1} (- \ infty, c).}$${\ Displaystyle f ^ {- 1} (- \ infty, c)}$ jest Stein wypełnienie Xc . _ _{_}

Istnieje wiele dalszych charakterystyk takich rozmaitości, w szczególności uchwycenie właściwości posiadania przez nie „wielu” funkcji holomorficznych przyjmujących wartości w liczbach zespolonych. Zobacz na przykład twierdzenia Cartana A i B , odnoszące się do kohomologii snopów . Początkowym impulsem był opis własności dziedziny definicji (maksymalnej) analitycznej kontynuacji funkcji analitycznej .

W zestawie analogii GAGA rozmaitości Steina odpowiadają rozmaitościom afinicznym .

Rozmaitości Steina są w pewnym sensie dualne w stosunku do rozmaitości eliptycznych w analizie zespolonej, które dopuszczają do siebie „wiele” funkcji holomorficznych z liczb zespolonych. Wiadomo, że rozmaitość Steina jest eliptyczna wtedy i tylko wtedy, gdy jest włóknista w sensie tak zwanej „teorii holomorficznej homotopii”.

Stosunek do rozmaitości gładkich

Każda zwarta rozmaitość gładka o wymiarze 2 n , która ma tylko uchwyty o indeksie ≤ n , ma strukturę Steina pod warunkiem, że n > 2, a gdy n = 2 to samo, pod warunkiem, że 2-uchwyty są połączone pewnymi obramowaniami (obramowanie mniejsze niż kadrowanie Thurstona-Bennequina ). Każdy zamknięty gładki 4-rozmaitość jest połączeniem dwóch 4-rozmaitości Steina sklejonych wzdłuż ich wspólnej granicy.

Notatki

•   Andrist, Rafael (2010). „Przestrzenie Steina charakteryzujące się ich endomorfizmami” . Transakcje Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego . 363 (5): 2341–2355. doi : 10.1090/S0002-9947-2010-05104-9 . S2CID 14903691 .
•   Forster, Otto (1981), Wykłady o powierzchniach Riemanna , Graduate Text in Mathematics, tom. 81, New-York: Springer Verlag, ISBN 0-387-90617-7 (w tym dowód twierdzeń Behnke-Steina i Grauerta – Röhrla)
•   Forstnerič, Frank (2011). Rozmaitości Steina i odwzorowania holomorficzne . doi : 10.1007/978-3-642-22250-4 . ISBN 978-3-642-22249-8 .
•    Hörmander, Lars (1990), Wprowadzenie do złożonej analizy kilku zmiennych , North-Holland Mathematical Library, tom. 7, Amsterdam: North-Holland Publishing Co., ISBN 978-0-444-88446-6 , MR 1045639 (w tym dowód twierdzenia o osadzeniu)
•      Gompf, Robert E. (1998), „Konstrukcja Handlebody powierzchni Steina”, Annals of Mathematics , druga seria, The Annals of Mathematics, tom. 148, nr 2, 148 (2): 619–693, arXiv : math/9803019 , doi : 10.2307/121005 , ISSN 0003-486X , JSTOR 121005 , MR 1668563 , S2CID 17709531 (definicje i konstrukcje domen Steina i rozmaitości w wymiar 4)
•    Grauert, Hans; Remmert, Reinhold (1979), Teoria przestrzeni Steina , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, tom. 236, Berlin-Nowy Jork: Springer-Verlag, ISBN 3-540-90388-7 , MR 0580152
•   Ornea, Liwiu; Verbitsky, Misza (2010). „Lokalnie konformalne rozmaitości Kählera z potencjałem”. Mathematische Annalen . 348 : 25–33. doi : 10.1007/s00208-009-0463-0 . S2CID 10734808 .
•   Iss'Sa, Hej (1966). „O meromorficznym polu funkcyjnym odmiany Steina”. Roczniki matematyki . 83 (1): 34–46. doi : 10.2307/1970468 . JSTOR 1970468 .
•    Stein, Karl (1951), „Analytische Funktionen mehrerer komplexer Veränderlichen zu vorgegebenen Periodizitätsmoduln und das zweite Cousinsche Problem”, Math. Ann. (w języku niemieckim), 123 : 201–222, doi : 10.1007/bf02054949 , MR 0043219 , S2CID 122647212
• Zhang Jing (2006). „Odmiany algebraiczne Steina”. arXiv : matematyka/0610886 . Bibcode : 2006math.....10886Z . {{ cite journal }} : Cite journal wymaga |journal= ( pomoc )