Problemy z kuzynem

W matematyce problemy Cousin to dwa pytania dotyczące kilku zmiennych zespolonych , dotyczące istnienia funkcji meromorficznych , które są określone w kategoriach danych lokalnych. Zostały one wprowadzone w szczególnych przypadkach przez Pierre'a Cousina w 1895 roku. Obecnie są one postawione i rozwiązane dla dowolnej zespolonej rozmaitości M , pod względem warunków na M .

Dla obu problemów podane jest otwarte pokrycie M przez zbiory U _i wraz z funkcją meromorficzną _fi na każdym U _i .

Problem z pierwszym kuzynem

Pierwszy problem kuzyna lub addytywny problem kuzyna zakłada, że ​​każda różnica

${\ Displaystyle f_ {i} -f_ {j}}$

jest funkcją holomorficzną , gdzie jest zdefiniowana. Prosi o meromorficzną funkcję f na M taką, że

${\ Displaystyle f-f_ {i}}$

jest holomorficzny na U _i ; innymi słowy, że f podziela szczególne zachowanie danej funkcji lokalnej. Podany $_$ tego konieczny _ więc problem sprowadza się do pytania, czy to wystarczy. Przypadek jednej zmiennej to twierdzenie Mittaga-Lefflera o przepisujących biegunach, gdzie M jest otwartym podzbiorem płaszczyzny zespolonej . Teoria powierzchni Riemanna pokazuje, że wymagane będzie pewne ograniczenie M. Problem zawsze można rozwiązać na kolektorze Steina .

Problem pierwszego kuzyna można rozumieć w kategoriach kohomologii snopów w następujący sposób. Niech K będzie snopem funkcji meromorficznych, a O snopkiem funkcji holomorficznych na M . Globalna $sekcja$$_$ do globalnej sekcji snopka K O _ _ Pytanie odwrotne to pierwszy problem kuzyna: biorąc pod uwagę globalną sekcję K / O , czy istnieje globalna sekcja K , z której wynika? Problemem jest zatem scharakteryzowanie obrazu mapy

${\ Displaystyle H ^ {0} (M, \ mathbf {K}) \, \ xrightarrow {\ phi} \, H ^ {0} (M, \ mathbf {K} / \ mathbf {O}).}$

Na podstawie długiej dokładnej sekwencji kohomologii ,

${\ Displaystyle H ^ {0} (M \ mathbf {K}) \ \ xrightarrow {\ phi} \ ,H^{0}(M,\mathbf {K} /\mathbf {O} )\do H^{1}(M,\mathbf {O} )}$

jest dokładna, więc pierwszy problem kuzyna jest zawsze rozwiązywalny pod warunkiem, że pierwsza grupa kohomologiczna H ¹ ( M , O ) zniknie. W szczególności, zgodnie z twierdzeniem Cartana B , problem kuzyna jest zawsze rozwiązywalny, jeśli M jest rozmaitością Steina.

Problem drugiego kuzyna

Drugi problem kuzyna lub multiplikatywny problem kuzyna zakłada, że ​​każdy stosunek

${\ displaystyle f_ {i} / f_ {j}}$

jest niezanikającą funkcją holomorficzną, gdzie jest zdefiniowana. Prosi o meromorficzną funkcję f na M taką, że

${\ Displaystyle f / f_ {i}}$

jest holomorficzny i nie znikający. Drugi problem kuzyna jest wielowymiarowym uogólnieniem twierdzenia Weierstrassa o istnieniu holomorficznej funkcji jednej zmiennej z zadanymi zerami.

Atak na ten problem za pomocą logarytmów , aby zredukować go do problemu addytywnego, napotyka przeszkodę w postaci pierwszej klasy Cherna (patrz także wykładniczy ciąg snopów ). Jeśli chodzi o teorię snopów, niech $*}}$ funkcji holomorficznych, które nigdzie nie znikają, a snopem ${\ Displaystyle \ mathbf {K} ^$ { funkcji meromorficznych, które nie są identycznie zerowe. Oba są zatem snopami $a$ abelowych , snop ilorazu Następnie problem multiplikatywnego kuzyna ma na celu zidentyfikowanie obrazu mapy ilorazowej ${\ displaystyle \ phi}$

${\ Displaystyle H ^ {0} (M, \ mathbf {K} ^ {*}) {\ xrightarrow {\ phi}} H ^ {0} (M, \ mathbf {K} ^ {*} / \ mathbf { O} ^{*}).}$

Długa dokładna sekwencja kohomologii snopów powiązana z ilorazem to

${\ Displaystyle H ^ {0} (M \ mathbf {K} ^ {*}) { \xrightarrow {\phi }}H^{0}(M,\mathbf {K} ^{*}/\mathbf {O} ^{*})\to H^{1}(M,\mathbf {O} ^{*})}$

$jest$ drugi problem że snop jest snopem $_$ . _ _ Pytanie, czy każda globalna sekcja jest generowana przez funkcję meromorficzną, jest zatem równoznaczne z ustaleniem, czy każda wiązka linii na M jest trywialna .

Grupa kohomologiczna ${\ Displaystyle H ^ {1} (M, \ mathbf {O} ^ {$ * $}$ można porównać z grupą $addytywną$ biorąc Oznacza to, że istnieje dokładna sekwencja snopów

${\ Displaystyle 0 \ do 2 \ pi ja \ mathbb {Z} \ do \ mathbf {O} {\ xrightarrow {\ exp}} \ mathbf {O} ^ {* }\do 0}$

gdzie skrajny lewy snop jest lokalnie stałym snopem z włóknem ${\ Displaystyle 2 \ pi i \ mathbb {Z}}$ . Przeszkodą w zdefiniowaniu logarytmu na poziomie H ¹ jest ${\ Displaystyle H ^ {2} (M, \ mathbb {Z})}$ z długiej dokładnej sekwencji kohomologii

${\ Displaystyle H ^ {1} (M, \ mathbf {O}) \ do H ^ {1} (M, \ mathbf {O} ^ {*}) \ do 2 \ pi iH ^ {2} (M, \mathbb {Z} )\do H^{2}(M,\mathbf {O} ).}$

Kiedy M jest rozmaitością Steina, środkowa strzałka jest izomorfizmem, ponieważ ${\ Displaystyle H ^ {q} (M, \ mathbf {O}) = 0}$ dla ${\ displaystyle q> 0}$ tak, że warunkiem koniecznym i wystarczającym w takim przypadku, aby drugi problem kuzyna był zawsze rozwiązywalny, jest to, że ${\ Displaystyle H ^ {2} (M, \ mathbb {Z}) =0.}$

Zobacz też

• Twierdzenia Cartana A i B

• Cartan, Henri (1950). „Idéaux i moduły funkcji analitycznych kompleksów zmiennych”. Biuletyn de la Société Mathématique de France . 2 : 29–64. doi : 10.24033/bsmf.1409 .
• Chirka, EM (2001) [1994], „Problemy z kuzynami” , Encyklopedia matematyki , EMS Press .
• Cousin, P. (1895), „Sur les funkctions de n variables” , Acta Math. , 19 : 1–62, doi : 10.1007/BF02402869 .
• Hitotumatu, grzech (1951). „Problemy kuzynów dla ideałów i dziedziny regularności”. Raporty z seminariów matematycznych Kodai . 3 (1–2): 26–32. doi : 10,2996/kmj/1138843066 .
• Oka, Kiyoshi (1936). „Sur les fonctions analytiques de plusieurs variables. I. Domaines convexes par rapport aux funkctions rationnelles” . Journal of Science Uniwersytetu w Hiroszimie . 6 : 245–255. doi : 10.32917/hmj/1558749869 .
• Oka, Kiyoshi (1937). „Sur les funkctions analytiques de plusieurs zmiennych. II – Domaines d'holomorphie” . Journal of Science Uniwersytetu w Hiroszimie . 7 : 115–130. doi : 10.32917/hmj/1558576819 .
• Oka, Kiyoshi (1939). „Sur les funkctions analytiques de plusieurs variables. III – Deuxième problemlème de Cousin” . Journal of Science Uniwersytetu w Hiroszimie . 9 : 7–19. doi : 10.32917/hmj/1558490525 .
• Gunning, Robert C.; Rossi, Hugo (1965), Funkcje analityczne kilku zmiennych zespolonych , Prentice Hall .
•    Chorlay, Renaud (styczeń 2010). „Od problemów do struktur: problemy z kuzynem i pojawienie się koncepcji snopka”. Archiwum Historii Nauk Ścisłych . 64 (1): 1–73. doi : 10.1007/s00407-009-0052-3 . JSTOR 41342411 . S2CID 73633995 .