Funkcja plurisubharmoniczna

W matematyce funkcje plurisubharmoniczne (czasami w skrócie psh , plsh lub funkcje pluszowe ) tworzą ważną klasę funkcji używanych w analizie złożonej . Na rozmaitości Kählera funkcje plurisubharmoniczne tworzą podzbiór funkcji subharmonicznych . Jednak w przeciwieństwie do funkcji subharmonicznych (które są zdefiniowane na rozmaitości Riemanna ) funkcje plurisubharmoniczne można zdefiniować w pełnej ogólności w złożonych przestrzeniach analitycznych .

Definicja formalna

Funkcja _

{\ Displaystyle f \ dwukropek G \ do {\ mathbb {R}} \ kubek \ {- \ infty \},}

z domeną nazywa się $,$ jeśli jest dla każdej zespolonej linii

_

_

{\ Displaystyle a, b \ w {\ mathbb {C}} ^ {n}}

funkcja ${\ Displaystyle Z \ mapsto f (a + bz)}$ jest funkcją subharmoniczną na zestawie

{\ Displaystyle \ {z \ w {\ mathbb {C}} \ mid a + bz \ w G \}.}

Ogólnie rzecz biorąc , pojęcie to można zdefiniować na dowolnej złożonej rozmaitości lub nawet $w$ przestrzeni analitycznej następujący sposób. Górna funkcja półciągła

{\ Displaystyle f \ dwukropek X \ do {\ mathbb {R}} \ kubek \ {- \ infty \}}

mówi się, że jest plurisubharmoniczna wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej mapy holomorficznej funkcja ${\ Displaystyle \ varphi \ okrężnica \ Delta \ do X}$

{\ Displaystyle f \ circ \ varphi \ dwukropek \ Delta \ do {\ mathbb {R}} \ kubek \ {- \ infty \}}

jest subharmoniczna , $jednostkowy$ dysk

Różniczkowalne funkcje plurisubharmoniczne

Jeśli $do$ z klasy (różniczkowalności) $^ {2}}$ , to jest $macierz$ hermitowska $L_{f}=(\lambda _{ij})$ , zwana macierzą Leviego, z wpisami

{\ Displaystyle \ lambda _ {ij} = {\ Frac {\ częściowe ^ {2} f} {\ częściowe z_ {i} \ częściowe {\ bar {

jest dodatnio półokreślony .

Równoważnie, -funkcja f jest plurisubharmoniczna wtedy i tylko wtedy, gdy $1$ $} \ częściowe {\ bar {\ częściowe}} f}$ jest postacią dodatnią (1,1) .

Przykłady

Związek z rozmaitością Kählera: w n-wymiarowej zespolonej przestrzeni euklidesowej do $\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$ , ${\ Displaystyle f (z) = | z | ^ {2}}$ jest plurisubharmoniczny. W rzeczywistości $}$ standardowej Kählera na $^{n}}$ $mathbb {C$ do stałych wielokrotności. Bardziej ogólnie , $spełnia$

{\ Displaystyle {\ sqrt {-1}} \ częściowy {\ overline {\ częściowy}} g = \ omega}

dla pewnej formy Kählera $,$ to jest $plurisubharmoniczna , która$ potencjałem Kählera. Można je łatwo wygenerować, stosując lemat ddbar do form Kählera na rozmaitości Kählera.

Związek z deltą Diraca: w jednowymiarowej złożonej przestrzeni euklidesowej do 1 $Displaystyle \ mathbb {C} ^ {1}}$ , ${\ Displaystyle u (z) = \ log (z )}$ jest plurisubharmoniczna. Jeśli jest funkcją klasy C ^∞ ze zwartym wsparciem , to formuła całkowa Cauchy'ego mówi: fa $\ displaystyle f}$

{\ Displaystyle f (0) = - {\ Frac {\ sqrt {-1}} {2 \ pi}} \ int _{D}{\frac {\częściowy f}{\częściowy {\bar {z}}}}{\frac {dzd{\bar {z}}}{z}}}

do którego można zmodyfikować

{\ Displaystyle {\ Frac {\ sqrt {-1}} {\ pi}} \ częściowe {\ overline {\ częściowe}} \ log | z | = dd ^ {c} \ log | z |}

.

To nic innego jak miara Diraca na początku 0 .

Więcej przykładów

Jeśli jest $funkcją$ analityczną na zbiorze otwartym, ${\ displaystyle \ log | f|}$ jest plurisubharmoniczne na tym zbiorze otwartym.
Funkcje wypukłe są plurisubharmoniczne
${\ Displaystyle \ Omega}$ jest domeną holomorfii, to - $\ Displaystyle - \ log (dist (z, \ Omega ^ {c}))}$ jest plurisubharmoniczny
Funkcje harmoniczne niekoniecznie są plurisubharmoniczne

Historia

Funkcje plurisubharmoniczne zostały zdefiniowane w 1942 roku przez Kiyoshi Oka i Pierre'a Lelonga .

Nieruchomości

Zbiór funkcji plurisubharmonicznych ma następujące właściwości, takie jak wypukły stożek :

jeśli $plurisubharmoniczna$ funkcją plurisubharmoniczną $i$ dodatnią $rzeczywistą$ funkcja
fa ${\ Displaystyle f_ {1}}$ i $funkcjami$ $\ Displaystyle f_$ to suma plurisubharmoniczną funkcjonować.

Wielosubharmoniczność jest własnością lokalną , tzn. funkcja jest plurisubharmoniczna wtedy i tylko wtedy, gdy jest plurisubharmoniczna w sąsiedztwie każdego punktu.
Jeśli jest $plurisubharmoniczna$ i jest monotonicznie rosnącą, wypukłą funkcją, to $} circ f}$ $Displaystyle \ phi: \ mathbb {R} \ do \ mathbb {$ jest plurisubharmoniczne.
${\ displaystyle f_ {1}}$ i ${\ displaystyle f_ {2}} są funkcjami plurisubharmonicznymi,$ to funkcja $f(x):=\max(f_{1}(x),f_{2}(x))$ jest plurisubharmoniczne.
Jeśli $_$ _

wtedy ${\ Displaystyle f (x): = \ lim _ {n \ do \ infty} f_ {n} (x)}$ jest plurisubharmoniczne.

Każdą ciągłą funkcję plurisubharmoniczną można otrzymać jako granicę monotonicznie malejącego ciągu gładkich funkcji plurisubharmonicznych. Co więcej, ciąg ten można wybrać jednostajnie zbieżny.
Nierówność w zwykłym stanie półciągłości zachowuje się jako równość, tj. jeśli jest plurisubharmoniczna , to ${\ displaystyle f}$

{\ Displaystyle \ limsup _ {x \ do x_ {0}} f (x) = f (x_ {0})}

(patrz granica wyższa i granica dolna, aby zapoznać się z definicją lim sup ).

Funkcje plurisubharmoniczne są subharmoniczne dla dowolnej metryki Kählera .
Dlatego funkcje plurisubharmoniczne spełniają $D}$ maksimum , tj. jeśli jest plurisubharmoniczna w połączonej dziedzinie otwartej i $displaystyle$

{\ Displaystyle \ sup _ {x \ w D} f (x) = f (x_ {0})}

dla pewnego punktu jest stała $x_ {0} \ in D} .$ $\$

Aplikacje

W analizie złożonej funkcje plurisubharmoniczne są używane do opisu dziedzin pseudowypukłych , dziedzin holomorfii i rozmaitości Steina .

Twierdzenie Oka

Głównym geometrycznym zastosowaniem teorii funkcji plurisubharmonicznych jest słynne twierdzenie udowodnione przez Kiyoshi Oka w 1942 roku.

Funkcja ciągła $]$ $1} (] - \ infty, c])}$ wyczerpującą , przedobraz $Displaystyle f ^ {$ jest zwarty dla wszystkich ${\ Displaystyle c \ in {\ mathbb {R}}}$ . Funkcja plurisubharmoniczna f nazywana jest silnie plurisubharmoniczną, jeśli forma ${\ Displaystyle {\ sqrt {-1}} (\ częściowe {\ bar {\ częściowe}} f- \ omega)}$ jest dodatnie , dla niektórych postaci Kählera ${\ Displaystyle \ omega }$ na M. _

Twierdzenie Oka: Niech M będzie rozmaitością zespoloną, dopuszczającą gładką, wyczerpującą, silnie plurisubharmoniczną funkcję. Wtedy M to Stein . I odwrotnie, każda rozmaitość Steina dopuszcza taką funkcję.

Bremermann, HJ (1956). „Złożona wypukłość” . Transakcje Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego . 82 (1): 17–51. doi : 10.1090/S0002-9947-1956-0079100-2 . JSTOR 1992976 .
Stevena G. Krantza. Teoria funkcji kilku zmiennych zespolonych, AMS Chelsea Publishing, Providence, Rhode Island, 1992.
Roberta C. Gunninga . Wprowadzenie do funkcji holomorficznych w kilku zmiennych, Wadsworth & Brooks/Cole.
Klimek, Teoria pluripotencjału, Clarendon Press 1992.

Linki zewnętrzne

„Funkcja plurisubharmoniczna” , Encyklopedia matematyki , EMS Press , 2001 [1994]

Notatki

Referencje ^_^_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ , nazywa się to funkcją pseudowypukłą, ale oznacza to funkcję plurisubharmoniczną, która jest przedmiotem tej strony, a nie funkcję pseudowypukłą analizy wypukłej. Bremermanna (1956)
^ P. Lelong, Definicja des fonctions plurisousharmoniques, CR Acd. nauka Paryż 215 (1942), 398–400.
^ RE Greene i H. Wu, $\ Displaystyle C ^ {\ infty}} -$ przybliżenia funkcji wypukłych, subharmonicznych i plurisubharmonicznych , Ann. naukowy. Ek. Norma. Pić małymi łykami. 12 (1979), 47–84.

[oka-1] Referencje ^_^_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ , nazywa się to funkcją pseudowypukłą, ale oznacza to funkcję plurisubharmoniczną, która jest przedmiotem tej strony, a nie funkcję pseudowypukłą analizy wypukłej. Bremermanna (1956)

[2] P. Lelong, Definicja des fonctions plurisousharmoniques, CR Acd. nauka Paryż 215 (1942), 398–400.

[3] RE Greene i H. Wu, $\ Displaystyle C ^ {\ infty}} -$ przybliżenia funkcji wypukłych, subharmonicznych i plurisubharmonicznych , Ann. naukowy. Ek. Norma. Pić małymi łykami. 12 (1979), 47–84.