Złożona wiązka wektorów

W matematyce złożona wiązka wektorów to wiązka wektorów , której włókna są złożonymi przestrzeniami wektorowymi .

Każda złożona wiązka wektorów może być postrzegana jako rzeczywista wiązka wektorów poprzez ograniczenie skalarów . I odwrotnie, każda rzeczywista wiązka wektorów E może być promowana do złożonej wiązki wektorów, złożoności

{\ displaystyle E \ czasami \ mathbb {C};}

którego włókna to E _x ⊗ _R C .

Każda zespolona wiązka wektorów w przestrzeni parazwartej dopuszcza metrykę hermitowską .

Podstawowym niezmiennikiem złożonej wiązki wektorów jest klasa Chern . Złożona wiązka wektorów jest zorientowana kanonicznie ; w szczególności można wziąć jego klasę Eulera .

Złożona wiązka wektorów jest holomorficzną wiązką wektorów, jeśli X jest rozmaitością zespoloną i jeśli lokalne trywializacje są biholomorficzne.

Złożona struktura

Złożoną wiązkę wektorów można traktować jako rzeczywistą wiązkę wektorów z dodatkową strukturą, złożoną strukturą . Z definicji złożona struktura to mapa wiązek między rzeczywistą wiązką wektorową E a samą sobą:

{\ Displaystyle J: E \ do mi

tak, że $mapą$ jak z -1 włóknach: jeśli poziomie włókien $_$ to _ Jeśli E ${\ displaystyle i}$ $to$ złożoną strukturę J można zdefiniować, ustawiając jako mnożenie przez skalar przez . I odwrotnie, jeśli E jest wiązką wektorów rzeczywistych o strukturze zespolonej J , to E można przekształcić w wiązkę wektorów zespolonych, ustawiając: dla dowolnych liczb rzeczywistych a , b i wektora rzeczywistego v we włóknie E _x ,

{\ Displaystyle (a + ib) v = av + J (bv).}

Przykład : Złożona struktura na wiązce stycznej rozmaitości rzeczywistej M jest zwykle nazywana strukturą prawie złożoną . Twierdzenie Newlandera i Nirenberga mówi, że prawie złożona struktura J jest „całkowalna” w tym sensie, że jest indukowana przez strukturę złożonej rozmaitości wtedy i tylko wtedy, gdy znika pewien tensor obejmujący J.

Pakiet koniugatów

Jeśli E jest złożoną wiązką wektorów, to wiązka koniugatów E jest uzyskiwana przez posiadanie liczb zespolonych $.$ poprzez zespolone koniugaty Zatem mapa tożsamości podstawowych wiązek wektorów rzeczywistych: ${\ Displaystyle E _ {\ mathbb {R}} \ do {\ overline {E}} _ {\ mathbb {R}} = E_{\mathbb {R}}}$ jest sprzężone-liniowe, a E i jego sprzężone E są izomorficzne jako wiązki wektorów rzeczywistych.

K -ta klasa Cherna jest podana przez $E}}}$ {

\ Displaystyle c_ {k} ({\ overline {E}}) = (-1) ^ {k} c_ {k} (E)}

.

W szczególności E i E ogólnie nie są izomorficzne.

Jeśli E ma metrykę hermitowską, to wiązka sprzężona E jest izomorficzna z wiązką podwójną $)}$ ${\ Displaystyle E ^ {*} = \ operatorname {Hom} (E {\ mathcal {O }$ $trywialną$ poprzez metrykę, w której napisaliśmy wiązkę linii zespolonych.

Jeśli E jest wiązką wektorów rzeczywistych, to podstawowa wiązka wektorów rzeczywistych złożoności E jest bezpośrednią sumą dwóch kopii E :

{\ Displaystyle (E \ czasami \ mathbb {C}) _ {\ mathbb {R}} = E \ oplus E}

V (ponieważ V ⊗ _R C = V ⊕ i <a i=10>‌ V dla dowolnej rzeczywistej przestrzeni wektorowej V .) Jeśli zespolona wiązka wektorów E jest złożonością rzeczywistej wiązki wektorów E ' , to E ' jest nazywana rzeczywistą postacią E ( może być więcej niż jedną postacią rzeczywistą) i mówi się, że E jest zdefiniowana na liczbach rzeczywistych. Jeśli E ma postać rzeczywistą, to E jest izomorficzne ze swoim koniugatem (ponieważ oba są sumą dwóch kopii postaci rzeczywistej), a zatem nieparzyste klasy Cherna E mają rząd 2.

Zobacz też

Milnor, John Willard ; Stasheff, James D. (1974), Klasy charakterystyczne , Annals of Mathematics Studies, tom. 76, Princeton University Press; University of Tokyo Press, ISBN 978-0-691-08122-9