Złożony sprzężenie przestrzeni wektorowej

W matematyce złożony koniugat złożonej przestrzeni wektorowej jest $złożoną$ przestrzenią wektorową $,$ która ma te same elementy i strukturę ${\ displaystyle V},$ ale którego mnożenie przez skalar obejmuje koniugację skalarów. Innymi słowy, mnożenie przez skalar spełnia ${\ displaystyle {\ overline {V}}}$

$${\ Displaystyle \ alfa \, * \, v = {\, {\ overline {\ alfa}} \ cdot \, v \,}}$$

gdzie jest skalarnym mnożeniem $jest$$}}$$mnożeniem$ i skalarnym $}$$V.$ Litera oznacza wektor w $\ Displaystyle V,}$${\ Displaystyle \ alpha}$ jest liczbą zespoloną i ${\ Displaystyle {\ overline {\ alfa }}}$${\ Displaystyle \ alfa.}$ złożony koniugat α

Mówiąc dokładniej, złożona sprzężona przestrzeń wektorowa to ta sama podstawowa $displaystyle$ przestrzeń wektorowa (ten sam zestaw punktów, to samo dodawanie wektorów i rzeczywiste mnożenie przez skalar) ze sprzężoną liniową strukturą zespoloną (inne mnożenie przez $i }$ ).

Motywacja

Jeśli i są zespolonymi przestrzeniami wektorowymi, funkcja $: V \ do W}$ antyliniowa $,$ jeśli { $\ displaystyle$

$${\ Displaystyle f (v + w) = f (v) + f (w) \ quad {\text{i}}\quad f(\alpha v)={\overline {\alpha}}\,f(v)}$$

Używając sprzężonej przestrzeni wektorowej $\ displaystyle {\$ mapę można uznać za zwykłą mapę liniową typu $overline {V}$${\ displaystyle {\ overline {V}} \ do W.}$ Liniowość sprawdza się, zauważając:

$${\ Displaystyle f (\ alfa * v) = f ({\ overline {\ alfa} }\cdot v)={\overline {\overline {\alpha}}}\cdot f(v)=\alpha \cdot f(v)}$$

I odwrotnie, każda mapa liniowa zdefiniowana na $na$ początek mapie antyliniowej ${\ Displaystyle V.}$

Jest to ta sama podstawowa zasada, co przy definiowaniu $przeciwnego$ pierścienia $,$ tak że prawy moduł - można uznać za lub moduł kategorii tak, że ${\ Displaystyle C ^ {op} \ do D.}$$displaystyle C \$ można uznać za zwykły funktor typu

Złożony funktor koniugacji

Mapa liniowa ${\ Displaystyle f: V \ do W \}$ daje początek odpowiedniej mapie liniowej ${\ Displaystyle {\ overline {f}}: {\ overline { V}}\to {\overline {W}}},$ który ma taką samą akcję jak ${\ displaystyle f.}$ Zauważ, że zachowuje mnożenie przez skalar, ponieważ ${\ displaystyle {\ overline {f}}}$

$${\ Displaystyle {\ overline {f}} (\ alfa * v) = f ( {\overline {\alpha}}\cdot v)={\overline {\alpha}}\cdot f(v)=\alpha *{\overline {f}}(v)}$$

Zatem złożona koniugacja $V}}$ definiują funktor z kategorii wektora zespolonego ${\ Displaystyle V \ mapsto {\$ przestrzenie dla siebie.

V {\ $displaystyle$$V}$ i $W}$$displaystyle$$mathcal {B}}}$ wymiarowe, a mapa $jest$ opisana przez złożoną macierz odniesieniu do podstaw z ${\ Displaystyle V}$${\ Displaystyle {\ mathcal {C}}}$ do z ${\ Displaystyle W}, a$ następnie mapa ${\ displaystyle {\ overline {f}} }$ jest opisany przez złożony koniugat w odniesieniu do podstaw ${$$\ displaystyle {\ overline {\ mathcal {B}}}}$ V $}}$ i ${\ Displaystyle {\ overline {\ mathcal {C}}}}$ z ${\ Displaystyle {\ overline {W}}.}$

Struktura koniugatu

Przestrzenie wektorowe $i$ mają ten sam wymiar na liczbach zespolonych i dlatego są $izomorficzne$ przestrzenie wektorowe ${\ Displaystyle {\ overline {V}}.}$ nie $V¯$ izomorfizmu od do

Podwójny koniugat jest ${\ Displaystyle V.}$ z ${\ displaystyle {\ overline {\ overline {V}}}}$

Złożony koniugat przestrzeni Hilberta

Biorąc pod uwagę przestrzeń Hilberta $)$${\ Displaystyle {\ mathcal {H}}}}$ , jej złożony koniugat jest tą samą przestrzenią wektorową co jego ciągła przestrzeń dualna ${\ Displaystyle {\ mathcal {H}} ^ {\ pierwsza}.}$ Istnieje antyliniowa zgodność jeden do jednego między ciągłymi funkcjonałami liniowymi a wektorami. Innymi słowy, każdy ciągły $jest$ liniowy na wewnętrznym mnożeniem pewnego ustalonego wektora i odwrotnie.

  Zatem złożony koniugat z wektorem $który$ w przypadku skończonych wymiarów, można oznaczyć jako (v- $,$ wektor wiersza jest sprzężeniem transponować do wektora kolumnowego ${\ displaystyle v}$ ). W mechanice kwantowej sprzężenie z wektorem ket ${\ Displaystyle \, | \ psi \ rangle}$ jest oznaczony jako ${\ Displaystyle \ langle \ psi | \,}$ - wektor biustonosza (patrz notacja biustonosza ).

Zobacz też

• Przestrzeń antydualna – skoniuguj jednorodną mapę addytywną Strony wyświetlające krótkie opisy celów przekierowania
• Liniowa struktura zespolona – koncepcja matematyki
• Twierdzenie Riesza o reprezentacji - Twierdzenie o dualności przestrzeni Hilberta
• wiązka sprzężona

Dalsza lektura

•   Budinich, P. i Trautman, A. Szachownica spinorialna . Springer-Verlag, 1988. ISBN 0-387-19078-3 . (zespolone sprzężone przestrzenie wektorowe są omówione w sekcji 3.3 na stronie 26).