Twierdzenie o podziale

W matematycznej dziedzinie geometrii różniczkowej istnieją różne twierdzenia o rozszczepianiu dotyczące tego, kiedy rozmaitość pseudo-riemanna można podać jako iloczyn metryczny. Najbardziej znanym jest twierdzenie Cheegera – Gromolla o rozszczepianiu rozmaitości Riemanna, chociaż prowadzono również badania nad rozszczepianiem rozmaitości Lorentza .

Twierdzenie Riemanna o rozszczepieniu Cheegera i Gromolla

Każda połączona rozmaitość Riemanna M ma podstawową metryczną strukturę przestrzenną , co pozwala na zdefiniowanie linii geodezyjnej jako mapy c : ℝ → M takiej, że odległość od c ( s ) do c ( t ) jest równa | t - s | dla dowolnych s i t . Oznacza to, że ograniczenie c do dowolnego przedziału ograniczonego jest krzywa o minimalnej długości, która łączy swoje punkty końcowe.

W 1971 roku Jeff Cheeger i Detlef Gromoll udowodnili, że jeśli geodezyjnie kompletna i połączona rozmaitość riemannowska o nieujemnej krzywiźnie Ricciego zawiera jakąkolwiek linię geodezyjną, to musi ona podzielić się izometrycznie jako iloczyn kompletnej rozmaitości riemannowskiej z ℝ . Dowód został później uproszczony przez Josta Eschenburga i Ernsta Heintze. W 1936 roku Stefan Cohn-Vossen pierwotnie sformułował i udowodnił twierdzenie w przypadku rozmaitości dwuwymiarowych, a Victor Toponogov rozszerzył pracę Cohna-Vossena na wyższe wymiary, pod specjalnym warunkiem nieujemnej krzywizny przekroju .

Dowód można podsumować w następujący sposób. Warunek linii geodezyjnej pozwala na zdefiniowanie dwóch funkcji Busemanna . Można je traktować jako znormalizowaną funkcję odległości Riemanna do dwóch punktów końcowych linii. Z podstawowego twierdzenia Laplace'a o porównaniach, udowodnionego wcześniej przez Eugenio Calabiego , obie te funkcje są nadharmoniczne przy założeniu krzywizny Ricciego. Każda z tych funkcji może być w niektórych punktach ujemna, ale nierówność trójkąta implikuje, że ich suma jest nieujemna. Silna zasada maksimum implikuje, że suma jest identycznie równa zeru, a zatem każda funkcja Busemanna jest w rzeczywistości (słabo) funkcją harmoniczną . Lemat Weyla implikuje nieskończoną różniczkowalność funkcji Busemanna. Następnie dowód można zakończyć, używając wzoru Bochnera do skonstruowania równoległych pól wektorowych , ustanawiając twierdzenie o dekompozycji de Rhama . Alternatywnie można przywołać teorię zanurzeń riemannowskich .

W konsekwencji ich twierdzenia o rozszczepieniu Cheeger i Gromoll byli w stanie udowodnić, że uniwersalne pokrycie dowolnej zamkniętej rozmaitości o nieujemnej krzywiźnie Ricciego musi podzielić się izometrycznie jako iloczyn zamkniętej rozmaitości z przestrzenią euklidesową . Jeśli pokrycie uniwersalne jest topologicznie kurczliwe , to wynika z tego, że wszystkie zaangażowane metryki muszą być płaskie .

Twierdzenie Lorentza o rozszczepieniu

W 1982 roku Shing-Tung Yau doszedł do wniosku, że twierdzenie Cheegera i Gromolla powinno być zgodne z konkretną lorentzowską wersją twierdzenia. Dowody na różnych poziomach ogólności zostały znalezione przez Josta Eschenburga, Gregory'ego Gallowaya i Richarda Newmana. W tych wynikach rolę kompletności geodezyjnej zastępuje warunek globalnej hiperboliczności lub geodezyjnej kompletności czasowej . Nieujemność krzywizny Ricciego zostaje zastąpiona przez warunek zbieżności czasowej że krzywizna Ricciego jest nieujemna we wszystkich kierunkach czasowych. Linia geodezyjna musi być podobna do czasu.

Notatki.

Artykuły historyczne.

Podręczniki.

Pobrano z „ https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Splitting_theorem&oldid=1073444079 ”