zanurzenie riemannowskie

W geometrii różniczkowej , gałęzi matematyki , zanurzenie riemannowskie to zanurzenie z jednej rozmaitości riemannowskiej do drugiej, która szanuje metrykę, co oznacza, że jest to rzut ortogonalny na przestrzenie styczne.

Definicja formalna

Niech ( M , g ) i ( N , h ) $tj$ Riemanna i ( surjektywnym) zanurzeniem, włóknistą Rozkład poziomy ${\ Displaystyle \ operatorname {ker} (df) ^ {\ perp}}$ $\ Displaystyle TM}$ podgrupą wiązki stycznej T M co zależy zarówno od projekcji, $displaystyle$ i od metryki $g}$ .

Wtedy f nazywa się zanurzeniem Riemanna wtedy i tylko wtedy, gdy izomorfizm ${\ Displaystyle df: \ operatorname {ker} (df) ^ {\ perp} \ rightarrow TN}$ jest izometrią .

Przykłady

Przykład zanurzenia Riemanna pojawia się, gdy grupa Liego $sol$ izometrycznie, swobodnie i prawidłowo na rozmaitość Riemanna ${\ Displaystyle (M, g)$ } Rzut ${\ Displaystyle \ pi: M \ rightarrow N}$ do przestrzeni ilorazowej ${\ Displaystyle N = M/G}$ wyposażony w metrykę ilorazową jest zanurzenie riemannowskie. Na przykład $daje$ składowe jednostkowych liczb fibrację .

Nieruchomości

Krzywiznę przekroju przestrzeni docelowej zanurzenia Riemanna można obliczyć z krzywizny przestrzeni całkowitej za pomocą wzoru O'Neilla , nazwanego na cześć Barretta O'Neilla :

{\ Displaystyle K_ {N} (X, Y) = K_ {M} ({\ tylda {X}}, {\ tylda {Y}}) + {\ tfrac {3} {4}} | [{\ tylda {X}},{\tylda {Y}}]^{V}|^{2}}

gdzie ${\ Displaystyle X, Y}$ są ortonormalnymi polami wektorowymi na ich poziomych windach ${\ Displaystyle N}$ , ${\ Displaystyle {\ tylda {X}}, {\ tylda {Y}}}$ do $wektorowych$ nawiasem Lie $jest$ wektorowego _ $_$ _ ${\ displaystyle Z}$ do dystrybucji pionowej .

$dolna$ granica krzywizny przekroju $duża$ , jak dolna granica krzywizny .

Uogólnienia i wariacje

Wiązka włókien
Submetria
mapa ko-Lipschitz

Zobacz też

Notatki

Gilkey, Peter B.; Leahy, John V .; Park, Jeonghyeong (1998), Spinors, Spectral Geometry, and Riemanna Submersions , Global Analysis Research Center, Seoul National University .
Barretta O'Neilla. Podstawowe równania zanurzenia. Matematyka Michigan. J. 13 (1966), 459–469. doi : 10,1307/mmj/1028999604