Nilpotentna orbita

W matematyce nilpotentne orbity są uogólnieniami nilpotentnych macierzy , które odgrywają ważną rolę w teorii reprezentacji rzeczywistych i złożonych półprostych grup Liego oraz półprostych algebr Liego .

Definicja

Element X półprostej algebry Liego g nazywamy nilpotentnym , jeśli jego sprzężony endomorfizm

ad X : g → g , ad X ( Y ) = [ X , Y ]

jest nilpotentny, to znaczy ( ad X ) ⁿ = 0 dla wystarczająco dużego n . Równoważnie, X jest nilpotentny, jeśli jego charakterystyczny wielomian pad _X ( t ) jest równy t ^{dim g} .

Półprosta grupa Liego lub grupa algebraiczna G działa na swoją algebrę Liego poprzez reprezentację sprzężoną , a właściwość bycia nilpotentnym jest niezmienna w ramach tego działania. Orbita nilpotentna to orbita połączonego działania, w której dowolny (równoważnie wszystkie) jej elementy są (są) nilpotentne.

Przykłady

Nilpotentne macierze ze $złożonymi$ wpisami stanowią główny argument motywujący dla ogólnej teorii, odpowiadający liniowej . Z normalnej postaci macierzy Jordana wiemy, że każda macierz nilpotentna jest sprzężona z unikalną macierzą z blokami Jordana o rozmiarach ${\ Displaystyle \ lambda _ {1} \ geq \ lambda _ { 2}\geq \ldots \geq \lambda _{r},}$ gdzie ${\ Displaystyle \ lambda$ } jest partycją n . Zatem w przypadku n = 2 istnieją dwie nilpotentne orbity, orbita zerowa składająca się z macierzy zerowej i odpowiadająca podziałowi ( 1 , 1 ) oraz orbita główna składająca się ze wszystkich niezerowych macierzy A ze śladem zerowym i wyznacznikiem,

${\ Displaystyle A = {\ rozpocząć {bmatrix} x&y \\ z&-x \ koniec {bmatrix}} \ quad (x y, z) \ neq (0,0,0) \ quad {\;}}$ z ${\ Displaystyle x ^ {2} + yz = 0,}$

odpowiadający partycji ( 2 ). $ta$ jest dwuwymiarowym złożonym stożkiem kwadratowym w czterowymiarowej przestrzeni wektorowej macierzy minus jej wierzchołek.

Złożona specjalna grupa liniowa jest podgrupą ogólnej grupy liniowej o tych samych nilpotentnych orbitach. Jeśli jednak zastąpimy złożoną specjalną grupę liniową rzeczywistą specjalną grupą liniową, mogą powstać nowe orbity nilpotentne. W szczególności dla n = 2 istnieją $.$ 3 nilpotentne orbity: orbita zerowa i dwa rzeczywiste półstożki (bez wierzchołka), odpowiadające dodatnim i ujemnym wartościom parametryzacji

Nieruchomości

• Nilpotentne orbity można scharakteryzować jako te orbity działania sprzężonego, których domknięcie Zariskiego zawiera 0.
• Liczba orbit nilpotentnych jest skończona.
• Zamknięcie Zariski nilpotentnej orbity jest sumą nilpotentnych orbit.
• Twierdzenie Jacobsona-Morozowa : w polu charakterystycznym zero każdy nilpotentny element e może być zawarty w sl ₂ -potrójnym { e , h , f } i wszystkie takie trójki są sprzężone przez Z _G ( e ), centralizator e w G. _ Wraz z teorią reprezentacji sl ₂ , pozwala to na oznaczenie orbit nilpotentnych za pomocą skończonych danych kombinatorycznych, co daje podstawę do klasyfikacji orbit nilpotentnych Dynkina-Kostanta .

Posetyczna struktura

Orbity nilpotentne tworzą częściowo uporządkowany zbiór : przy danych dwóch orbitach nilpotentnych O ₁ jest mniejsze lub równe O ₂ , jeśli O ₁ zawiera się w domknięciu Zariskiego O ₂ . Ta pozycja ma unikalny element minimalny, orbitę zerową i unikalny element maksymalny, regularną orbitę nilpotentną , ale generalnie nie jest to pozycja stopniowana . Jeśli pole podłoża jest algebraicznie domknięte , to orbita zerowa jest pokryta unikalną orbitą, zwaną minimalna orbita , a regularna orbita obejmuje unikalną orbitę, zwaną orbitą podregularną .

W przypadku specjalnej grupy liniowej SL _n orbity nilpotentne są sparametryzowane przez podziały n . Zgodnie z twierdzeniem Gerstenhabera uporządkowanie orbit odpowiada porządkowi dominacji na podziale n . Ponadto, jeśli G jest grupą izometrii postaci dwuliniowej , tj. ortogonalną lub symplektyczną podgrupą SL _n , to jej nilpotentne orbity są sparametryzowane przez podziały n spełnienie pewnego warunku parzystości i odpowiadającej mu struktury posetowej jest indukowane porządkiem dominacji na wszystkich podziałach (jest to twierdzenie nietrywialne ze względu na Gerstenhabera i Hesselinka).

Zobacz też

• Reprezentacja łączna

•   Davida Collingwooda i Williama McGoverna. Nilpotentne orbity w półprostej algebrze Liego . Seria matematyczna Van Nostranda Reinholda. Van Nostrand Reinhold Co., Nowy Jork, 1993. ISBN 0-534-18834-6
• Bourbaki, Nicolas (2005), „VIII: Podzielone półproste algebry kłamstw” , Elementy matematyki: grupy kłamstw i algebra kłamstw: rozdziały 7–9
•   Erdmann, Karin ; Wildon, Mark (2006), Wprowadzenie do algebr kłamstw (wyd. 1), Springer, ISBN 1-84628-040-0 .
•   Humphreys, James E. (1972), Wprowadzenie do algebr kłamstw i teorii reprezentacji , Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90053-7 .
•   Varadarajan, VS (2004), Grupy kłamstw, algebry kłamstwa i ich reprezentacje (wyd. 1), Springer, ISBN 0-387-90969-9 .