Funkcja podziału Kostanta

W teorii reprezentacji , gałęzi matematyki, funkcja podziału Kostanta , wprowadzona przez Bertrama Kostanta ( 1958 , 1959 ), $wagę$ korzeniowego to liczba sposobów, na jakie można przedstawić wektor ( ) jako nieujemna liczba całkowita liniowa kombinacja dodatnich pierwiastków ${\ Displaystyle \ Delta ^ {+} \ podzbiór \ Delta}$ . Kostant użył go do przepisania formuły postaci Weyla jako wzór ( formuła krotności Kostanta ) na krotność wagi nieredukowalnej reprezentacji półprostej algebry Liego . Alternatywną formułą, która w niektórych przypadkach jest bardziej wydajna obliczeniowo, jest formuła Freudenthala .

Funkcję podziału Kostanta można również zdefiniować dla algebr Kaca – Moody'ego i ma ona podobne właściwości.

Przykład

Funkcja partycji Kostanta dla systemu korzeniowego A2

Rozważ systemy korzeni A2 z dodatnimi korzeniami $alpha _{3}:=\alpha_{1}+\alpha_{2}}$ α $\ Displaystyle \ alpha _ {2}}$$i$ α . Jeśli element można wyrazić jako nieujemną kombinację liniową liczby całkowitej , α 1 {\ Displaystyle \ alpha _ {1}} , ${$$\$$_ {2}}$ i ${\ Displaystyle \ alpha _ {3}}$ , to ponieważ ${\ Displaystyle \ alfa _ {3} = \ alfa _ {1} + \ alfa _ {2}$ } można to $alpha _ {1}}$ wyrazić jako nieujemną liniową kombinację liczb całkowitych i ${\ displaystyle$ \

${\ Displaystyle \ mu = n_ {1} \ alfa _ {1} + n_ {2} \ alfa _ {2}}$

gdzie ${\ displaystyle n_ {1}}$ i ${\ displaystyle n_ {2}}$ są nieujemnymi liczbami całkowitymi. To wyrażenie daje jeden ze sposobów zapisania jako $;$ kombinacja liczb całkowitych dodatnich pierwiastków $_$$_$ uzyskać zastępując razy Możemy dokonać zamiany ${\ Displaystyle k}$ razy, gdzie ${\ Displaystyle 0 \ równoważnik k \ równoważnik \ operatorname {min} (n_ {1}, n_ {2})}$ . Tak więc, jeśli funkcja podziału Kostanta jest oznaczona przez , otrzymujemy wzór ${\ displaystyle p}$

${\ Displaystyle p (n_ {1} \ alfa _ {1} + n_ {2} \ alfa _ {2 })=1+\mathrm {min} (n_{1},n_{2})}$ .

Wynik ten jest pokazany graficznie na obrazie po prawej stronie. ${\ Displaystyle \ mu = n_ {1} \ alfa _ {1} + n_ {2} \ alfa$ element nie ma postaci $=$ , a następnie ${\ Displaystyle p (\ mu) = 0}$ .

Związek z formułą postaci Weyla

Odwracanie mianownika Weyla

Dla każdego pierwiastka ${$ każdego możemy formalnie zastosować wzór na sumę szeregu geometrycznego, aby otrzymać α $\ displaystyle$

${\ Displaystyle {\ Frac {1} {1-e ^ {- \ alfa (H)} }}=1+e^{-\alfa (H)}+e^{-2\alfa (H)}+\cdots }$

gdzie nie martwimy się o zbieżność – czyli równość rozumiana jest na poziomie formalnych szeregów potęgowych. Korzystając ze wzoru na mianownik Weyla

${\ Displaystyle {\ suma _ {w \ w W}(-1)^{\ell (w)}e^{w\cdot \rho (H)}=e^{\rho (H)}\prod _{\alpha >0}(1-e^ {-\alfa (H)})},}$

otrzymujemy formalne wyrażenie na odwrotność mianownika Weyla:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {\ Frac {1} {\ suma _ {w \ w W} ( -1)^{\ell (w)}e^{w\cdot \rho (H)}}}&{}=e^{-\rho (H)}\prod _{\alpha >0}(1 +e^{-\alpha (H)}+e^{-2\alpha (H)}+e^{-3\alpha (H)}+\cdots )\\&{}=e^{-\ rho (H)}\sum _{\mu }p(\mu )e^{-\mu (H)}\end{wyrównane}}}$

Tutaj pierwsza równość polega na przejęciu iloczynu przez dodatnie pierwiastki wzoru na szereg geometryczny, a druga równość polega na zliczeniu wszystkich sposobów danej wykładniczej mi $\ Displaystyle e ^ {\ mu (H)}}$ może wystąpić w produkcie.

Przepisanie formuły postaci

Ten argument pokazuje, że możemy przekonwertować formułę znaku Weyla na nieredukowalną reprezentację o najwyższej wadze: ${\ displaystyle \ lambda}$ :

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {ch} (V) = {\ suma _ {w \ w W} (-1) ^ {\ ell (w)} e ^ {w \ cdot (\ lambda + \ rho) (H) } \over \sum _{w\in W}(-1)^{\ell (w)}e^{w\cdot \rho (H)}}}$

od ilorazu do iloczynu:

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {ch} (V) = \ lewo (\ suma _ {w \ w W} (-1) ^ {\ ell (w)} e ^ {w \ cdot (\ lambda + \ rho) ( H)}\right)\left(e^{-\rho (H)}\sum _{\mu }p(\mu )e^{-\mu (H)}\right).}$

Formuła wielości

Wykorzystując poprzednie przepisanie formuły znaku, stosunkowo łatwo jest zapisać znak jako sumę wykładników. Współczynniki tych wykładników są krotnościami odpowiednich wag. Otrzymujemy w ten sposób wzór na krotność danej wagi w nieredukowalnej reprezentacji o najwyższej wadze ${\ displaystyle \ mu$$}$ :

${\ Displaystyle \ operatorname {mult} (\ mu) = \ suma _{w\in W}(-1)^{\ell (w)}p(w\cdot (\lambda +\rho )-(\mu +\rho ))}$ .

Ten wynik to wzór na krotność Kostanta .

Dominującym terminem w tym wzorze jest termin ${\ displaystyle w = 1}$ ; wkład tego terminu to $\$$\$ krotnością w module Verma wadze $lambda }$${\ Displaystyle$ . Jeśli jest wystarczająco daleko w podstawowej komorze Weyla i $\ mu}$$displaystyle$ jest wystarczająco blisko , może się zdarzyć, że wszystkie inne wyrazy we wzorze są $zerowe$$⋅$ szczególności $nie$ niż na ${\ Displaystyle w \ cdot (\ lambda + \ rho) - (\ mu + \ rho)}$ wyniesie zero. Tak więc, chociaż suma jest nominalnie w całej grupie Weyla, w większości przypadków liczba wyrazów niezerowych jest mniejsza niż rząd grupy Weyla.

Źródła

•   Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras and Representations: An Elementary Introduction , Absolwent Teksty z matematyki, tom. 222 (wyd. 2), Springer, ISBN 978-3319134666
• Humphreys, JE Wprowadzenie do algebr Liego i teorii reprezentacji, Springer, 1972.
•       Kostant, Bertram (1958), „Formuła na wielokrotność wagi”, Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America , National Academy of Sciences, 44 (6): 588–589, Bibcode : 1958PNAS. ..44..588K , doi : 10.1073/pnas.44.6.588 , ISSN 0027-8424 , JSTOR 89667 , MR 0099387 , PMC 528626 , PMID 16590246
•     Kostant, Bertram (1959), „Formuła na wielokrotność wagi”, Transactions of the American Mathematical Society , American Mathematical Society, 93 (1): 53–73, doi : 10.2307/1993422 , ISSN 0002-9947 , JSTOR 1993422 , MR 0109192