Dziesiąty problem Hilberta

Dziesiąty problem Hilberta jest dziesiątym na liście problemów matematycznych , które niemiecki matematyk David Hilbert postawił w 1900 roku. Wyzwaniem jest dostarczenie ogólnego algorytmu , który dla dowolnego równania diofantycznego ( równanie wielomianowe ze współczynnikami całkowitymi i skończoną liczbą niewiadome), może zdecydować, czy równanie ma rozwiązanie, w którym wszystkie niewiadome przyjmują wartości całkowite.

$_$ równanie _ ${\ Displaystyle x = 1, \ y = 2, \ z = -2}$ . Z kolei równanie diofantyczne ${\ Displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + 1 = 0}$ nie ma takiego rozwiązania.

Dziesiąty problem Hilberta został rozwiązany i ma odpowiedź negatywną: taki ogólny algorytm nie istnieje. Jest to wynik połączonych prac Martina Davisa , Yuri Matiyasevicha , Hilarego Putnama i Julii Robinson , które obejmują 21 lat, a Matiyasevich ukończył twierdzenie w 1970 r. Twierdzenie jest obecnie znane jako twierdzenie Matiyasevicha lub twierdzenie MRDP (inicjalizm dla nazwisk z czterech głównych uczestników jego rozwiązania).

Kiedy wszystkie współczynniki i zmienne są ograniczone do dodatnich liczb całkowitych, powiązany problem testowania tożsamości wielomianów staje się rozstrzygalną (wolną od potęgowania) odmianą problemu algebry Tarskiego z liceum , czasami oznaczanego ${\ Displaystyle {\ overline {HSI}}.}$

Tło

Oryginalna receptura

Hilbert sformułował problem w następujący sposób:

Biorąc pod uwagę równanie diofantyczne z dowolną liczbą nieznanych wielkości i całkowitymi wymiernymi współczynnikami liczbowymi: opracować proces, zgodnie z którym można określić za pomocą skończonej liczby operacji, czy równanie jest rozwiązywalne w liczbach całkowitych wymiernych.

Słowa „proces” i „skończona liczba operacji” oznaczają, że Hilbert prosił o algorytm . Termin „całka wymierna” odnosi się po prostu do liczb całkowitych, dodatnich, ujemnych lub zerowych: 0, ±1, ±2,…. Hilbert prosił więc o ogólny algorytm decydujący, czy dane wielomianowe równanie diofantyczne ze współczynnikami całkowitymi ma rozwiązanie w liczbach całkowitych.

Problem Hilberta nie polega na znalezieniu rozwiązań. Pyta tylko, czy ogólnie możemy zdecydować, czy istnieje jedno lub więcej rozwiązań. Odpowiedź na to pytanie jest negatywna w tym sensie, że nie można opracować żadnego „procesu” odpowiedzi na to pytanie. Współcześnie 10. problem Hilberta jest problemem nierozstrzygalnym . Chociaż jest mało prawdopodobne, aby Hilbert przewidział taką możliwość, przed przystąpieniem do wyliczania problemów, proroczo zauważył:

Czasami zdarza się, że szukamy rozwiązania w oparciu o niedostateczne hipotezy lub w niewłaściwym sensie iz tego powodu nie udaje nam się to. Powstaje zatem problem: pokazać niemożliwość rozwiązania przy danych hipotezach lub w rozważanym sensie.

Udowodnienie nierozstrzygalności 10. problemu jest zatem prawidłową odpowiedzią nawet w kategoriach Hilberta, ponieważ jest to dowód na „niemożliwość rozwiązania”.

Zestawy diofantyczne

Główny artykuł: zestaw diofantyczny

W równaniu diofantycznym istnieją dwa rodzaje zmiennych: parametry i niewiadome. Zbiór diofantyczny składa się z przypisań parametrów, dla których równanie diofantyczne jest rozwiązywalne. Typowym przykładem jest liniowe równanie diofantyczne z dwiema niewiadomymi,

${\ Displaystyle a_ {1} x_ {1} + a_ {2} x_ {2} = a_ {3}}$ ,

gdzie równanie jest rozwiązywalne, gdy $displaystyle a_ {1}, a_$ wspólny dzielnik $}$ za 1 \ Wartości dla $.$ diofantycznym, a powyższe równanie

Definicje diofantyczne mogą być dostarczane przez równoczesne układy równań, jak również przez indywidualne równania, ponieważ układ

${\ Displaystyle p_ {1} = 0, \ ldots, p_ {k} = 0}$

jest równoważne pojedynczemu równaniu

${\ Displaystyle p_ {1} ^ {2} + \ cdots + p_ {k} ^ {2} = 0.}$

Zbiory liczb naturalnych, par liczb naturalnych (lub nawet n - krotek liczb naturalnych), które mają definicje diofantyczne, nazywane są zbiorami diofantycznymi . W tych kategoriach dziesiąty problem Hilberta pyta, czy istnieje algorytm określający, czy dany zbiór diofantyczny jest niepusty.

Prace nad problemem dotyczyły raczej rozwiązań w liczbach naturalnych (rozumianych jako nieujemne liczby całkowite) niż w dowolnych liczbach całkowitych. Te dwa problemy są równoważne: dowolny ogólny algorytm, który może zdecydować, czy dane równanie diofantyny ma rozwiązanie w postaci liczb całkowitych, można zmodyfikować w algorytm, który decyduje, czy dane równanie diofantyny ma rozwiązanie w postaci liczby naturalnej, i odwrotnie. Można to zobaczyć w następujący sposób: Wymóg, aby rozwiązania były liczbami naturalnymi, można wyrazić za pomocą twierdzenia Lagrange'a o czterech kwadratach : każda liczba naturalna jest sumą kwadratów czterech liczb całkowitych, więc po prostu zastępujemy każdy parametr sumą kwadratów czterech dodatkowych parametrów. Podobnie, ponieważ każdą liczbę całkowitą można zapisać jako różnicę dwóch liczb naturalnych, każdy parametr mieszczący się w zakresie liczb całkowitych możemy zastąpić różnicą dwóch parametrów mieszczących się w liczbach naturalnych.

Zestawy rekurencyjnie przeliczalne

Zbiór rekurencyjnie przeliczalny można scharakteryzować jako taki, dla którego istnieje algorytm , który ostatecznie zatrzyma się, gdy element zestawu zostanie podany jako dane wejściowe, ale może trwać w nieskończoność, gdy dane wejściowe nie będą członkami. Był to rozwój teorii obliczalności (znana również jako teoria rekurencji), która dostarczyła precyzyjnego wyjaśnienia intuicyjnego pojęcia obliczalności algorytmicznej, czyniąc w ten sposób pojęcie przeliczalności rekurencyjnej doskonale rygorystycznym. Jest oczywiste, że zbiory diofantyczne są rekurencyjnie przeliczalne (inaczej półrozstrzygalne). Dzieje się tak, ponieważ można ustawić wszystkie możliwe krotki wartości niewiadomych w sekwencji, a następnie dla danej wartości parametru (parametrów) przetestować te krotki, jedna po drugiej, aby zobaczyć, czy są rozwiązaniami odpowiedniego równania. Nierozwiązywalność dziesiątego problemu Hilberta jest konsekwencją zaskakującego faktu, że odwrotność jest prawdziwa:

Każdy zestaw rekurencyjnie przeliczalny jest diofantyczny.

Wynik ten jest różnie nazywany twierdzeniem Matiyasewicza (ponieważ dostarczył on decydujący krok, który zakończył dowód) i twierdzeniem MRDP (dla Yuri Matiyasevich , Julii Robinson , Martina Davisa i Hilary Putnam ). Ponieważ istnieje rekurencyjnie przeliczalny zbiór, który nie jest obliczalny, natychmiastową konsekwencją jest nierozwiązywalność dziesiątego problemu Hilberta. W rzeczywistości można powiedzieć więcej: istnieje wielomian

${\ Displaystyle p (a, x_ {1}, \ ldots, x_ {n})}$

$,$ że zbiór wartości, których równanie

${\ Displaystyle p (a, x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) = 0}$

ma rozwiązania w liczbach naturalnych, nie jest obliczalny. Tak więc nie tylko nie ma ogólnego algorytmu do testowania równań diofantycznych pod kątem rozwiązywalności, nawet dla tej rodziny równań z jednym parametrem, nie ma algorytmu.

Historia

Rok	Wydarzenia
1944	Emil Leon Post oświadcza, że ​​dziesiąty problem Hilberta „błaga o dowód nierozwiązywalności”.
1949	Martin Davis używa metody Kurta Gödla do zastosowania chińskiego twierdzenia o resztach jako sztuczki kodowania w celu uzyskania jego postaci normalnej dla zbiorów rekurencyjnie przeliczalnych: ${\ Displaystyle \ lewo \ {a \ mid \ istnieje y \ forall k \ leqslant y \ istnieje x_ {1}, \ ldots, x_ {n}: p \ lewo (a, k, y, x_ {1}, \ ldots ,x_{n}\prawo)=0\prawo\}}$ gdzie $jest$ o współczynnikach całkowitych. Czysto formalnie, tylko ograniczony uniwersalny kwantyfikator stoi na przeszkodzie, aby była to definicja diofantyczna. Używając niekonstruktywnego, ale łatwego dowodu, wyprowadza jako następstwo tej normalnej postaci, że zbiór zbiorów diofantycznych nie jest domknięty pod wpływem dopełnienia, pokazując, że istnieje zbiór diofantyczny, którego dopełnieniem nie jest diofantyna. Ponieważ zbiory rekurencyjnie przeliczalne również nie są domknięte w wyniku dopełnienia, przypuszcza, że ​​​​te dwie klasy są identyczne.
1950	Julia Robinson , nieświadoma pracy Davisa, bada związek funkcji wykładniczej z problemem i próbuje udowodnić, że EXP, zbiór trojaczków, dla których ${\ Displaystyle (a, b, c)}$${\ Displaystyle a = b ^ {c}}$ jest diofantyna. $sukcesu$ Istnieje zestaw par diofantycznych ${\ Displaystyle (a, b)}$ takie, że ${\ Displaystyle (a, b) \ in D \ Strzałka w prawo b <a ^ {a}}$ i dla każdego dodatniego ${\ Displaystyle k,}$ istnieje ${\ Displaystyle (a, b) \ in D}$ takie, że ${\ displaystyle b> a ^ {k}.}$ , stawia następującą hipotezę (później nazwaną JR): Korzystając z właściwości równania Pella, udowadnia, że ​​JR implikuje, że EXP to diofantyna, jak również współczynniki dwumianowe, silnia i liczby pierwsze.
1959	Pracując razem, Davis i Putnam badają wykładnicze zbiory diofantyczne : zbiory definiowalne za pomocą równań diofantycznych, w których niektóre wykładniki mogą być niewiadome. Używając postaci normalnej Davisa wraz z metodami Robinsona i przyjmując nieudowodnione wówczas przypuszczenie, że istnieją dowolnie długie ciągi arytmetyczne składające się z liczb pierwszych , dowodzą, że każdy zbiór rekurencyjnie przeliczalny jest wykładniczym diofantą. Jako wniosek dowodzą również, że JR implikuje, że każdy rekurencyjnie przeliczalny zbiór jest diofantyczny, co z kolei implikuje, że dziesiąty problem Hilberta jest nierozwiązywalny.
1960	Robinson upraszcza dowód wyniku warunkowego dla wykładniczych zbiorów diofantycznych i uniezależnia go od przypuszczenia o liczbach pierwszych, a tym samym twierdzenia formalnego. To sprawia, że ​​hipoteza JR jest wystarczającym warunkiem nierozwiązywalności dziesiątego problemu Hilberta. Jednak wielu wątpi, że JR jest prawdziwy.
1961–1969	W tym okresie Davis i Putnam znajdują różne twierdzenia, które implikują JR, a Robinson, wykazując wcześniej, że JR implikuje, że zbiór liczb pierwszych jest zbiorem diofantycznym, dowodzi, że jest to warunek wtedy i tylko wtedy, gdy . Yuri Matiyasevich publikuje pewne redukcje dziesiątego problemu Hilberta.
1970	Opierając się na niedawno opublikowanej pracy Nikołaja Worobiewa o liczbach Fibonacciego, Matiyasewicz udowadnia, że ​​zbiór ${\ Displaystyle P = \ {(a, b) | a> 0, b = F_ {2a} \},}$ gdzie ${\ displaystyle F_ {n}}$ jest n- ta liczba Fibonacciego , jest diofantyną i wykazuje wzrost wykładniczy. Potwierdza to hipotezę JR, która przez 20 lat była wówczas kwestią otwartą. Połączenie JR z twierdzeniem, że każdy zbiór rekurencyjnie przeliczalny jest diofantyczną wykładniczą, dowodzi, że zbiory rekurencyjnie przeliczalne są diofantyczne. To sprawia, że ​​dziesiąty problem Hilberta jest nierozwiązywalny.

Aplikacje

Twierdzenie Matiyasewicza/MRDP łączy dwa pojęcia – jedno z teorii obliczalności, drugie z teorii liczb – i ma pewne zaskakujące konsekwencje. Być może najbardziej zaskakujące jest istnienie uniwersalnego równania diofantycznego:

Istnieje wielomian taki, że przy danym dowolnym zbiorze diofantycznym $Displaystyle p (a, n$$displaystyle S}$$k$

${\ Displaystyle S = \ {\, a \ mid \ istnieje x_ {1}, \ ldots, x_ {k} [p (a, n_ {0}, x_ {1}, \ ldots, x_ {k}) = 0]\,\}.}$

istnieje taka liczba $[$ że

Jest to prawdą po prostu dlatego, że zbiory diofantyczne, będąc równymi zbiorom rekurencyjnie przeliczalnym, są również równe maszynom Turinga . Dobrze znaną właściwością maszyn Turinga jest to, że istnieją uniwersalne maszyny Turinga, zdolne do wykonania dowolnego algorytmu.

Hilary Putnam zwrócił uwagę, że dla każdego zestawu diofantycznego $dodatnich$ całkowitych istnieje wielomian

${\ Displaystyle q (x_ {0}, x_ {1}, \ ldots, x_ {n})}$

takie, że $składa się dokładnie z liczb$ spośród wartości przyjętych przez ${\ displaystyle q}$ jako zmienne

${\ Displaystyle x_ {0}, x_ {1}, \ ldots, x_ {n}}$

rozstęp po wszystkich liczbach naturalnych. Można to zobaczyć w następujący sposób: Jeśli

${\ Displaystyle p (a, y_ {1}, \ ldots, y_ {n}) = 0}$

$,$ definicję to wystarczy ustawić

${\ Displaystyle q (x_ {0}, x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) = x_ {0} [1-p (x_ {0}, x_ {1}, \ ldots, x_ {n} )^{2}].}$

Na przykład istnieje wielomian, dla którego dodatnią częścią jego zakresu są dokładnie liczby pierwsze. (Z drugiej strony żaden wielomian nie może przyjmować tylko wartości pierwszych). To samo dotyczy innych rekurencyjnie przeliczalnych zestawów liczb naturalnych: silni, współczynników dwumianowych, liczb Fibonacciego itp.

$zdaniami$ co logicy nazywają , czasami nazywanymi także zdaniami typu . Są one podobne do hipotezy Goldbacha , stwierdzającej, że wszystkie liczby naturalne posiadają pewną właściwość, którą można sprawdzić algorytmicznie dla każdej konkretnej liczby. Z twierdzenia Matiyasewicza/MRDP wynika, że ​​każde takie twierdzenie jest równoważne ze stwierdzeniem stwierdzającym, że jakieś konkretne równanie diofantyczne nie ma rozwiązań w liczbach naturalnych. Wiele ważnych i znanych problemów ma tę formę: w szczególności Ostatnie twierdzenie Fermata , hipoteza Riemanna i twierdzenie o czterech kolorach . Ponadto twierdzenie, że określone $,$ formalne takie jak arytmetyka Peano czy ZFC , są spójne, można wyrazić jako . Chodzi o to, aby podążać za Kurtem Gödelem w kodowaniu dowodów za pomocą liczb naturalnych w taki sposób, aby właściwość bycia liczbą reprezentującą dowód była algorytmicznie sprawdzalna.

$Zdania$ mają tę szczególną właściwość, że jeśli są fałszywe, fakt ten można udowodnić w dowolnym zwykłym systemie Fałsz bowiem sprowadza się do istnienia kontrprzykładu, który daje się zweryfikować za pomocą prostej arytmetyki. Więc jeśli zdanie jest takie, że ani ono, ani jego zaprzeczenie nie jest możliwe do udowodnienia w jednym z tych systemów, to zdanie musi $prawdziwe$

Szczególnie uderzająca postać twierdzenia Gödla o niezupełności jest również konsekwencją twierdzenia Matiyasewicza/MRDP:

Pozwalać

${\ Displaystyle p (a, x_ {1}, \ ldots, x_ {k}) = 0}$

podać diofantyczną definicję zbioru nieobliczalnego. Niech $displaystyle$ , który wyprowadza sekwencję liczb naturalnych taką, że odpowiednie równanie $A}$

${\ Displaystyle p (n, x_ {1}, \ ldots, x_ {k}) = 0}$

nie ma rozwiązań w liczbach naturalnych. Następnie istnieje liczba $n_ {0} }$ która nie jest wyprowadzana przez, ${\ displaystyle$ gdy w rzeczywistości równanie jest n

${\ Displaystyle p (n_ {0}, x_ {1}, \ ldots, x_ {k}) = 0}$

nie ma rozwiązań w liczbach naturalnych.

Aby zobaczyć, że twierdzenie jest prawdziwe, wystarczy zauważyć, że gdyby nie było takiej liczby $n_ {0}} jednocześnie$ można by algorytmicznie przetestować przynależność liczby ${\ displaystyle$ tego nieobliczalnego zbioru przez n $uruchamiając$ algorytm, aby zobaczyć, czy $wyprowadzany,$ jednocześnie sprawdzając wszystkie możliwe ${\ displaystyle A}$ naturalnych szukając rozwiązania równania ZA

${\ Displaystyle p (n, x_ {1}, \ ldots, x_ {k}) = 0}$

i możemy powiązać algorytm $za$ dowolnym zwykłym systemem formalnym, takim jak arytmetyka Peano lub ZFC , pozwalając mu systematycznie generować konsekwencje aksjomatów, a następnie generować liczbę $zdanie$ z formularz

${\ Displaystyle \ neg \ istnieje x_ {1}, \ ldots, x_ {k} [p (n, x_ { 1},\ldkropki,x_{k})=0]}$

jest wygenerowany. Następnie twierdzenie mówi nam, że albo fałszywe zdanie tej postaci jest udowodnione, albo prawdziwe pozostaje nieudowodnione w rozpatrywanym systemie.

Dalsze wyniki

stopniu zbioru diofantycznego możemy mówić jako o najmniejszym stopniu wielomianu w równaniu definiującym ten zbiór. Podobnie wymiar takiego zbioru możemy nazwać najmniejszą liczbą niewiadomych w równaniu definiującym. Ze względu na istnienie uniwersalnego równania diofantycznego jasne jest, że obie te wielkości mają bezwzględne górne granice i istnieje duże zainteresowanie określeniem tych granic.

Już w latach dwudziestych XX wieku Thoralf Skolem wykazał, że każde równanie diofantyczne jest równoważne równaniu stopnia 4 lub mniejszego. Jego sztuczka polegała na wprowadzaniu nowych niewiadomych za pomocą równań ustalających je jako równe kwadratowi niewiadomej lub iloczynowi dwóch niewiadomych. Powtórzenie tego procesu skutkuje układem równań drugiego stopnia; następnie równanie stopnia 4 otrzymuje się przez zsumowanie kwadratów. Tak więc każdy zestaw diofantyczny ma trywialnie stopień 4 lub mniejszy. Nie wiadomo, czy jest to wynik najlepszy z możliwych.

Julia Robinson i Yuri Matiyasevich wykazali, że każdy zbiór diofantyczny ma wymiar nie większy niż 13. Później Matiyasevich zaostrzył swoje metody, aby pokazać, że wystarczy 9 ​​niewiadomych. Chociaż może się okazać, że wynik ten nie jest najlepszy z możliwych, nie nastąpił żaden dalszy postęp. W szczególności nie ma algorytmu do testowania równań diofantycznych z 9 lub mniej niewiadomymi pod kątem rozwiązywalności w liczbach naturalnych. W przypadku rozwiązań wymiernych liczb całkowitych (jak pierwotnie postawił to Hilbert) sztuczka z 4 kwadratami pokazuje, że nie ma algorytmu dla równań z nie więcej niż 36 niewiadomymi. Ale Zhi Wei Słońce wykazał, że problem dla liczb całkowitych jest nierozwiązywalny nawet dla równań z nie więcej niż 11 niewiadomymi.

Martin Davis studiował algorytmiczne pytania dotyczące liczby rozwiązań równania diofantycznego. $A=\{0,1,2,3,\ldots ,\aleph _{0}\}$ Hilberta and let $C$ be a proper non-empty subset of $A$. Davis proved that there is no algorithm to test a given Diophantine equation to determine whether the number of its solutions is a member of the set ${\ Displaystyle C}$ . Tak więc nie ma algorytmu do określenia, czy liczba rozwiązań równania diofantycznego jest skończona, nieparzysta, doskonały kwadrat, liczba pierwsza itp.

Dowód twierdzenia MRDP został sformalizowany w Coq .

Rozszerzenia dziesiątego problemu Hilberta

Alexandra Shlapentokh (w środku) w 2003 roku

Chociaż Hilbert postawił problem dla wymiernych liczb całkowitych, równie dobrze można go zadać dla wielu pierścieni (w szczególności dla dowolnego pierścienia, którego liczba elementów jest policzalna ). Oczywistymi przykładami są pierścienie liczb całkowitych pól liczb algebraicznych oraz liczby wymierne .

Było dużo pracy nad dziesiątym problemem Hilberta dla pierścieni liczb całkowitych algebraicznych pól liczbowych. Opierając się na wcześniejszych pracach Jana Denefa i Leonarda Lipschitza oraz stosując teorię pola klas, Harold N. Shapiro i Alexandra Shlapentokh byli w stanie udowodnić:

Dziesiąty problem Hilberta jest nierozwiązywalny dla pierścienia liczb całkowitych dowolnego algebraicznego ciała liczbowego, którego grupa Galois nad liczbami wymiernymi jest abelowa .

Shlapentokh i Thanases Pheidas (niezależnie od siebie) uzyskali ten sam wynik dla algebraicznych pól liczbowych dopuszczających dokładnie jedną parę zespolonych osadzeń sprzężonych.

Problem dla pierścienia liczb całkowitych pól liczb algebraicznych innych niż te objęte powyższymi wynikami pozostaje otwarty. Podobnie, pomimo dużego zainteresowania, problem równań nad liczbami wymiernymi pozostaje otwarty. Barry Mazur przypuszczał, że dla dowolnej różnorodności wymiernych topologiczne domknięcie liczb rzeczywistych zbioru rozwiązań ma tylko skończenie wiele składników. To przypuszczenie implikuje, że liczby całkowite nie są diofantyczne nad liczbami wymiernymi, więc jeśli to przypuszczenie jest prawdziwe, negatywna odpowiedź na dziesiąty problem Hilberta wymagałaby innego podejścia niż to stosowane w przypadku innych pierścieni.

Notatki

• Hilberta, Dawida (1901). „Problem matematyczny”. Archiv der Mathematik und Physik . 3. seria (w języku niemieckim). 1 : 44-63, 213-247.
• Hilbert, David (lipiec 1902). „Problemy matematyczne” . Byk. Amer. Matematyka soc . 8 (10): 437–479. doi : 10.1090/S0002-9904-1902-00923-3 .
• Yuri V. Matiyasevich , Dziesiąty problem Hilberta , MIT Press, Cambridge, Massachusetts, 1993.
•    Davies, Martin ; Matiasewicz, Jurij ; Robinson, Julia (1976). „Dziesiąty problem Hilberta: równania diofantyczne: pozytywne aspekty rozwiązania negatywnego”. W Felix E. Browder (red.). Rozwój matematyczny wynikający z problemów Hilberta . Proceedings of Symposia in Pure Mathematics . Tom. XXVIII.2. Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne . s. 323–378. ISBN 0-8218-1428-1 . Zbl 0346.02026 . Przedruk w Dzieła zebrane Julii Robinson , Solomon Feferman , redaktor, s. 269–378, American Mathematical Society 1996.
• Martin Davis , „Dziesiąty problem Hilberta jest nierozwiązywalny”, American Mathematical Monthly , tom 80 (1973), s. 233–269; przedrukowany jako dodatek w Martin Davis, Computability and Unsolvability , Dover przedruk 1982.
• Davies, Martin ; Hersz, Ruben (1973). „Dziesiąty problem Hilberta”. Naukowy Amerykanin . 229 (5): 84–91. doi : 10.1038/scientificamerican1173-84 .
• Jan Denef , Leonard Lipschitz, Thanases Pheidas, Jan van Geel, redaktorzy, „Dziesiąty problem Hilberta: warsztaty na Uniwersytecie w Gandawie, Belgia, 2–5 listopada 1999”. Współczesna matematyka tom. 270(2000), Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne.
•   M. Ram Murty i Brandon Fodden: „Dziesiąty problem Hilberta: wprowadzenie do logiki, teorii liczb i obliczalności”, American Mathematical Society, ISBN 978-1-4704-4399-3 (czerwiec 2019).

Dalsza lektura

• Problem z algebrą Tarskiego w szkole średniej
•    Szlapentok, Aleksandra (2007). Dziesiąty problem Hilberta. Klasy diofantyczne i rozszerzenia pól globalnych . Nowe monografie matematyczne. Tom. 7. Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-83360-8 . Zbl 1196.11166 .

Linki zewnętrzne

• Dziesiąty problem Hilberta: historia odkryć matematycznych
• Dziesiąta strona problemu Hilberta!
• Zhi Wei Sun: O dziesiątym problemie Hilberta i tematach pokrewnych
• na YouTubie