Dwudziesty trzeci problem Hilberta

Dwudziesty trzeci problem Hilberta jest ostatnim z problemów Hilberta przedstawionych na słynnej liście sporządzonej w 1900 roku przez Davida Hilberta . W przeciwieństwie do pozostałych 22 problemów Hilberta, jego 23. jest nie tyle konkretnym „problemem”, co zachętą do dalszego rozwoju rachunku wariacyjnego . Jego stwierdzenie problemu jest podsumowaniem stanu techniki (w 1900 r.) 19 wiek.

Oryginalne oświadczenie

Opis problemu zaczyna się od następującego akapitu:

Do tej pory generalnie wymieniałem problemy jak najbardziej określone i szczególne... Chciałbym jednak zakończyć problemem ogólnym, a mianowicie wskazaniem gałęzi matematyki wielokrotnie przywoływanej w tym wykładzie - która mimo znaczny postęp, jakiego dokonał ostatnio Weierstrass, nie spotyka się z powszechnym uznaniem, które, moim zdaniem, jest mu należne — mam na myśli rachunek wariacyjny.

Rachunek wariacyjny

Główny artykuł: Rachunek wariacyjny

Rachunek wariacyjny to dziedzina analizy matematycznej zajmująca się maksymalizowaniem lub minimalizowaniem funkcjonałów , które są odwzorowaniami zbioru funkcji na liczby rzeczywiste . Funkcjonały są często wyrażane jako całki oznaczone zawierające funkcje i ich pochodne . Interesują nas ekstremalne , które powodują, że funkcjonał osiąga wartość maksymalną lub minimalną – lub funkcje stacjonarne – takie, w których szybkość zmian funkcjonału wynosi zero.

Postęp

Po przedstawieniu problemu David Hilbert , Emmy Noether , Leonida Tonelli , Henri Lebesgue i Jacques Hadamard , między innymi, wnieśli znaczący wkład w rachunek wariacyjny. Marston Morse zastosował rachunek wariacyjny w tak zwanej teorii Morse'a . Lev Pontryagin , Ralph Rockafellar i FH Clarke opracowali nowe narzędzia matematyczne do rachunku wariacyjnego w teorii sterowania optymalnego . Programowanie dynamiczne Richarda Bellmana jest alternatywą dla rachunku wariacyjnego.

Dalsza lektura

•   Pieczątka, Guido (1976). „Dwudziesty trzeci problem Hilberta: rozszerzenie rachunku wariacyjnego”. W Felix E. Browder (red.). Rozwój matematyczny wynikający z problemów Hilberta . Proceedings of Symposia in Pure Mathematics . Tom. XXVIII.2. Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne . s. 611–628. ISBN 0-8218-1428-1 .