Dwudziesty problem Hilberta

Dwudziesty problem Hilberta jest jednym z 23 problemów Hilberta przedstawionych na słynnej liście sporządzonej w 1900 roku przez Davida Hilberta . Pyta, czy wszystkie problemy z wartościami brzegowymi można rozwiązać (to znaczy, czy problemy wariacyjne z pewnymi warunkami brzegowymi mają rozwiązania).

Wstęp

Hilbert zauważył, że istniały metody rozwiązywania równań różniczkowych cząstkowych, w których wartości funkcji były podane na granicy, ale problem dotyczył metod rozwiązywania równań różniczkowych cząstkowych z bardziej skomplikowanymi warunkami na granicy (np. z udziałem pochodnych funkcji), lub do rozwiązywania problemów z rachunku różniczkowego w więcej niż 1 wymiarze (na przykład problemy z minimalną powierzchnią lub problemy z minimalną krzywizną)

Oświadczenie o problemie

Oryginalne stwierdzenie problemu w całości brzmi następująco:

Ważny problem ściśle związany z powyższym [odnosząc się do dziewiętnastego problemu Hilberta ] jest pytaniem o istnienie rozwiązań równań różniczkowych cząstkowych, gdy określone są wartości na granicy obszaru. Problem ten jest rozwiązywany głównie przez bystre metody HA Schwarza, C. Neumanna i Poincaré dla równania różniczkowego potencjału. Wydaje się jednak, że metody te na ogół nie nadają się do bezpośredniego rozszerzenia na przypadek, gdy wzdłuż granicy są określone albo współczynniki różniczkowe, albo jakiekolwiek relacje między nimi a wartościami funkcji. Nie można ich również rozszerzyć bezpośrednio na przypadek, w którym zapytanie nie dotyczy powierzchni potencjalnych, ale powiedzmy powierzchni o najmniejszej powierzchni lub powierzchni o stałej dodatniej krzywiźnie gaussowskiej, które mają przechodzić przez określoną krzywą skręconą lub rozciągać się na zadanym powierzchnia pierścienia. Jestem przekonany, że będzie można udowodnić te twierdzenia o istnieniu za pomocą ogólnej zasady, której naturę wskazuje Zasada Dirichleta . Ta ogólna zasada być może pozwoli nam wtedy podejść do pytania: Czy każdy problem z regularną wariacją nie jest rozwiązaniem, jeśli spełnione są pewne założenia dotyczące danych warunków brzegowych (powiedzmy, że funkcje, o które chodzi w tych warunkach brzegowych, są ciągłe i mają w odcinkach jeden lub więcej pochodnych), a także pod warunkiem, że w razie potrzeby pojęcie rozwiązania zostanie odpowiednio rozszerzone?

Problemy z wartościami granicznymi

W dziedzinie równań różniczkowych problem wartości brzegowych to równanie różniczkowe wraz z zestawem dodatkowych ograniczeń, zwanych warunkami brzegowymi . Rozwiązaniem problemu wartości brzegowych jest rozwiązanie równania różniczkowego, które również spełnia warunki brzegowe.

Aby był użyteczny w zastosowaniach, problem wartości brzegowych powinien być dobrze postawiony . Oznacza to, że biorąc pod uwagę dane wejściowe do problemu, istnieje unikalne rozwiązanie, które w sposób ciągły zależy od danych wejściowych. Wiele prac teoretycznych w dziedzinie równań różniczkowych cząstkowych poświęcono udowodnieniu, że problemy z wartościami brzegowymi wynikające z zastosowań naukowych i inżynierskich są w rzeczywistości dobrze postawione.

Krzywicki, Andrzej (1997), „Dwudziesty problem Hilberta”, Problemy Hilberta (Mi\polhk edzyzdroje, 1993) (po polsku), polsk. Akad. Nauk, Warszawa, s. 237–245, MR 1632452 .
Serrin, James (1976), „Rozwiązywanie problemów z wartościami granicznymi”, Rozwój matematyczny wynikający z problemów Hilberta (Northern Illinois Univ., De Kalb, Ill., maj 1974) , Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, tom. XXVIII, Providence, RI: Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne, s. 507–524, MR 0427784 .
Sigalov, AG (1969), „O dziewiętnastym i dwudziestym problemie Hilberta”, Problemy Hilberta (po rosyjsku), Moskwa: Izdat. „Nauka”, s. 204–215, MR 0251611 .