Piąty problem Hilberta

Piąty problem Hilberta jest piątym problemem matematycznym z listy problemów opublikowanej w 1900 roku przez matematyka Davida Hilberta i dotyczy charakterystyki grup Liego .

Teoria grup Liego opisuje ciągłą symetrię w matematyce; jego znaczenie tam iw fizyce teoretycznej (na przykład w teorii kwarków ) stale rosło w XX wieku. Mówiąc z grubsza, teoria grup Liego jest wspólną płaszczyzną teorii grup i teorii rozmaitości topologicznych . Pytanie zadane przez Hilberta było ostrym pytaniem o precyzację: czy jest jakaś różnica, jeśli nałożone zostanie ograniczenie do gładkich rozmaitości ?

Oczekiwana odpowiedź była negatywna ( grupy klasyczne , najbardziej centralne przykłady teorii grup Liego, to rozmaitości gładkie). Zostało to ostatecznie potwierdzone na początku lat pięćdziesiątych. Ponieważ dokładne pojęcie „rozmaitości” nie było dostępne dla Hilberta, jest miejsce na debatę na temat sformułowania problemu we współczesnym języku matematycznym.

Sformułowanie problemu

Współczesne sformułowanie problemu (w jego najprostszej interpretacji) jest następujące:

Niech będzie grupą topologiczną , która jest również rozmaitością topologiczną $z$ to znaczy lokalnie homeomorficzną przestrzenią euklidesową ). Czy wynika z tego, że musi być $Liego$ z grupą ?

Równoważne sformułowanie tego problemu, bliższe sformułowaniu Hilberta, pod względem praw składu, wygląda następująco:

Niech $razy$ przestrzeni euklidesowej, takimi że istnieje funkcja ciągła $V \ do U}$ aksjomat grupy asocjatywności . _ Czy wynika z tego, że $musi$ być gładki aż do ciągłej reparametryzacji)?

W tej postaci problem rozwiązali Montgomery-Zippin i Gleason.

Silniejsza interpretacja (postrzeganie $grupy$ , a nie grupy abstrakcyjnej) skutkuje hipotezą Hilberta-Smitha o działaniach grupowych na rozmaitościach, która w pełnej ogólności jest nadal otwarta . Znany jest klasycznie z działań na rozmaitościach dwuwymiarowych, a ostatnio został rozwiązany dla trzech wymiarów przez Johna Pardona .

Rozwiązanie

Pierwszym ważnym rezultatem był John von Neumann w 1933 roku dla grup zwartych . Przypadek lokalnie zwartej grupy abelowej został rozwiązany w 1934 roku przez Lwa Pontriagina . Ostateczne rozwiązanie, przynajmniej w powyższej interpretacji tego, co Hilbert miał na myśli, przyszło wraz z pracą Andrew Gleasona , Deane'a Montgomery'ego i Leo Zippina w latach pięćdziesiątych.

W 1953 roku Hidehiko Yamabe uzyskał dalsze wyniki dotyczące grup topologicznych, które mogą nie być rozmaitościami:

spójna grupa lokalnie zwarta jest rzutową granicą ciągu grup Liego. Co więcej, jest to grupa Liego, jeśli nie ma małych podgrup.

Wynika z tego, że każda grupa lokalnie zwarta zawiera podgrupę otwartą, która jest rzutową granicą grup Liego, zgodnie z twierdzeniem van Dantziga (to ostatnie stwierdzenie nosi nazwę Twierdzenia Gleasona-Yamabe w Tao (2014 , Twierdzenie 1.1.17)).

Brak małych podgrup

Ważnym warunkiem w teorii jest brak małych podgrup . Mówimy, że grupa topologiczna G lub częściowa część grupy, taka jak F powyżej, nie ma małych podgrup , jeśli istnieje sąsiedztwo N z e nie zawierające żadnej podgrupy większej niż { e }. Na przykład grupa kołowa spełnia warunek, podczas gdy p -adyczne liczby całkowite Z _p jako grupa addytywna nie, ponieważ N będzie zawierać podgrupy:   p ^k Z _p , dla wszystkich dużych liczb całkowitych k . Daje to wyobrażenie o trudności problemu. Zp _W przypadku hipotezy Hilberta-Smitha chodzi o znaną redukcję do tego, czy może wiernie działać na zamkniętej rozmaitości . Gleason, Montgomery i Zippin scharakteryzowali grupy Liego wśród grup lokalnie zwartych , jako te, które nie mają małych podgrup.

Nieskończone wymiary

Badacze rozważali również piąty problem Hilberta bez zakładania skończonej wymiarowości . Był to temat pracy doktorskiej Pera Enflo ; jego praca jest omówiona w Benyamini & Lindenstrauss (2000 , rozdział 17).

Zobacz też

• Kompletnie oderwana grupa

Notatki

•    Morikuni, Goto (1961). „Hidehiko Yamabe (1923–1960)” . Dziennik matematyczny z Osaki . 13 ust. 1: i–ii. MR 0126362 . Zbl 0095.00505 .
•     Rosinger, Elemér E. (1998). Działania parametrycznej grupy kłamstw w sprawie globalnych uogólnionych rozwiązań niekłamliwego PDE. W tym rozwiązanie piątego problemu Hilberta . Matematyka i jej zastosowania . Tom. 452. Doerdrecht – Boston – Londyn: Kluwer Academic Publishers . s. XVII + 234. ISBN 0-7923-5232-7 . MR 1658516 . Zbl 0934.35003 .
•    Tao, Terence (2014). Piąty problem Hilberta i tematy pokrewne . Studia podyplomowe z matematyki. Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne. s. XIII + 338. ISBN 978-1-4704-1564-8 . Zbl 1298.22001 .
• Montgomery, dziekan; Zippin, Lew (1955). Topologiczne grupy transformacji . Interscience Tracts w czystej i stosowanej matematyce . Wydawcy Interscience. P. 281.
• Yamabe, Hidehiko, O łukowato połączonej podgrupie grupy Lie , Osaka Mathematical Journal v.2, no. 1 marca (1950), 13–14.
• Irving Kaplansky , Algebry kłamstw i grupy zwarte lokalnie , Chicago Lectures in Mathematics, 1971.
• Benyamini, Yoav; Lindenstrauss, Joram (2000). Geometryczna nieliniowa analiza funkcjonalna . Publikacje kolokwium. Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne.
• Enflo, Per . (1970) Badania nad piątym problemem Hilberta dla grup niezwartych lokalnie . (Praca doktorska pięciu artykułów Enflo z lat 1969-1970)
  • Enflo, Per; 1969a: Grupy topologiczne, w których mnożenie po jednej stronie jest różniczkowalne lub liniowe. Matematyka Skand., 24, 195–197.
  • Za Enflo (1969). „O nieistnieniu jednolitych homeomorfizmów między przestrzeniami _Lp ” . Arka Mat. 8 (2): 103–105. doi : 10.1007/BF02589549 .
  • Enflo, Per; 1969b: O problemie Smirnowa. Arka Mat. 8 , 107–109.
  •   Enflo, P. (1970). „Jednolite struktury i pierwiastki kwadratowe w grupach topologicznych” . Izrael Journal of Mathematics . 8 (3): 230–252. doi : 10.1007/BF02771560 . S2CID 189773170 .
  •   Enflo, P. (1970). „Jednolite struktury i pierwiastki kwadratowe w grupach topologicznych” . Izrael Journal of Mathematics . 8 (3): 253–272. doi : 10.1007/BF02771561 . S2CID 121193430 .