Dwunasty problem Hilberta
Es handelt sich um meinen liebsten Jugendtraum, nämlich um den Nachweis, dass die Abel'schen Gleichungen mit Quadratwurzeln racjonaler Zahlen durch die Transformations-Gleichungen elliptischer Functionen mit singularen Moduln grade so erschöpft werden, wie die ganzzahligen Abel'schen Gleichungen durch die Kre isteilungsgleichungen.
Kronecker w liście do Dedekinda z 1880 r., reprodukowanym w tomie V jego dzieł zebranych, strona 455
Kronecker's Jugendtraum lub dwunasty problem Hilberta , z 23 matematycznych problemów Hilberta , jest rozszerzeniem twierdzenia Kroneckera-Webera o abelowych rozszerzeniach liczb wymiernych na dowolne pole liczbowe . Oznacza to, że prosi o analogi pierwiastków jedności jako liczby zespolone, które są szczególnymi wartościami funkcji wykładniczej ; wymaganiem jest, aby takie liczby generowały całą rodzinę dalszych pól liczbowych, które są analogami pola cyklotomiczne i ich podpola.
Klasyczna teoria mnożenia zespolonego , obecnie często znana jako Kronecker Jugendtraum , robi to w przypadku dowolnego wyimaginowanego pola kwadratowego , używając funkcji modułowych i funkcji eliptycznych wybranych z określoną siatką okresu związaną z danym polem. Goro Shimura rozszerzył to na pola CM . W szczególnym przypadku pól całkowicie rzeczywistych rozwiązanie podali Dasgupta i Kakde. Zapewnia to skuteczną metodę konstruowania maksymalnego abelowego rozszerzenia dowolnego całkowicie rzeczywistego pola. Metoda opiera się na integracji p-adycznej, a rozwiązanie, które zapewnia dla całkowicie rzeczywistych pól, ma inny charakter niż to, co Hilbert miał na myśli w swoim pierwotnym sformułowaniu. Rozwiązanie w bardziej szczególnym przypadku całkowicie rzeczywistych pól kwadratowych, również oparte na metodach p-adycznych, podali Darmon, Pozzi i Vonk.
Ogólny przypadek 12. problemu Hilberta jest nadal otwarty od 2022 r.
Leopold Kronecker opisał skomplikowaną kwestię mnożenia jako Liebster Jugendtraum , czyli „najdroższe marzenie młodości”.
opis problemu
Podstawowym problemem algebraicznej teorii liczb jest opisanie pól liczb algebraicznych . Praca Galois wyjaśniła, że rozszerzenia pól są kontrolowane przez pewne grupy , grupy Galois . Najprostszą sytuacją, która jest już na granicy tego, co dobrze rozumiane, jest sytuacja, gdy dana grupa jest abelowa . Wszystkie rozszerzenia kwadratowe, otrzymane przez połączenie pierwiastków wielomianu kwadratowego, są abelowe, a ich badanie rozpoczął Gauss . Inny rodzaj abelowego rozszerzenia pola Q liczb wymiernych jest dane przez dołączenie n -tych pierwiastków jedności, co daje pola cyklotomiczne . Już Gauss wykazał, że w rzeczywistości każde pole kwadratowe zawiera się w większym polu cyklotomicznym. Twierdzenie Kroneckera -Webera pokazuje, że każde skończone abelowe rozszerzenie Q jest zawarte w polu cyklotomicznym. Pytanie Kroneckera (i Hilberta) dotyczy sytuacji bardziej ogólnego algebraicznego pola liczbowego K : jakie są liczby algebraiczne niezbędne do skonstruowania wszystkich abelowych rozszerzeń K ? Pełna odpowiedź na to pytanie została w pełni wypracowana tylko wtedy, gdy K jest urojonym polem kwadratowym lub jego uogólnieniem, polem CM .
Oryginalne stwierdzenie Hilberta dotyczące jego 12. problemu jest raczej mylące: zdaje się sugerować, że abelowe rozszerzenia urojonych pól kwadratowych są generowane przez specjalne wartości eliptycznych funkcji modułowych, co nie jest poprawne. (Trudno powiedzieć dokładnie, co Hilbert mówił, jednym problemem było to, że mógł używać terminu „funkcja eliptyczna” na oznaczenie zarówno funkcji eliptycznej ℘, jak i eliptycznej funkcji modularnej j .) Najpierw konieczne jest również użycie pierwiastków jedności, chociaż Hilbert mógł pośrednio chcieć je uwzględnić. Mówiąc poważniej, podczas gdy wartości eliptycznych funkcji modułowych generują pole klasy Hilberta , dla bardziej ogólnych rozszerzeń abelowych należy również użyć wartości funkcji eliptycznych. Na przykład rozszerzenie abelowe nie jest generowane przez pojedyncze moduły i pierwiastki jedności.
Jednym ze szczególnie atrakcyjnych sposobów sformułowania twierdzenia Kroneckera-Webera jest stwierdzenie, że maksymalne abelowe rozszerzenie Q można uzyskać przez dołączenie specjalnych wartości exp (2 π i / n ) funkcji wykładniczej . Podobnie teoria mnożenia zespolonego pokazuje, że maksymalne abelowe rozszerzenie Q ( τ ), gdzie τ jest urojoną irracjonalnością kwadratową, można uzyskać przez połączenie specjalnych wartości ℘ ( τ , z ) i j ( τ ) funkcji modułowych j i funkcji eliptycznych ℘ oraz pierwiastków jedności, gdzie τ jest w urojonym polu kwadratowym, a z reprezentuje punkt torsyjny na odpowiedniej krzywej eliptycznej. Jedna z interpretacji dwunastego problemu Hilberta wymaga podania odpowiedniego analogu funkcji wykładniczych, eliptycznych lub modularnych, których wartości specjalne generowałyby maksymalne rozszerzenie abelowe Kab ogólnego ciała liczbowego K . W tej formie pozostaje nierozwiązany. Opis pola K ab uzyskano w teorii pola klas , opracowanej przez samego Hilberta , Emila Artina i innych w pierwszej połowie XX wieku. Jednak konstrukcja Kab w teorii pola klas obejmuje najpierw konstruowanie większych rozszerzeń nieabelowych przy użyciu teorii Kummera , a następnie ograniczenie do rozszerzeń abelowych, więc tak naprawdę nie rozwiązuje problemu Hilberta, który wymaga bardziej bezpośredniej konstrukcji rozszerzeń abelowych .
Nowoczesne rozwiązania
Z pewnością przyczyniły się do tego wydarzenia, które miały miejsce od około 1960 roku. Wcześniej Hecke ( 1912 ) w swojej rozprawie używał form modułowych Hilberta do badania abelowych rozszerzeń rzeczywistych pól kwadratowych . Złożone rozmnażanie odmian abelowych było obszarem, który otworzyły prace Shimury i Taniyamy . Prowadzi to ogólnie do abelowych rozszerzeń pól CM . Kwestia, jakie rozszerzenia można znaleźć, dotyczy modułów Tate takich odmian, jak Reprezentacje Galois . Ponieważ jest to najbardziej przystępny przypadek kohomologii ℓ-adycznej , reprezentacje te zostały dogłębnie zbadane.
Robert Langlands argumentował w 1973 r., Że współczesna wersja Jugendtraum powinna zajmować się funkcjami zeta Hasse-Weila odmian Shimura . Chociaż przewidział wspaniały program , który posunąłby ten temat znacznie dalej, ponad trzydzieści lat później pozostają poważne wątpliwości co do jego znaczenia dla pytania, które zadał Hilbert.
Osobnym rozwinięciem była hipoteza Starka ( Harold Stark ), która w przeciwieństwie do tego odnosiła się bezpośrednio do kwestii znajdowania interesujących, określonych jednostek w polach liczbowych. Wiązało się to z dużym rozwojem hipotez dla funkcji L , a także jest w stanie dać konkretne, numeryczne wyniki. Rozwiązanie p-adyczne dla całkowicie rzeczywistych pól zostało ogłoszone przez Dasgupta i Kakde, a dla szczególnego przypadku rzeczywistych pól kwadratowych przez Darmona, Pozziego i Vonka w marcu 2021 r.
Notatki
- Langlands, RP (1976). „Niektóre współczesne problemy mające swoje korzenie w Jugendtraum”. W Browder, Felix E. (red.). Rozwój matematyczny wynikający z problemów Hilberta (PDF) . proc. Sympozjum Czysta matematyka. Tom. 28. Providence, RI: Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne . s. 401–418. ISBN 0-8218-1428-1 . Zbl 0345.14006 .
- Schappacher, Norbert (1998). „O historii dwunastego problemu Hilberta: komedia pomyłek”. Matériaux pour l'histoire des mathématiques au XX e siècle (Nicea, 1996) . Semin. Kongr. Tom. 3. Paryż: Société Mathématique de France . s. 243–273. ISBN 978-2-85629-065-1 . MR 1640262 . Zbl 1044.01530 .
- Vlǎduţ, SG (1991). Jugendtraum i funkcje modularne Kroneckera . Studia nad rozwojem współczesnej matematyki . Tom. 2. Nowy Jork: Gordon and Breach Science Publishers. ISBN 2-88124-754-7 . Zbl 0731.11001 .