Trzeci problem Hilberta

Dwa wielościany o równej objętości, pocięte na dwie części, które można ponownie złożyć w dowolny wielościan

Trzecia z listy problemów matematycznych Hilberta , przedstawiona w 1900 roku, została rozwiązana jako pierwsza. Problem jest związany z następującym pytaniem: czy mając dowolne dwa wielościany o równej objętości , zawsze można podzielić pierwszy na skończenie wiele wielościennych kawałków, które można ponownie złożyć, aby uzyskać drugi? Opierając się na wcześniejszych pismach Carla Friedricha Gaussa , David Hilbert przypuszczał, że nie zawsze jest to możliwe. Zostało to potwierdzone w ciągu roku przez jego ucznia Maxa Dehna , który udowodnił, że generalnie odpowiedź brzmi „nie”, przedstawiając kontrprzykład.

Odpowiedź na analogiczne pytanie dotyczące wielokątów w 2 wymiarach brzmi „tak” i była znana od dawna; to jest twierdzenie Wallace-Bolyai-Gerwien .

Nieznany Hilbertowi i Dehnowi, trzeci problem Hilberta został również samodzielnie zaproponowany przez Władysława Kretkowskiego na konkurs matematyczny w 1882 roku przez Akademię Umiejętności w Krakowie i został rozwiązany przez Ludwika Antoniego Birkenmajera inną metodą niż Dehn. Birkenmajer nie opublikował wyniku, a oryginalny rękopis zawierający jego rozwiązanie został odnaleziony po latach.

Historia i motywacja

Wzór na objętość piramidy ,

${\ Displaystyle {\ Frac {{\ tekst {pole podstawy}} \ razy {\ tekst {wysokość}}} {3}}}$

była znana Euklidesowi , ale wszystkie jej dowody obejmują jakąś formę procesu ograniczającego lub rachunku różniczkowego , zwłaszcza metodę wyczerpania lub, w bardziej nowoczesnej formie, zasadę Cavalieriego . Podobne wzory w geometrii płaskiej można udowodnić za pomocą bardziej elementarnych środków. Gauss żałował tej wady w dwóch swoich listach do Christiana Ludwiga Gerlinga , który udowodnił, że dwa symetryczne czworościany są jednakowo rozkładane .

Listy Gaussa były motywacją dla Hilberta: czy można udowodnić równość objętości za pomocą elementarnych metod „wytnij i sklej”? Bo jeśli nie, to elementarny dowód wyniku Euklidesa też jest niemożliwy.

Odpowiedź Dehna

Dowód Dehna to przypadek, w którym algebra abstrakcyjna jest używana do udowodnienia niemożliwości w geometrii . Inne przykłady to podwojenie sześcianu i podzielenie kąta na trzy części .

Dwa wielościany nazywane są przystającymi nożycami, jeśli pierwszy można podzielić na skończenie wiele wielościennych elementów, które można ponownie złożyć, aby uzyskać drugi. Dowolne dwa przystające wielościany nożycowe mają taką samą objętość. Hilbert pyta o rozmowę .

Dla każdego wielościanu $,$$definiuje$ , obecnie znaną jako Dehna z właściwością, że $}$$displaystyle$ jest cięty na wielościenne kawałki ${\ Displaystyle P_ {1}, P_ {2}, \ kropki P_ {n}}$ , a następnie

$${\ Displaystyle \ nazwa operatora {D} (P) = \ nazwa operatora {D} (P_ {1}) + \ nazwa operatora {D} (P_ {2}) + \ cdots + \ nazwa operatora {D} (P_ {n}) .}$$

W szczególności, jeśli dwa wielościany są przystające nożycowo, to mają ten sam niezmiennik Dehna. Następnie pokazuje, że każdy sześcian ma niezmiennik Dehna zero, podczas gdy każdy regularny czworościan ma niezerowy niezmiennik Dehna. Dlatego te dwa kształty nie mogą być przystające nożycowo.

Niezmiennik wielościanu jest definiowany na podstawie długości jego krawędzi i kątów między jego ścianami. Jeśli wielościan zostanie przecięty na dwie części, niektóre krawędzie zostaną przecięte na dwie części, a zatem odpowiednie wkłady w niezmienniki Dehna powinny być addytywne w długościach krawędzi. Podobnie, jeśli wielościan zostanie przecięty wzdłuż krawędzi, odpowiedni kąt zostanie przecięty na dwie części. Cięcie wielościanu zazwyczaj wprowadza również nowe krawędzie i kąty; ich składki muszą zostać anulowane. Kąty wprowadzone, gdy cięcie przechodzi przez ścianę, sumują się do , a kąty wprowadzone wokół krawędzi wnętrza wielościanu dodają się do ${\ displaystyle \ pi}$${\ Displaystyle 2 \ pi}$ . Dlatego niezmiennik Dehna jest zdefiniowany w taki sposób $,$ że całkowite wielokrotności kątów wkład netto równy zero.

$Displaystyle \ operatorname {D$ , definiując jako element iloczynu tensorowego liczb rzeczywistych ( reprezentujący R $} ( P)}$ długości krawędzi) i przestrzeni ilorazowej (reprezentującej kąty ze wszystkimi wymiernymi wielokrotnościami $}$$\ Displaystyle \ mathbb {R} / (\ mathbb {Q} \ pi )$ zastąpiony przez zero). W niektórych celach definicja ta może być wykonana przy użyciu iloczynu tensorowego modułów nad (lub równoważnie grup abelowych ), podczas gdy inne aspekty tego tematu wykorzystują strukturę przestrzeni wektorowej na niezmiennikach Z ${\ displaystyle \ mathbb {Z}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} / (\ mathbb {Q} \ pi)}$ otrzymane przez rozważenie dwóch czynników i $)$ jako przestrzenie wektorowe ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ i biorąc iloczyn tensorowy przestrzeni wektorowych przez ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ . Ten wybór struktury w definicji nie ma wpływu na to, czy dwa niezmienniki Dehna, zdefiniowane w dowolny sposób, są równe czy nierówne.

Dla dowolnej krawędzi $niech$ będzie jego $mi ) {\ Displaystyle \$ i niech $($$}$$\ Displaystyle P$ oznaczają dwuścienny kąt dwóch ścian $,$ które spotykają się $radianach$ w i rozważany modulo wymiernymi wielokrotnościami ${\ Displaystyle \ pi}$ . Niezmiennik Dehna jest wtedy zdefiniowany jako

$${\ Displaystyle \ nazwa operatora {D} (P) = \ suma _ {e} \ ell (e) \ czasami \ teta (e)}$$

$.$ suma jest przejmowana przez wszystkie $wielościanu$ Jest to wycena .

Dalsza informacja

W świetle powyższego twierdzenia Dehna, można by zapytać „które wielościany są przystające nożycowo”? Sydler (1965) wykazał, że dwa wielościany są przystające nożycowo wtedy i tylko wtedy, gdy mają taką samą objętość i ten sam niezmiennik Dehna. Børge Jessen później rozszerzył wyniki Sydlera na cztery wymiary. W 1990 roku Dupont i Sah przedstawili prostszy dowód wyniku Sydlera, reinterpretując go jako twierdzenie o homologii pewnych grup klasycznych .

można okresowo układać całą trójwymiarową przestrzeń, wynosi zero.

Nierozwiązany problem z matematyki :

Czy w geometrii sferycznej lub hiperbolicznej wielościany o tej samej objętości i niezmienniku Dehna muszą być przystające nożycowo?

(więcej nierozwiązanych problemów z matematyki)

Jessen postawił również pytanie, czy analogia wyników Jessena pozostała prawdziwa dla geometrii sferycznej i geometrii hiperbolicznej . W tych geometriach metoda Dehna nadal działa i pokazuje, że gdy dwa wielościany są przystające nożycowo, ich niezmienniki Dehna są równe. Jednak pozostaje otwartym problemem , czy pary wielościanów o tej samej objętości i tym samym niezmienniku Dehna w tych geometriach są zawsze przystające nożycowo.

Oryginalne pytanie

Pierwotne pytanie Hilberta było bardziej skomplikowane: biorąc pod uwagę dowolne dwa czworościany T ₁ i T ₂ o równym polu podstawy i równej wysokości (a zatem równej objętości), czy zawsze można znaleźć skończoną liczbę czworościanów, tak aby po sklejeniu tych czworościanów w pewnym stopniu do T ₁ , a także przyklejony do T ₂ , otrzymane wielościany są przystające nożycowo?

Niezmiennika Dehna można użyć do uzyskania negatywnej odpowiedzi również na to silniejsze pytanie.

Zobacz też

• Wzgórze czworościanu
• Onorato Nicoletti

Dalsza lektura

•   Benko, D. (2007). „Nowe podejście do trzeciego problemu Hilberta”. Amerykański miesięcznik matematyczny . 114 (8): 665–676. doi : 10.1080/00029890.2007.11920458 . S2CID 7213930 .
• Schwartz, bogaty (2010). „Wyjaśnienie twierdzenia Dehna – Sydlera” (PDF) . {{ cite journal }} : Cite journal wymaga |journal= ( pomoc )
• Koji, Shiga; Sunada Toshikazu (2005). Dar matematyczny, III: wzajemne oddziaływanie topologii, funkcji, geometrii i algebry . Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne.

Linki zewnętrzne

• Dowód twierdzenia Dehna we wszystkim2
• Weisstein, Eric W. „Niezmienny Dehna” . MathWorld .
• Niezmiennik Dehna we wszystkim2
• Hazewinkel, M. (2001) [1994], „niezmiennik Dehna” , Encyklopedia matematyki , EMS Press