Wycena (geometria)

W geometrii wycena jest funkcją skończenie addytywną na zbiorze dopuszczalnych podzbiorów ustalonego zbioru $z$ w półgrupie abelowej . Na przykład miara Lebesgue'a jest wyceną skończonych związków ciał wypukłych (czyli niepustych zwartych zbiorów wypukłych) przestrzeni euklidesowej ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}.}$ Inne przykłady wycen skończonych związków ciał wypukłych to pole powierzchni, średnia szerokość i charakterystyka Eulera .

W układzie geometrycznym na wartościowania często nakładane są warunki ciągłości (lub gładkości), ale istnieją również czysto dyskretne aspekty teorii. W rzeczywistości koncepcja wartościowania ma swoje korzenie w teorii rozbiorów polytopes , aw szczególności w trzecim problemie Hilberta , który rozwinął się w bogatą teorię, w dużym stopniu opartą na zaawansowanych narzędziach z algebry abstrakcyjnej.

Definicja

Niech $będzie$ zbiorem i będzie zbiorem $podzbiorów$${\ Displaystyle X.}$ Funkcja na ${\ mathcal {S}}}$$Displaystyle$ z wartościami w półgrupie abelowej $spełnia$ jest wyceną jeśli

$${\ Displaystyle \ phi (A \ kubek B) + \ phi (A \ czapka B) = \ phi (A) + \phi (B)}$$

ilekroć $\$$\$$b$ Displaystyle $}$ _ ${\ Displaystyle {\ mathcal {S}}.}$ Jeśli ${\ Displaystyle \ emptyset \ in {\ mathcal {S}}},$ to zawsze zakłada się, ${\ Displaystyle \ phi (\ pusty zestaw) = 0.}$

Przykłady

Niektóre typowe przykłady dopuszczalnych zbiorów to niepuste zwarte zbiory wypukłe (ciała wypukłe) w $zwartym$ wypukłym $}$ polytopes w $stożkach i$ w gładkiej rozmaitości ${\ Displaystyle X.}$

Niech będzie $skończenie$ wymiarową przestrzenią wektorową nad i niech oznacza zbiór $(V)}$$\$ ciał wypukłych w ${\ Displaystyle V.}$

• Cecha Eulera jest $) = 1 {\ Displaystyle \ chi (K$ na ${\ Displaystyle {\ mathcal {K}} (V)}$ i rozciąga się jako wycena χ ( do zbioru skończonych związków ciał wypukłych.
• Każda miara Lebesgue'a ${\ Displaystyle {\ mathcal {K}} (V).}$$wypukłych$ jest wyceną K
• Wśród wycen wywodzących się z wolumenu znajdują się wolumeny wewnętrzne ,

$${\ Displaystyle V_ {i} (K) = c_ {n, i} \ lewo. {\ Frac {d ^ {i }}{dt^{i}}}\right|_{t=0}\nazwa_operatora {vol} _{n}(K+tB^{n}),\qquad i=0,1,\ldots ,n ,}$$

gdzie do ${\ Displaystyle c_ {n, i}}$ jest stałą normalizującą i kulą jednostki euklidesowej ${\ Displaystyle B ^ {n} \ podzbiór \ mathbb {R} ^ {n}}$ , a bardziej ogólnie tomy mieszane (z niektórymi wpisami ustalonymi arbitralnie).

• Moduł wyliczający punkt sieci $R$ gdzie $^{n}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} ^ {n} \ podzbiór \ mathbb {$ jest siatką całkowitą, jest wyceną na sieci polytopes.
• Mapa gdzie $\ Displaystyle K \ mapsto h_ {K}}$

$${\ Displaystyle h_ {K} (\ xi) = \ sup _ {x \ w K} \ xi (x) \ qquad {\ text{for }}\xi \in V^{*},}$$

jest funkcją wsparcia K $\ displaystyle K,}$${\ Displaystyle {\ mathcal {K}} (V).}$ jest wyceną na

Wyceny na ciałach wypukłych

Mówi się, że wycena na jest $)}$ tłumaczeniu + $($ ) $K + x) = \ phi$$wypukłych$ dla wszystkich wszystkich ciał ${\ Displaystyle K.}$

Niech ${\ displaystyle K, L}$ będą dwoma wypukłymi ciałami w ${\ Displaystyle V.}$ Po wyborze euklidesowego iloczynu wewnętrznego ich ${\ Displaystyle d_ {H} (K, L)}$ Hausdorffa jest definiowana przez re

$${\ Displaystyle d_ {H} (K, L) = \ inf \ {\ varepsilon > 0: K \ podzbiór L_ {\varepsilon }{\text{i }}L\podzbiór K_{\varepsilon }\},}$$

gdzie oznacza - $K _ {\ varepsilon$ { $}$${\ Displaystyle K.}$ Wyposażony w tę metrykę, ${\ Displaystyle {\ mathcal {K}} (V)}$ jest lokalnie zwartą przestrzenią .

Przestrzeń ciągłych, niezmiennych w tłumaczeniu $na$$przyjmujących$ zespolonych oznaczona ${\ Displaystyle \ nazwa operatora {Val} (V).}$

Topologia na $($${\ Displaystyle {\ mathcal {K}} (V).}$ jednolitej Wyposażony w normę

$${\ Displaystyle \|\ phi \|= \ max \ {|\ phi (K) |: K \ podzbiór B \},}$$

gdzie $_$ ograniczonym $podzbiorem$ wnętrzem _ _

Wyceny jednorodne

ciągła wycena niezmienna od translacji jest ) $}$ jeśli ${\ Displaystyle \ phi \ in \ operatorname {Val} (V$

$${\ Displaystyle \ phi (\ lambda K) = \ lambda ^ {i} \ phi (K)}$$

dla $∈$ K $\ Displaystyle K \ in {\ mathcal {K}} (V).}$${\ Displaystyle i}$ Podzbiór ${\ Displaystyle \ operatorname {Val} _ {i} (V)}$ ja - wartościowania jednorodne to podprzestrzeń wektorowa ${\ Displaystyle \ operatorname {Val} (V).}$ McMullen's stwierdza to twierdzenie o rozkładzie

$${\ Displaystyle \ operatorname {Val} (V) = \ bigoplus _ {i = 0} ^ {n} \ operatorname {Val} _ {i} (V), \ qquad n = \ dim V.}$$

W szczególności stopień jednorodnej wyceny jest zawsze liczbą całkowitą między ${\ displaystyle 0}$ a ${\ Displaystyle n = \ nazwa operatora {ciemny} V.}$

Oceny są stopniowane nie tylko według stopnia jednorodności, ale także według parytetu w odniesieniu do odbicia przez pochodzenie, a mianowicie

$${\ Displaystyle \ operatorname {Val} _ {i} = \ operatorname {Val} _ {i} ^ {+} \ oplus \ operatorname {Val} _ {i} ^ { -},}$$

gdzie ${\ Displaystyle \ phi \ in \ operatorname {Val} _ {i} ^ {\ epsilon}}$ z ${\ Displaystyle \ epsilon \ in \ {+, - \} }$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla wszystkich ciał wypukłych ${\ displaystyle K.}$$}$ Elementy ${\ Displaystyle \ operatorname {Val} _ {i} ^ {+$ } $}$ i parzyste i nieparzyste .

To prosty fakt, że $}$ 1 $1}$$Displaystyle$ obejmuje charakterystykę Eulera $\ Displaystyle \ chi$ to znaczy składa się ze stałych wartościowań na ${\ Displaystyle {\ mathcal {K}} (V).}$

$n = \ dim V$ 1957 Hadwiger udowodnił, że gdzie $V$$displaystyle 1}$$displaystyle$ się -wymiarowa przestrzeń miar Lebesgue'a na ${\ Displaystyle V.}$

Wycena $_$ prosta jeśli $=0}$$phi$ ( dla wszystkich ciał wypukłych o ${\ displaystyle \ dim K <n.}$ Schneider w 1996 roku opisał wszystkie proste wyceny na ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ : są podane przez R n {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}

$${\ Displaystyle \ phi (K) = c \ nazwa operatora {tom} (K) + \ int _ {S^{n-1}}f(\theta)d\sigma _{K}(\theta),}$$

gdzie do $}}$${\ Displaystyle f \ w C (S ^ {n-1})}$ jest dowolną nieparzystą funkcją na S ${\ Displaystyle S ^ {n-1} \ podzbiór \ mathbb {R} ^ {n}} i$ jest σ $\ Displaystyle \ sigma _ {K}}$ miara pola ${\ Displaystyle K.}$$-$$wycena$ sumą - i wyceny $określona$ kolei implikuje, że $ograniczenia$ do wszystkich -wymiarowych podprzestrzeni.

Twierdzenia osadzające

Osadzenie Klaina jest liniowym zastrzykiem ${\ Displaystyle \ operatorname {Val} _ {i} ^ {+} (V)}$ przestrzeni nawet ${\ displaystyle i}$ -jednorodnych wycen , w przestrzeń ciągłych przekrojów kanonicznej wiązki linii zespolonych nad Grassmannianem -wymiarowymi $Displaystyle$ podprzestrzeniami Gr $\ operatorname {Gr} _ {i} (V)}$$Jego$$konstrukcja opiera się na charakterystyce$ Hadwigera . ϕ ${\ Displaystyle \ phi \ w \ operatorname {Val} _ {i} (V)}$ mi $\ Displaystyle E \ w \ operatorname {Gr} _{i}(V),}$ to ograniczenie ${\ displaystyle \ phi | _ {E}}$ jest elementem ${\ Displaystyle \ operatorname {Val} _ {i} (E)}$ i zgodnie z twierdzeniem Hadwigera jest to miara Lebesgue'a. Stąd

$${\ Displaystyle \ nazwa operatora {Kl} _ {\ phi} (E) = \ phi | _ {E}}$$

definiuje ciągły przekrój wiązki linii $nad włóknem$ Gr $\ operatorname {Gr} _ {i$ } ( $}$ do $}$ { \ ${\ Displaystyle E.}$$E$ -wymiarowej przestrzeni na

Twierdzenie (Klaina). Mapa liniowa ${\ Displaystyle \ nazwa operatora {Kl}: \ nazwa operatora {Val} _ {i} ^ {+} (V) \ do C(\operatorname {Gr} _{i}(V),\operatorname {Dens} )}$ jest iniekcyjne.

Dla wycen nieparzystych istnieje inny zastrzyk, znany jako osadzanie Schneidera. Opiera się na opisie prostych wartościowań Schneidera. Jest to liniowe wstrzyknięcie ${\ Displaystyle \ operatorname {Val} _ {i} ^ {-} (V)}$ przestrzeni nieparzystych wycen - jednorodnych ${\ displaystyle i}$ pewien iloraz przestrzeni ciągłych odcinków wiązki linii na częściowej rozmaitości chorągiewki koorientowanych par ${\ Displaystyle (F ^ {i} \ subset E ^ {i + 1}).}$ Jego definicja przypomina osadzenie Klaina, ale jest bardziej zaangażowana. Szczegóły można znaleźć w.

Osadzanie Goodeya-Weila jest liniowym wstrzyknięciem ${\ displaystyle \ operatorname {Val} _ {i}}$ w przestrzeń rozkładów na -krotnym iloczynie ${\ displaystyle i}$${\ styl wyświetlania (n-1)}$ -wymiarowa sfera. To nic innego jak jądro Schwartza naturalnej polaryzacji, którą każdy ${\ Displaystyle \ phi \ in \ operatorname {Val} _ {k} (V)}$$k {\ displaystyle k}$ mianowicie jako funkcjonał na krotnym ${\ Displaystyle k} iloczynu$ przestrzeni k { funkcje mające geometryczne znaczenie różnic funkcji podporowych ciał gładkich wypukłych. Aby uzyskać szczegółowe informacje, patrz.

Twierdzenie o nieredukowalności

Klasyczne twierdzenia Hadwigera, Schneidera i McMullena dają dość ${\ Displaystyle n = \ operatorname {dim} V.}$ opisy $i$$⁡$ Ale dla stopni ${\ Displaystyle 1 <i <n-1}$ bardzo niewiele było wiadomo przed przełomem XXI wieku. Hipoteza McMullena polega na stwierdzeniu, że wyceny

$${\ Displaystyle \ phi _ {A} (K) = \ operatorname {tom} _ {n} (K + A), \qquad A\in {\mathcal {K}}(V),}$$

obejmują gęstą podprzestrzeń ${\ displaystyle \ operatorname {Val} (V).}$ Hipoteza McMullena została potwierdzona przez Aleskera w znacznie silniejszej formie, która stała się znana jako twierdzenie o nieredukowalności :

Twierdzenie (Aleskera). ${\ Displaystyle 0 \ równoważnik i \ równoważnik n,}$ ja $działanie$ L $GL$ przestrzeniach i ${\ Displaystyle \ operatorname {Val} _ {i} ^ {-} (V)}$ jest nieredukowalny.

$Val} (V)$ działanie $Displaystyle \ operatorname$ liniowej na {

$${\ Displaystyle (g \ cdot \ phi) (K) = \ phi (g ^ {-1} K).}$$

Dowód twierdzenia o nieredukowalności opiera się na twierdzeniach o osadzeniu z poprzedniej sekcji i lokalizacji Beilinsona-Bernsteina .

Płynne wyceny

ϕ $)}$$\ Displaystyle \$ się gładką , jeśli mapa z ${\ Displaystyle GL (V)}$ do ${\ Displaystyle \ operatorname {Val} (V)}$ jest gładka. Innymi słowy, ${\ Displaystyle \ phi}$${\ Displaystyle \ operatorname {Val} (V).}$$,$ i tylko wtedy $)$ reprezentacji na Przestrzeń gładkich wycen ${\ Displaystyle \ operatorname {Val} ^ {\ infty} (V)}$ jest gęsta w ${\ Displaystyle \ nazwa operatora {Val} (V)}$ ; jest wyposażony w naturalną topologię przestrzeni Frécheta, która jest dokładniejsza niż ta indukowana z ${\ Displaystyle \ nazwa operatora {Val} (V).}$

$($ o wartościach zespolonych) gładkiej funkcji ${\ Displaystyle \ operatorname {Gr} _ {i} (\ mathbb {R} ^ {n}),$ }

$${\ Displaystyle \ phi (K) = \ int _ {\ nazwa operatora {Gr} _ {i} (\mathbb {R} ^{n})}\operatorname {vol} _{i}(P_{E}K)f(E)dE,}$$

gdzie $}: \ mathbb {R} ^ {n} \ do E}$ oznacza rzut ortogonalny, a ${\ displaystyle dE}$ jest miarą Haara, definiuje gładką równą wycena ${\ displaystyle i.}$ Z twierdzenia o nieredukowalności w połączeniu z twierdzeniem Casselmana-Wallacha wynika, że ​​w ten sposób można przedstawić każdą gładką, parzystą wycenę. Taka reprezentacja jest czasami nazywana formułą Croftona .

Dla dowolnej (o wartościach zespolonych) gładkiej postaci różniczkowej ${\ Displaystyle \ omega \ in \ Omega ^ {n-1} (\ mathbb {R} ^ {n} \times S ^ {n-1})}$ , który jest niezmienny we wszystkich tłumaczeniach ${\ Displaystyle (x, u) \ mapsto (x + t, u)}$ i każda liczba integracja w $normalnym$ cyklu definiuje płynną wycenę

$${\ Displaystyle \ phi (K) = c \ nazwa operatora {tom} _ {n} (K) + \ int _ {N (K)} \ omega, \ qquad K \ w {\ mathcal {K}} (\ mathbb {R} ^{n}).}$$

 

 

 

 

()

Jako zestaw normalny cykl $zewnętrznych$ jednostkowych ${\ displaystyle K.}$ Twierdzenie o nieredukowalności implikuje, że każda gładka wycena ma tę postać.

Operacje na wycenach niezmiennych względem translacji

Istnieje kilka operacji naturalnych zdefiniowanych na podprzestrzeni gładkich wartościowań ${\ displaystyle \ operatorname {Val} ^ {\ infty} (V) \ subset \ operatorname {Val} (V).} Najważniejszym z nich jest$ iloczyn dwóch gładkich wycen. Wraz z pullback i pushforward operacja ta rozciąga się na wyceny na rozmaitościach.

Produkt zewnętrzny

Niech $.$ wymiarowymi rzeczywistymi przestrzeniami Istnieje mapa dwuliniowa, zwana iloczynem zewnętrznym,

$${\ Displaystyle \ boxtimes: \ operatorname {Val} ^ {\ infty} (V) \ razy \ operatorname {Val} ^ {\infty}(W)\do \operatorname {Val} (V\razy W)}$$

który jest wyjątkowo scharakteryzowany przez następujące dwie właściwości:

• jest ciągły w odniesieniu do zwykłych topologii na ${\ displaystyle \ operatorname {Val}}$ i ${\ Displaystyle \ nazwa operatora {Val} ^ {\ infty}.}$
• jeśli ${\ Displaystyle \ phi = \ operatorname {tom} _ {V} (\ punktor + A)}$ i ${\ Displaystyle \ psi = \ nazwa operatora {tom} _ {W} (\ punktor + B)}$ gdzie ${\ Displaystyle A \ in {\ mathcal {K}} (V)}$ i ${\ Displaystyle B \ w {\ mathcal {K}} (W)}$ są ciałami wypukłymi o gładkich granicach i ściśle dodatniej krzywiźnie Gaussa i ${\ displaystyle \ operatorname {vol} _ {V}}$ i $}} displaystyle \ operatorname {vol} _ {W}}$ to gęstości na ${\ displaystyle V}$ i ${\ displaystyle W,}$ wtedy

$${\ Displaystyle \ phi \ boxtimes \ psi = (\ operatorname {tom} _ {V} \ boxtimes \ operatorname {tom} _ {W}) (\ punktor + A \ razy B).}$$

Produkt

${\ Displaystyle \ phi, \ psi \ in \ operatorname {Val} ^ {\ infty} (V$ ) }

$${\ Displaystyle (\ phi \ cdot \ psi) (K) = (\ phi \ boxtimes \ psi) (\ Delta (K) )}$$

gdzie ${\ Displaystyle \ Delta: V \ do V \ razy V}$ jest osadzeniem po przekątnej. Produkt jest mapą ciągłą

$${\ Displaystyle \ operatorname {Val} ^ {\ infty} (V) \ razy \ operatorname {Val} ^ {\ infty} (V) \ do \ operatorname {Val} ^ {\ infty} (V).}$$

Wyposażony w ten produkt, staje się przemienną asocjacyjną $.$ tożsamością

Dualizm Aleskera-Poincarégo

Z twierdzenia Aleskera ograniczenie produktu

$${\ Displaystyle \ operatorname {Val} _ {k} ^ {\ infty} (V )\times \operatorname {Val} _{nk}^{\infty }(V)\to \operatorname {Val} _{n}^{\infty }(V)=\operatorname {Dens} (V)}$$

jest parą niezdegenerowaną. To motywuje definicję $-homogenicznej$ uogólnionej wyceny ${\ Displaystyle \ operatorname {Val} _ {k} ^ {- \ infty} (V),$ oznaczonej } jako ${\ displaystyle \ operatorname {Val} _ {nk} ^ {\ infty} (V) ^ {*} \ otimes \ operatorname {Dens} (V)} topologizowany ze słabą topologią$ . $_ \hookrightarrow \nazwa_operatora {Val} _{k}^{-\infty }(V)/}$ istnieje

Skręt

Splot jest iloczynem naturalnym na ${\ Displaystyle \ operatorname {Val} ^ {\ infty} (V) \ otimes \ operatorname {Dens} (V ^ {*}).} Dla uproszczenia ustalamy gęstość vol {\ displaystyle \ operatorname {$ vol $}$ na aby $zbanalizować$ drugi czynnik Zdefiniuj dla ustalonego ${\ Displaystyle A, B \ in {\ mathcal {K}} (V)}$ z gładką granicą i ściśle dodatnią krzywizną Gaussa

$${\ Displaystyle \ operatorname {tom} (\ punktor + A) \ ast \ operatorname {tom} (\ punktor + B) = \ operatorname {tom} (\ punktor + A + B).}$$

Istnieje wtedy unikalne rozszerzenie przez ciągłość mapy

$${\ Displaystyle \ operatorname {Val} ^ {\ infty} (V) \ razy \ operatorname {Val} ^ {\ infty} ( V)\do \nazwa_operatora {Val} ^{\infty }(V),}$$

zwany splotem. W przeciwieństwie do iloczynu, splot szanuje współstopniowanie, a mianowicie jeśli ${\ Displaystyle \ phi \ in \ operatorname {Val} _ {ni} ^ {\ infty} (V), }$${\ Displaystyle \ psi \ in \ operatorname {Val} _ {nj} ^ {\ infty} (V)}$ wtedy ${\ Displaystyle \ phi \ ast \ psi \ w \ nazwa operatora {Val} _ {nij} ^ {\ infty} (V).}$

Na przykład niech ${\ Displaystyle V (K_ {1}, \ ldots, K_ {n})}$ oznaczają mieszaną objętość ciał wypukłych ${\ Displaystyle K_ {1}, \ ldots, K_ {n} \ podzbiór \ mathbb {R} ^ {n}.} Jeśli ciała wypukłe$ ZA $\ Displaystyle A_ {1}, \ kropki ,A_{ni}}$ w ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ z gładką granicą i ściśle dodatnią krzywizną Gaussa są ustalone, a następnie ${\ Displaystyle \ phi (K) = V (K [i], A_ {1}, \ kropki, A_ {ni})}$ definiuje płynną wycenę stopnia ${\ displaystyle i.}$ Splot dwóch takich wycen to

$${\ Displaystyle V (\ punktor [i], A_ {1}, \ kropki, A_ {ni}) \ as V (\ punktor [ j],B_{1},\kropki,B_{nj})=c_{i,j}V(\bullet [nji],A_{1},\kropki,A_{ni},B_{1},\ kropki ,B_{nj}),}$$

gdzie ${\ Displaystyle i, j, n.}$ stałą $ja$

Transformata Fouriera

$wycen$ naturalnym, zespolonych

$${\ Displaystyle \ mathbb {F}: \ operatorname {Val} ^ {\ infty} (V) \ do \ operatorname { Val} ^{\infty }(V^{*})\oraz \operatorname {Dens} (V),}$$

odkryta przez Aleskera i posiadająca wiele właściwości przypominających klasyczną transformatę Fouriera, co wyjaśnia jej nazwę.

Odwraca ocenę, a mianowicie ${\ Displaystyle \ mathbb {F}: \ operatorname {Val} _ {k }^{\infty }(V)\to \operatorname {Val} _{nk}^{\infty }(V^{*})\czasami \operatorname {Dens} (V)} i przeplata iloczyn$ i skręt:

$${\ Displaystyle \ mathbb {F} (\ phi \ cdot \ psi) = \ mathbb {F} \ phi \ ast \ mathbb {F} \ psi.}$$

Ustalenie dla uproszczenia struktury euklidesowej do identyfikacji ${\ Displaystyle V = V ^ {*}}$${\ Displaystyle \ operatorname {Dens} (V) = \ mathbb {C} ,}$ mamy tożsamość

$${\ Displaystyle \ mathbb {F} ^ {2} \ phi (K) = \ phi (-K).}$$

Przy wartościowaniach parzystych istnieje prosty opis transformaty Fouriera w kategoriach osadzania Klaina: ${\ Displaystyle \ operatorname {Kl} _ {\ mathbb {F} \ phi} (E) = \ operatorname {Kl} _ {\ phi} (E ^ {\ perp}).} W szczególności, nawet wyceny o wartościach$ rzeczywistych pozostają wartościami rzeczywistymi po transformacji Fouriera.

W przypadku wycen nieparzystych opis transformaty Fouriera jest znacznie bardziej skomplikowany. W przeciwieństwie do przypadku parzystego nie ma on już charakteru czysto geometrycznego. Na przykład przestrzeń wycen nieparzystych o wartościach rzeczywistych nie jest zachowana.

Wycofanie i pchnięcie do przodu

$\operatorname {Val} (V)\to \operatorname {Val} (U)}$ pod uwagę liniową mapę $∗$ indukowane operacje wycofywania $Displaystyle f ^ {*$ i pushforward ${\ Displaystyle f_ {*}: \ nazwa operatora {Val} (U) \ czasami \ nazwa operatora {Dens} (U) ^ {*} \ do \ nazwa operatora {Val} (V) \ czasami \ nazwa operatora {Dens} (V) ^{*}.}$ Wycofanie jest prostszym z dwóch, określonym przez ${\ Displaystyle f ^ {*} \ phi (K) = \ phi (f (K)).}$ Ewidentnie zachowuje parytet i stopień jednorodności wartościowania. Zwróć uwagę, że $.$ nie zachowuje gładkości, gdy nie jest iniekcyjne

Pushforward jest trudniejszy do formalnego zdefiniowania. Dla uproszczenia napraw miary Lebesgue'a na ${\ displaystyle U}$ i $}$$V.$ Pushforward można jednoznacznie scharakteryzować, opisując jego dla ${\ Displaystyle A \ w {\ mathcal {K}} (U)}$ a następnie rozszerzony przez ciągłość na wszystkie wartościowania przy użyciu twierdzenia o nieredukowalności. Dla mapy surjektywnej ${\ displaystyle f,}$

$${\ Displaystyle f_ {*} \ nazwa operatora {tom} (\ kula + A) = \ nazwa operatora {tom} (\ kula + f (A)).}$$

$_$ włączenia wybierz ${\ Displaystyle V = U \ oplus W.}$ Następnie

$${\ Displaystyle f_ {*} \ nazwa operatora {tom} (\ punktor + A) (K) = \ int _ {W} \ nazwa operatora {tom} (K \ czapka (U + w) + A) dw.}$$

Nieformalnie pushforward jest podwójny do wycofania w odniesieniu do parowania Aleskera-Poincarégo: dla ${\ Displaystyle \ psi \ w \ operatorname {Val} (U) \ czasami \ operatorname {Dens} (U) ^ {*},}$ ψ $\ Displaystyle \ phi \ in \ operatorname {$

$${\ Displaystyle \ langle f ^ {*} \ fi, \ psi \ rangle = \ langle \ fi, f_ {*} \ psi \ rangle.}$$

Jednak ta tożsamość musi być ostrożnie interpretowana, ponieważ parowanie jest dobrze zdefiniowane tylko dla gładkich wycen. Aby uzyskać więcej informacji, zob.

Wyceny na rozmaitościach

W serii artykułów, która rozpoczęła się w 2006 roku, Alesker położył podwaliny pod teorię wycen na rozmaitościach, która rozszerza teorię wycen na ciałach wypukłych. Kluczową obserwacją prowadzącą do tego rozszerzenia jest to, że poprzez całkowanie po cyklu normalnym ( 1 ), płynną wycenę niezmienniczą translacji można ocenić na zbiorach znacznie bardziej ogólnych niż wypukłe. Również ( 1 ) sugeruje ogólne zdefiniowanie gładkich wycen poprzez porzucenie wymogu, aby forma ${\ displaystyle \ omega}$ być niezmiennikiem translacji i zastępując niezmienną translację miarą Lebesgue'a dowolną gładką miarą.

Niech ${\ Displaystyle X}$ będzie n-wymiarową gładką rozmaitością i niech ${\ Displaystyle \ mathbb {P} _ {X} = \ mathbb {P} _ {+} (T ^ {*} X }$ będzie wiązką współsfery $X ,$ projekcją wiązki kostycznej. Niech $X$ zwartych $} \ mathcal {P}} (X)}, który składa się z$$\ Displaystyle X.}$ Normalny cykl $\ Displaystyle N (A) \ podzbiór \ mathbb {$ P $jest$ współnormalnych do naturalnie podrozmaitością Lipschitza o wymiarze $displaystyle n-1.}$

Dla ułatwienia prezentacji odtąd zakładamy, że jest $zorientowany$ , mimo że koncepcja płynnych wycen w rzeczywistości nie zależy od orientowalności Przestrzeń gładkich wycen $\phi :{\mathcal {P}}(X)\to \mathbb {C} }$ się z funkcji. $\ Displaystyle {\ mathcal {V}} ^ {\ infty} (X$ \ $}$$X$ formularza

$${\ Displaystyle \ phi (A) = \ int _ {A} \ mu + \ int _ {N (A)} \omega ,\qquad A\w {\mathcal {P}}(X),}$$

gdzie ${\ Displaystyle \ mu \ in \ Omega ^ {n} (X)}$ i ${\ Displaystyle \ omega \ in \ Omega ^ {n-1 }(\mathbb {P} _{X})}$ może być dowolne. Alesker wykazał, że gładkie wyceny na otwartych podzbiorach $miękki$ snop nad ${\ Displaystyle X.}$

Przykłady

Poniżej przedstawiono przykłady gładkich wycen na gładkiej rozmaitości: ${\ displaystyle X}$ :

• Płynne miary na ${\ Displaystyle X.}$
• Charakterystyka Eulera ; $wynika$ to z pracy Cherna nad twierdzeniem -Bonneta $,$ gdzie takie zostały skonstruowane w celu przedstawienia charakterystyki Eulera. W szczególności jest to $całka$ -Gaussa-Bonneta , która jest Pfaffianem riemannowskiego tensora krzywizny.
• Jeśli jest $riemannowski , to$${\ Displaystyle V_ {0} ^ {X} = \chi ,V_{1}^{X},\ldots ,V_{n}^{X}=\mathrm {vol} _{X}} są$ Lipschitza-Killinga lub wewnętrzne objętości gładkimi wartościowaniami. Jeśli ${\ Displaystyle f: X \ do \ mathbb {R} ^ {m}}$ jest jakimkolwiek izometrycznym zanurzeniem w przestrzeń euklidesową, a następnie ${\ Displaystyle V_ {i} ^ {X} = f ^ {*} V_ {i} ^ {\ mathbb {R} ^ {m}} ,}$ gdzie oznacza zwykłe wewnętrzne objętości na $}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {$ patrz poniżej, aby zapoznać się z definicją wycofania). Istnienie tych ocen jest istotą formuły tuby Weyla.
• Niech do $P ^ {n}}$$\ Displaystyle \ operatorname {Gr} _ {k} ^ {\ mathbb {C}} }$ będzie złożoną przestrzenią rzutową i niech sol oznaczają Grassmannian wszystkich złożonych podprzestrzeni rzutowych o stałym wymiarze ${\ displaystyle k.}$ Funkcja

$$\ Displaystyle \ phi (A) = \ int _ {\ operatorname {Gr} _ {k} ^{\mathbb {C}}}\chi (A\cap E)dE,\qquad A\in {\mathcal {P}}(\mathbb {C} P^{n}),}$$

$na$ całkowanie jest w odniesieniu do miary prawdopodobieństwa płynną Wynika to z pracy Fu.

Filtrowanie

Przestrzeń ogólnie nie dopuszcza naturalnej klasyfikacji, jednak ma filtrację kanoniczną ${\ Displaystyle {\ mathcal {V}} ^ {\ infty} (X)}$

$${\ Displaystyle {\ mathcal {V}} ^ {\ infty} (X) = W_ {0} \ supset W_ {1} \ supset \ cdots \ supset W_ {n}.}$$

Tutaj ${\ Displaystyle W_ {n}}$$\$$idealnym$ z gładkich miar na $X,}$ i jest określony przez formy w ${\ Displaystyle \ pi ^ {*} \ Omega ^ {j} (X)}}$ jot gdzie ${ X}\do X}$ jest projekcją kanoniczną.

Powiązana $_$ _ gładkie sekcje

$${\ Displaystyle \ bigoplus _ {i = 0} ^ {n} C ^ {\ infty} (X, \ operatorname {Val} _ { i}^{\infty}(TX)),}$$

gdzie ${\ Displaystyle \ operatorname {Val} _ {i} ^ {\ infty} (TX)}$ oznacza wiązkę wektorów nad ${\ Displaystyle X}$ tak, że włókno w punkcie ${\ Displaystyle x \ w X}$ jest ${\ Displaystyle \ operatorname {Val} _ {i} ^ {\ infty} (T_ {x} X),}$ przestrzeń ${\ styl wyświetlania ja}$ -homogeniczne gładkie wyceny niezmienne względem translacji na przestrzeni stycznej ${\ Displaystyle T_ {x} X.}$

Produkt

Przestrzeń dopuszcza naturalny produkt ${\ Displaystyle {\ mathcal {V}} ^ {\ infty} (X)} .$ Ten iloczyn jest ciągły, przemienny, asocjacyjny, zgodny z filtracją:

$${\ Displaystyle W_ {i} \ cdot W_ {j} \ podzbiór W_ {i + j},}$$

i ma cechę Eulera jako element tożsamości. Dojeżdża również z ograniczeniem do osadzonych podrozmaitości, a grupa dyfeomorfizmu działa $\ infty} (X)}$ automorfizmy algebry $) {\ Displaystyle {\ mathcal {V}} ^$ .

Na przykład, jeśli jest riemannowski, wyceny Lipschitza-Killinga spełniają ${\ displaystyle X}$

$${\ Displaystyle V_ {i} ^ {X} \ cdot V_ {j} ^ {X} = V_ {i + j} ^ {X}.}$$

Dualizm Aleskera-Poincarégo nadal obowiązuje. Dla kompaktu $X$${\ Displaystyle {\ mathcal {V}} ^ {\ infty} (X) \ razy {\ mathcal {V}} ^ {\ infty} (X) \ do \ mathbb {C},}$ parowanie ${\ Displaystyle (\ phi, \ psi) \ mapsto (\ phi \cdot \psi )(X)}$ nie jest zdegenerowany. Podobnie jak w przypadku niezmiennika translacji, ta dwoistość może być wykorzystana do zdefiniowania uogólnionych wartościowań. W przeciwieństwie do przypadku niezmiennego dla translacji, nie istnieje dobra definicja wycen ciągłych dla wycen na rozmaitościach.

Iloczyn wycen ściśle odzwierciedla operację geometryczną przecięcia podzbiorów. Nieformalnie rozważmy uogólnioną wycenę ${\ Displaystyle \ chi _ {A} = \ chi (A \ cap \ bullet).}$ Produkt jest dany przez ${\ Displaystyle \ chi _ {A} \ cdot \ chi _ {B} = \ chi _ {A \ cap B}.}$ Teraz można uzyskać płynne wyceny, uśredniając uogólnione wyceny postaci ${\ Displaystyle \ chi _ {A},}$ dokładniej ${\ Displaystyle \ phi (X) = \ int _ {S} \ chi _ {s (A)} ds}$ jest płynną wyceną, jeśli $jest$ dużą zmierzoną rodziną dyfeomorfizmów. Wtedy jeden ma

$${\ Displaystyle \ int _ {S} \ chi _ {s (A)} ds \ cdot \ int _ {S '} \ chi _ {s' (B)} ds '= \ int _ {S \ razy S' }\chi _{s(A)\cap s'(B)}dsds',}$$

Widzieć.

Wycofanie i pchnięcie do przodu

${\ Displaystyle f ^ {*}: {\ mathcal {V}} ^ {\ infty} (Y) \ do {\ mathcal {V}} ^ {\ infty} (X).} Jeśli fa {\$ płynne $Y$ mapę displaystyle $}$ jest zatem osadzeniem

$${\ Displaystyle (f ^ {*} \ phi) (A) = \ phi (f (A)), \ qquad A \ w {\ mathcal {P}} (X).}$$

Wycofanie jest morfizmem algebr filtrowanych. Każde płynne właściwe zanurzenie $definiuje$ mapę pushforward $\ mathcal$ przez

$${\ Displaystyle (f_ {*} \ phi) (A) = \ phi (f ^ {-1} (A)), \ qquad A \ w {\ mathcal {P}} (Y).}$$

Pushforward jest również zgodny z filtracją: ${\ Displaystyle f_ {*}: W_ {i} (X) \ do W_ {i- (\ dim X- \ dim Y)} (Y).} W przypadku ogólnych gładkich map można zdefiniować pullback$ i pushforward dla uogólnionych wycen z pewnymi ograniczeniami.

Zastosowania w geometrii całkowej

Niech $będzie$ rozmaitością riemannowską i niech ${\ Displaystyle SM.}$$grupą$ izometrii $działających$ przechodnio na wiązkę Przy tych założeniach przestrzeń - niezmienna gładka ${\ Displaystyle {\ mathcal {V}} ^ {\ infty} (M) ^ {G$$}$ wyceny na ${\ displaystyle M}$ jest skończony wymiarowo; niech ${\ Displaystyle \ phi _ {1}, \ ldots, \ phi _ {m}}$ będzie podstawą. Niech ${\ Displaystyle A, B \ in {\ mathcal {P}} (M)}$ będzie różniczkowalnymi wielościanami w ${\ Displaystyle M.}$ Następnie całki postaci ${\ Displaystyle \ int _ {G} \ phi _ {i} (A \ cap gB) dg}$ można wyrazić jako liniowe kombinacje ${\ Displaystyle \ phi _ {k} (A ) \ phi _ {l} (B)}$${\ Displaystyle B}$ współczynnikami niezależnymi od $i} ^ {$ do ja $}$ }

$${\ Displaystyle \ int _ {G} \ phi _ {i} (A \ cap gB) dg = \ suma _ {k, l = 1} ^ {m} c_ {i} ^ {kl} \ phi _ {k }(A)\phi _{l}(B),\qquad A,B\in {\mathcal {P}}(M).}$$

 

 

 

 

()

Wzory tego typu nazywane są wzorami kinematycznymi . Ich istnienie w tej ogólności zostało udowodnione przez Fu. W przypadku trzech prosto połączonych form przestrzeni rzeczywistej, to znaczy sfery, przestrzeni euklidesowej i przestrzeni hiperbolicznej, wracają one do Blaschkego , Santaló , Cherna i Federera .

Wyraźne opisanie wzorów kinematycznych jest zwykle trudnym problemem. W rzeczywistości już na etapie przejścia od rzeczywistych do złożonych form przestrzennych pojawiają się znaczne trudności, które dopiero niedawno zostały rozwiązane przez Berniga, Fu i Solanesa. Kluczowym spostrzeżeniem odpowiedzialnym za ten postęp jest to, że wzory kinematyczne zawierają te same informacje, co algebra wartościowań niezmienniczych ${\ Displaystyle {\ mathcal {V}} ^ {\ infty} (M) ^ {G}.}$ Aby uzyskać precyzyjne stwierdzenie, niech

$${\ Displaystyle k_ {G}: {\ mathcal {V}} ^ {\ infty} (M) ^ {G} \to {\mathcal {V}}^{\infty}(M)^{G}\otimes {\mathcal {V}}^{\infty}(M)^{G}}$$

będzie operatorem kinematycznym, czyli mapą wyznaczoną przez wzory kinematyczne ( 2 ). Pozwalać

$${\ Displaystyle \ operatorname {pd}: {\ mathcal {V}} ^ {\ infty} (M) ^ {G} \ do {\ mathcal { V}}^{\infty}(M)^{G*}}$$

oznaczają dwoistość Aleskera-Poincarégo, która jest izomorfizmem liniowym. Wreszcie niech będzie przylegającym do mapy produktu ${\ displaystyle m_ {G} ^ {*}}$

$${\ Displaystyle m_ {G}: {\ mathcal {V}} ^ {\ infty} (M) ^ {G} \ czasami {\ mathcal {V}} ^ {\ infty} (M) ^ {G} \ do {\mathcal {V}}^{\infty}(M)^{G}.}$$

$)$ twierdzenie algebraicznej geometrii całkowej odnoszące operacje na wycenach do geometrii całkowej stwierdza, że ​​​​jeśli dualność Poincarégo jest używana z ${\ Displaystyle {\ mathcal {V}} ^ {\ infty} (M) ^ {G *}}, a$ następnie ${\ Displaystyle k_ { G}=m_{G}^{*}}$ :

.

Zobacz też

• Twierdzenie Hadwigera
• Geometria całkowa - teoria miar na przestrzeni geometrycznej niezmiennej w grupie symetrii tej przestrzeni Strony wyświetlające opisy danych wikidanych jako rozwiązanie awaryjne
• Mieszana objętość
• Modułowa funkcja zestawu – Funkcja mapowania Strony wyświetlające krótkie opisy celów przekierowań
• Funkcja zestawu - Funkcja od zestawów do liczb
• Wycena (teoria miary) - mapa w teorii miary lub domeny Strony wyświetlające opisy wikidanych jako rozwiązanie awaryjne

Bibliografia

•   S. Alesker (2018). Wprowadzenie do teorii wartościowań . Regionalna seria konferencji CBMS z matematyki, 126. Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne, Providence, RI. ISBN 978-1-4704-4359-7 .
•   S. Alesker ; JHG Fu (2014). Geometria integralna i wyceny . Zaawansowane kursy z matematyki. CRM Barcelona. Birkhäuser/Springer w Bazylei. ISBN 978-1-4704-4359-7 .
•   DA Klain; G.-C. Rota (1997). Wprowadzenie do prawdopodobieństwa geometrycznego . Lezioni Lincee. [Wykłady Linceiego]. Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge. ISBN 0-521-59362-X .
•   R. Schneidera (2014). Ciała wypukłe: teoria Brunna-Minkowskiego . Encyklopedia matematyki i jej zastosowań, 151. Cambridge University Press, Cambridge, RI. ISBN 978-1-107-60101-7 .