Gęstość na rozmaitości

W matematyce , a konkretnie w geometrii różniczkowej , gęstość jest wielkością zmieniającą się przestrzennie na rozmaitości różniczkowalnej , którą można zintegrować w sposób wewnętrzny. Abstrakcyjnie, gęstość jest przekrojem pewnej wiązki liniowej , zwanej wiązką gęstości . Elementem wiązki gęstości w x jest funkcja, która przypisuje objętość równoległobokowi rozpiętemu przez n danych wektorów stycznych w x .

Z operacyjnego punktu widzenia gęstość jest zbiorem funkcji na wykresach współrzędnych , które przy zmianie współrzędnych ulegają pomnożeniu przez wartość bezwzględną wyznacznika Jakobiana . Gęstości można uogólnić na s -gęstości , których reprezentacje współrzędnych zostają pomnożone przez s -tą potęgę wartości bezwzględnej wyznacznika Jakobiana. Na zorientowanej rozmaitości 1-gęstości można kanonicznie utożsamiać z n -formami na M . Na rozmaitościach nieorientowalnych ta identyfikacja nie może być dokonana, ponieważ wiązka gęstości jest iloczynem tensorowym wiązki orientacji M i n -tej zewnętrznej wiązki iloczynu T ^∗ M (patrz pseudotensor ).

Motywacja (gęstości w przestrzeniach wektorowych)

W ogólności nie istnieje naturalne pojęcie „objętości” równoległoboku generowanego przez wektory v ₁ , ..., v _n w n -wymiarowej przestrzeni wektorowej V . Jeśli jednak chce się zdefiniować funkcję μ : V × ... × V → R , która przypisuje objętość dowolnemu takiemu równoległobokowi, powinna ona spełniać następujące właściwości:

• Jeżeli któryś z wektorów v _k pomnożymy przez λ ∈ R , to objętość należy pomnożyć przez | λ |.
• v _{v j} dodamy dowolną kombinację liniową wektorów v ₁ , ..., j _{−1 ,} v j _{+1 ,} ..., v _n , objętość powinna pozostać niezmienna.

Warunki te są równoważne stwierdzeniu, że μ jest określone przez niezmienną translację miarę na V i można je przeformułować jako

${\ Displaystyle \ mu (Av_ {1}, \ ldots, Av_ {n}) = \ lewo | \ det A \ prawo | \ mu (v_ {1}, \ ldots, v_ {n}), \ quad A \ w \nazwa_operatora {GL} (V).}$

Każde takie odwzorowanie μ : V × ... × V → R nazywane jest gęstością w przestrzeni wektorowej V . Zauważ, że jeśli ( v ₁ , ..., v _n ) jest jakąkolwiek bazą dla V , to ustalenie μ ( v ₁ , ..., v _n ) ustali μ całkowicie; wynika z tego, że zbiór Vol( V ) wszystkich gęstości na V tworzy jednowymiarową przestrzeń wektorową. Dowolna forma n ω na V definiuje gęstość | ω | na V przez

${\ Displaystyle | \ omega | (v_ {1}, \ ldots, v_ {n}): = | \ omega (v_ {1}, \ ldots, v_ {n}) |.}$

Orientacje w przestrzeni wektorowej

Zbiór Or( V ) wszystkich funkcji o : V × ... × V → R , które spełniają

${\ Displaystyle o (Av_ {1}, \ ldots, Av_{n})=\operatorname {znak} (\det A)o(v_{1},\ldots,v_{n}),\quad A\in \operatorname {GL} (V)}$

tworzy jednowymiarową przestrzeń wektorową, a orientacja na V jest jednym z dwóch elementów o ∈ Or( V ) takich, że | o ( v ₁ , ..., v _n ) | = 1 dla dowolnego liniowo niezależnego v ₁ , ..., v _n . Dowolna niezerowa forma n ω na V definiuje orientację o ∈ Or( V ) taką, że

${\ Displaystyle O (v_ {1}, \ ldots, v_ {n}) | \ omega | (v_ {1}, \ ldots,v_{n})=\omega (v_{1},\ldots,v_{n}),}$

i odwrotnie, dowolne o ∈ Or( V ) i dowolna gęstość μ ∈ Vol( V ) definiują n -formę ω na V przez

${\ Displaystyle \ omega (v_ {1}, \ ldots, v_ {n}) = o (v_ {1}, \ ldots, v_ {n}) \ mu (v_ {1}, \ ldots, v_ {n} ).}$

Pod względem przestrzeni iloczynu tensorowego ,

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {Lub} (V) \ czasami \ nazwa operatora {tom} (V) = \ bigwedge ^ {n} V ^ {*}, \ quad \ nazwa operatora {tom} (V) = \ nazwa operatora {Lub} (V)\oraz \bigwedge ^{n}V^{*}.}$

s -gęstości na przestrzeni wektorowej

Gęstości s na V są funkcjami μ : V × ... × V → R takie, że

${\ Displaystyle \ mu (Av_ {1}, \ ldots, Av_ {n}) = \ lewo | \ det A \ prawo | ^ {s} \ mu (v_ {1}, \ ldots, v_ {n}), \quad A\w \nazwa_operatora {GL} (V).}$

Podobnie jak gęstości, s -gęstości tworzą jednowymiarową przestrzeń wektorową Vol ^s ( V ), a dowolna n -forma ω na V definiuje s -gęstość | ω | ^s na V przez

${\ Displaystyle | \ omega | ^ {s} (v_ {1}, \ ldots, v_ {n}): = | \ omega (v_ {1}, \ ldots, v_ {n}) | ^ {s}. }$

Iloczyn gęstości s ₁ - i s ₂ μ ₁ i μ ₂ tworzy gęstość an ( s ₁ + s ₂ ) μ przez

${\ Displaystyle \ mu (v_ {1}, \ ldots, v_ {n}): = \ mu _ {1} (v_ {1}, \ ldots, v_ {n}) \ mu _ {2} (v_ { 1},\ldots, v_{n}).}$

W odniesieniu do przestrzeni iloczynu tensorowego fakt ten można określić jako

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {tom} ^ {s_ {1}} (V) \ czasami \ nazwa operatora {tom} ^ {s_ {2}} (V) = \ nazwa operatora {tom} ^ {s_ {1} + s_ { 2}}(V).}$

Definicja

Formalnie, wiązka s -gęstości Vol ^s ( M ) rozmaitości różniczkowalnej M jest uzyskiwana przez skojarzoną konstrukcję wiązki , przeplatającą jednowymiarową reprezentację grupową

${\ Displaystyle \ rho (A) = \ lewo | \ det A \ prawo | ^ {- s}, \ quad A \ w \ nazwa operatora {GL} (n)}$

ogólnej grupy liniowej z wiązką ramek M .

Wynikowa wiązka linii jest znana jako wiązka s -gęstości i jest oznaczona przez

${\ Displaystyle \ lewo | \ Lambda \ prawo | _ {M} ^ {s} = \ lewo | \ Lambda \ prawo | ^ {s} (TM).}$

Gęstość 1 jest również nazywana po prostu gęstością .

Mówiąc bardziej ogólnie, powiązana konstrukcja wiązek umożliwia również konstruowanie gęstości z dowolnej wiązki wektorowej E na M .

Szczegółowo, jeśli ( U _α ,φ _α ) jest atlasem wykresów współrzędnych na M , to wiąże się z tym lokalna trywializacja ${\ Displaystyle \ lewo | \ Lambda \ prawo | _ {M} ^ {s}}$

${\ Displaystyle t _ {\ alfa}: \ lewo | \ Lambda \ prawo | _ {M} ^ {s} | _ {U_ {\ alfa}} \ do \ fi _ {\alpha}(U_{\alpha})\times \mathbb {R}}$

podporządkowany otwartej pokrywie U _α tak, że powiązany kocykl GL (1) spełnia

${\ Displaystyle t _ {\ alfa \ beta} = \ lewo | \ det (d \ phi _ {\ alfa} \ circ d \ phi _ {\ beta} ^ {-1}) \ prawo | ^ {-s}. }$

Integracja

Gęstości odgrywają znaczącą rolę w teorii całkowania na rozmaitościach. Rzeczywiście, definicja gęstości jest motywowana tym, jak zmienia się miara dx pod wpływem zmiany współrzędnych ( Folland 1999 , sekcja 11.4, s. 361-362).

Biorąc pod uwagę 1-gęstość ƒ obsługiwaną na wykresie współrzędnych U _α , całka jest zdefiniowana przez

${\ Displaystyle \ int _ {U _ {\ alfa}} f = \ int _ {\ phi _ {\ alfa} ( U_{\alpha}}}t_{\alpha}\circ f\circ \phi _{\alpha}^{-1}d\mu}$

gdzie ta ostatnia całka odnosi się do miary Lebesgue'a na R ⁿ . Prawo transformacji dla gęstości 1 wraz z jakobianową zmianą zmiennych zapewnia zgodność nakładania się różnych wykresów współrzędnych, a zatem całkę ogólnej zwartej gęstości 1 można zdefiniować za pomocą podziału argumentu jedności . Zatem 1-gęstości są uogólnieniem pojęcia formy objętości, która niekoniecznie wymaga, aby rozmaitość była zorientowana, a nawet zorientowana. Bardziej ogólnie można opracować ogólną teorię miar Radona jako dystrybucyjne sekcje ${\ Displaystyle | \ Lambda | _ {M} ^ {1}}$ przy użyciu twierdzenia o reprezentacji Riesza-Markowa-Kakutaniego .

Zbiór 1/p -gęstości takich, że $}$${\ Displaystyle |\ phi |_ {p} = \ lewo (\ int |\ phi | ^ {p} \ prawej) ^ {1/p}<\$ infty jest ^której przestrzenią $p$ przestrzenią liniową uzupełnienie się M .

Konwencje

W niektórych obszarach, szczególnie w geometrii konforemnej , stosowana jest inna konwencja ważenia: wiązka s -gęstości jest zamiast tego powiązana z charakterem

${\ Displaystyle \ rho (A) = \ lewo | \ det A \ prawo | ^ {-s / n}.}$

Na przykład w tej konwencji integruje się n -gęstości (zamiast 1-gęstości). Również w tych konwencjach metryka konforemna jest identyfikowana z gęstością tensorową wagi 2.

Nieruchomości

• Podwójna wiązka wektorów ${\ Displaystyle | \ Lambda | _ {M} ^ {s}}$ jest ${\ Displaystyle | \ Lambda | _ {M} ^ {- s}}$ .
• Gęstości tensorowe to sekcje iloczynu tensorowego wiązki gęstości z wiązką tensorową.

•   Berline, Nicole; Getzler, Ezdrasz; Vergne, Michèle (2004), Heat Kernels and Dirac Operators , Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-20062-8 .
•   Folland, Gerald B. (1999), Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications (wyd. Drugie), ISBN 978-0-471-31716-6 , zawiera krótkie omówienie gęstości w ostatniej części. {{ cytowanie }} : CS1 maint: postscriptum ( link )
•    Nicolaescu, Liviu I. (1996), Wykłady z geometrii rozmaitości , River Edge, NJ: World Scientific Publishing Co. Inc., ISBN 978-981-02-2836-1 , MR 1435504
• Lee, John M (2003), Wprowadzenie do gładkich kolektorów , Springer-Verlag