Złożone mnożenie odmian abelowych
W matematyce mówi się , że odmiana abelowa A zdefiniowana na ciele K ma typ CM , jeśli ma wystarczająco duży przemienny podpierścień w swoim pierścieniu endomorfizmu End( A ). Zastosowana tutaj terminologia pochodzi z mnożenia zespolonego , która została opracowana dla krzywych eliptycznych w XIX wieku. Jednym z głównych osiągnięć algebraicznej teorii liczb i geometrii algebraicznej XX wieku było znalezienie poprawnych sformułowań odpowiedniej teorii dla rozmaitości abelowych wymiaru d > 1. Problem leży na głębszym poziomie abstrakcji, bo znacznie trudniej manipulować funkcjami analitycznymi kilku zmiennych zespolonych .
Formalna definicja jest taka
iloczyn tensorowy funkcji End ( A ) z polem liczb wymiernych Q powinien zawierać przemienny podpierścień wymiaru 2 d nad Q . Gdy d = 1 może to być tylko pole kwadratowe , a można znaleźć przypadki, w których End( A ) jest rzędem w wyimaginowanym polu kwadratowym . Dla d > 1 istnieją porównywalne przypadki dla pól CM , złożonych kwadratowych rozszerzeń całkowicie rzeczywistych pól . Istnieją inne przypadki, które odzwierciedlają, że A może nie być prostą rozmaitością abelową (na przykład może to być iloczyn kartezjański krzywych eliptycznych). Inną nazwą odmian abelowych typu CM są odmiany abelowe z wystarczającą liczbą złożonych multiplikacji .
Wiadomo, że jeśli K jest liczbą zespoloną, to każda taka A ma pole definicji , które w rzeczywistości jest polem liczbowym . Możliwe typy pierścieni endomorficznych zostały sklasyfikowane jako pierścienie z inwolucją ( inwolucja Rosati ), co doprowadziło do klasyfikacji odmian abelowych typu CM. Aby skonstruować takie rozmaitości w tym samym stylu, co krzywe eliptyczne, zaczynając od sieci Λ w C d , należy wziąć pod uwagę relacje Riemanna abelowej teorii rozmaitości.
Typ CM jest opisem działania (maksymalnego) przemiennego podpierścienia L końca Q ( A ) na holomorficznej przestrzeni stycznej A w elemencie tożsamości . Stosuje się teorię spektralną prostego rodzaju, aby pokazać, że L działa poprzez bazę wektorów własnych ; innymi słowy L ma działanie, które odbywa się za pośrednictwem diagonalnych macierzy na holomorficznych polach wektorowych na A . W prostym przypadku, gdy L samo w sobie jest polem liczbowym , a nie iloczynem pewnej liczby pól, typ CM jest wtedy listą złożonych osadzeń L . Jest ich 2 d , występujących w złożonych parach koniugatów; typ CM to wybór jednego z każdej pary. Wiadomo, że wszystkie takie możliwe typy CM mogą być zrealizowane.
Podstawowe wyniki Goro Shimury i Yutaki Taniyamy obliczają funkcję L Hassego-Weila A , pod względem typu CM i funkcję L Hecke'a o charakterze Hecke'a , z której wywodzi się typ nieskończoności . Uogólniają one wyniki Maxa Deuringa dla przypadku krzywej eliptycznej.
- Lang, Serge (1983), Mnożenie zespolone , Springer Verlag, ISBN 0-387-90786-6