Domysły Starka

W teorii liczb hipotezy Starka , wprowadzone przez Starka ( 1971 , 1975 , 1976 , 1980 ), a następnie rozszerzone przez Tate'a ( 1984 ), dostarczają przypuszczalnych informacji o współczynniku wiodącego wyrazu w rozwinięciu Taylora funkcji L Artina związanej z rozszerzeniem Galois K / k of pola liczb algebraicznych . Przypuszczenia uogólniają analityczny wzór na liczbę klas , wyrażający wiodący współczynnik szeregu Taylora dla funkcji zeta Dedekinda pola liczbowego jako iloczyn regulatora związanego z S-jednostkami pola i liczbą wymierną . Gdy K / k jest rozszerzeniem abelowym i kolejnością zanikania funkcji L w s = 0 to jeden, Stark udoskonalił swoje przypuszczenie, przewidując istnienie pewnych jednostek S, zwanych jednostkami Starka . Rubin ( 1996 ) i Cristian Dumitru Popescu rozszerzyli tę wyrafinowaną hipotezę na wyższe rzędy znikania.

Sformułowanie

Przypuszczenia Starka, w najbardziej ogólnej formie, przewidują, że wiodący współczynnik funkcji L Artina jest iloczynem typu regulatora, regulatora Starka , z liczbą algebraiczną . Kiedy rozszerzenie jest abelowe , a kolejność zanikania funkcji L w s = 0 wynosi jeden, wyrafinowana hipoteza Starka przewiduje istnienie jednostek Starka, których pierwiastki generują rozszerzenia Kummera K , które są abelowe nad polem podstawowym k (i nie tylko abel nad K , jak sugeruje teoria Kummera). Jako takie, to udoskonalenie jego hipotezy ma implikacje teoretyczne dla rozwiązania dwunastego problemu Hilberta . Możliwe jest również obliczenie jednostek Starka na konkretnych przykładach, co pozwala zweryfikować prawdziwość jego udoskonalonej hipotezy, a także zapewnia ważne narzędzie obliczeniowe do generowania abelowych rozszerzeń pól liczbowych. W rzeczywistości niektóre standardowe algorytmy obliczania abelowych rozszerzeń pól liczbowych obejmują tworzenie jednostek Starka, które generują rozszerzenia (patrz poniżej).

Obliczenie

Hipotezy zerowe pierwszego rzędu są używane w ostatnich wersjach systemu algebry komputerowej PARI/GP do obliczania pól klasy Hilberta pól liczb całkowitych, a hipotezy te dostarczają jednego rozwiązania dwunastego problemu Hilberta, który rzucił wyzwanie matematykom, aby pokazali, jak pola klas mogą być skonstruowane na dowolnym polu liczbowym metodami analizy złożonej .

Postęp

Główna hipoteza Starka została udowodniona w różnych szczególnych przypadkach, w tym w przypadku, gdy znak definiujący L -funkcję przyjmuje tylko wartości wymierne. Z wyjątkiem przypadków, gdy pole podstawowe jest ciałem liczb wymiernych lub urojonym polem kwadratowym , abelowe hipotezy Starka są nadal niepotwierdzone w polach liczbowych, a większy postęp poczyniono w polach funkcyjnych odmiany algebraicznej .

Manin ( 2004 ) powiązał przypuszczenia Starka z nieprzemienną geometrią Alaina Connesa . Zapewnia to ramy koncepcyjne do badania przypuszczeń, chociaż w tej chwili nie jest jasne, czy techniki Manina dostarczą faktycznego dowodu.

Ostatnie postępy poczynili Dasgupta i Kakde. [1]

Notatki

•    Burns, Dawid; Piaski, Jonathan; Salomon, Dawid, wyd. (2004), przypuszczenia Starka: ostatnie prace i nowe kierunki , Współczesna matematyka, tom. 358 , Providence , RI : Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne _ _ _ _ _ _
•    Manin, Yuri Ivanovich (2004), „Mnożenie rzeczywiste i nieprzemienna geometria (ein Alterstraum)”, w: Piene, Ragni; Laudal, Olav Arnfinn (red.), Dziedzictwo Nielsa Henrika Abla , Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , s. 685–727, arXiv : math / 0202109 , Bibcode : 2002math...... 2109M , ISBN 978 -3-540-43826-7 , MR 2077591
•    Popescu, Cristian D. (1999), „O wyrafinowanej hipotezie Starka dla pól funkcyjnych”, Compositio Mathematica , 116 (3): 321–367, doi : 10.1023 / A: 1000833610462 , ISSN 0010-437X , MR 1691163
•    Rubin, Karl (1996), „Przypuszczenie Starka nad Z dla abelowych funkcji L z wieloma zerami” , Annales de l'Institut Fourier , 46 (1): 33–62, doi : 10.5802 / aif.1505 , ISSN 0373- 0956 , MR 1385509
•    Stark, Harold M. (1971), „Wartości funkcji L przy s = 1. I. Funkcje L dla form kwadratowych”. , Advances in Mathematics , 7 (3): 301–343, doi : 10.1016 / S0001- 8708(71)80009-9 , ISSN 0001-8708 , MR 0289429
•    Stark, Harold M. (1975), „L-funkcje przy s = 1. II. Artin L-funkcje ze znakami wymiernymi”, Advances in Mathematics , 17 (1): 60–92, doi : 10.1016 / 0001-8708 ( 75)90087-0 , ISSN 0001-8708 , MR 0382194
•    Stark, HM (1977), „Pola klasowe i formy modułowe o wadze jeden”, w: Serre, Jean-Pierre ; Zagier, DB (red.), Modular Functions of One Variable V: Proceedings International Conference, University of Bonn, Sonderforschungsbereich Theoretische Mathematik, lipiec 1976 , Lecture Notes in Math, tom. 601, Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , s. 277–287, doi : 10.1007/BFb0063951 , ISBN 978-3-540-08348-1 , MR 0450243
•    Stark, Harold M. (1976), „L-funkcje przy s = 1. III. Całkowicie rzeczywiste pola i dwunasty problem Hilberta”, Advances in Mathematics , 22 (1): 64–84, doi : 10,1016 / 0001-8708 ( 76)90138-9 , ISSN 0001-8708 , MR 0437501
•    Stark, Harold M. (1980), „L-funkcje przy s = 1. IV. Pierwsze pochodne przy s = 0”, Postępy w matematyce , 35 (3): 197–235, doi : 10,1016/0001-8708 (80 )90049-3 , ISSN 0001-8708 , MR 0563924
•     Tate, John (1984), „Les conjectures de Stark sur les fonctions L d'Artin en s = 0” , Programowanie matematyczne , Progress in Mathematics , Boston, MA: Birkhäuser Boston, 47 (1–3): 143–153, doi : 10.1007/BF01580857 , ISBN 978-0-8176-3188-8 , MR 0782485 , S2CID 13291194

Linki zewnętrzne

• Hayes, David R. (1999), Lectures on Stark's Conjectures , zarchiwizowane z oryginału w dniu 4 lutego 2012 r. {{ cytowanie }} : CS1 maint: unfit URL ( link )