Kompletnie oderwana grupa

W matematyce całkowicie rozłączona grupa to grupa topologiczna , która jest całkowicie rozłączona . Takie grupy topologiczne są z konieczności Hausdorffem .

Ośrodki zainteresowań skupiają się na lokalnie zwartych , całkowicie odłączonych grupach (różnie określanych jako grupy typu td , grupy lokalnie profinite lub grupy td ). Przypadek zwarty był intensywnie badany – są to grupy profinite – ale przez długi czas niewiele było wiadomo o przypadku ogólnym. Twierdzenie van Dantziga z lat trzydziestych XX wieku, stwierdzające, że każda taka grupa zawiera zwartą podgrupę otwartą , było wszystkim, co było wiadomo. Następnie przełomowa praca George'a Willisa z 1994 roku otworzyła pole, pokazując, że każda lokalnie zwarta, całkowicie rozłączona grupa zawiera tak zwaną uporządkowaną podgrupę i specjalną funkcję jej automorfizmów , funkcję skali , dającą wymierny parametr dla struktury lokalnej. Postępy w globalnej strukturze całkowicie odłączonych grup uzyskali w 2011 roku Capprace i Monod , w szczególności klasyfikując grupy charakterystycznie proste i grupy noetherowskie .

Lokalnie zwarta obudowa

W lokalnie zwartej, całkowicie odłączonej grupie, każde sąsiedztwo tożsamości zawiera zwartą podgrupę otwartą. I odwrotnie, jeśli grupa jest taka, że tożsamość ma podstawę sąsiedztwa składającą się z zwartych otwartych podgrup, to jest lokalnie zwarta i całkowicie rozłączona.

Porządne podgrupy

Niech G będzie lokalnie zwartą, całkowicie odłączoną grupą, U $automorfizmem$ otwartą podgrupą G i ciągłym G .

Definiować:

{\ Displaystyle U_ {+} = \ bigcap _ {n \ geq 0} \ alfa ^ {n} (U)}

{\ Displaystyle U_ {-} = \ bigcap _ {n \ geq 0} \ alfa ^ {- n} (U)}

{\ Displaystyle U_ {++} = \bigcup _{n\geq 0}\alpha ^{n}(U_{+})}

{\ Displaystyle U_ {--} = \ bigcup _ {n \ geq 0} \ alfa ^ {- n} (U_ {-})}

Mówi się, że U jest uporządkowany wtedy i tylko wtedy, gdy $= U_ {-} U_ {+ }}$ $} U_ {-$ i ${\ Displaystyle U_ {++}}$ i ${\ Displaystyle U_ {--}}$ są zamknięte.

Funkcja skali

Indeks ${\ Displaystyle \ alfa (U_ {+})}$ w ${\ Displaystyle U_ {+}}$ jest skończony i niezależny od U , które jest uporządkowane dla $( U + ) {\ Displaystyle \ alfa (U_ {+})} alfa }$ . $Zdefiniuj$ funkcję ten Ograniczenie do automorfizmów wewnętrznych daje funkcję na G o interesujących właściwościach. Są to w szczególności:
s ${\ displaystyle s}$ na G przez ${\ Displaystyle s (x): = s (\ alfa _ {x})}$ gdzie ${\ Displaystyle \ alfa _ {x}}$ jest wewnętrznym $G$ na .

Nieruchomości

${\ displaystyle s}$ jest ciągły.
${\ Displaystyle s (x) = 1}$ , ilekroć x w G jest elementem zwartym.
${\ Displaystyle s (x ^ {n}) = s (x) ^ {n}}$ dla każdej nieujemnej liczby całkowitej ${\ displaystyle n}$ .
Funkcja modułowa na G jest dana przez ${\ Displaystyle \ Delta (x) = s (x) s (x ^ {- 1}) ^ {- 1}}$ .

Obliczenia i aplikacje

Funkcja skali została wykorzystana do udowodnienia hipotezy przez Hofmanna i Mukherję i została wyraźnie obliczona dla p-adycznych grup Liego i grup liniowych nad lokalnymi polami skośnymi przez Helge Glöcknera.

Notatki

van Dantzig, David (1936), "Zur topologischen Algebra. III. Brouwersche und Cantorsche Gruppen" , Compositio Mathematica , 3 : 408–426
Borel, Armand ; Wallach, Nolan (2000), Ciągła kohomologia, dyskretne podgrupy i reprezentacje grup redukcyjnych , Badania matematyczne i monografie, tom. 67 (wydanie drugie), Providence, Rhode Island: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-0851-1 , MR 1721403
Bushnell, Colin J.; Henniart, Guy (2006), Lokalna hipoteza Langlandsa dla GL(2) , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Podstawowe zasady nauk matematycznych], tom. 335, Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , doi : 10.1007/3-540-31511-X , ISBN 978-3-540-31486-8 , MR 2234120
Capprace, Pierre-Emmanuel; Monod, Nicolas (2011), „Rozkład lokalnie zwartych grup na proste elementy”, Math. proc. Cambridge Philos. soc. , 150 : 97–128, arXiv : 0811.4101 , Bibcode : 2011MPCPS.150...97C , doi : 10.1017/S0305004110000368 , MR 2739075
Cartier, Pierre (1979), „Reprezentacje grup $;$ : ankieta”, w Borel, Armand Casselman, William (red.), Formy automorficzne, reprezentacje i funkcje L (PDF) , Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, tom. 33, część 1, Providence, Rhode Island: American Mathematical Society , s. 111–155, ISBN 978-0-8218-1435-2 , MR 0546593
GA Willis - Struktura całkowicie rozłączonych, lokalnie zwartych grup , Mathematische Annalen 300, 341-363 (1994)