Problem z Whiteheadem

Nie należy mylić z twierdzeniem Whiteheada lub hipotezą Whiteheada .

W teorii grup , gałęzi algebry abstrakcyjnej , problemem Whiteheada jest następujące pytanie:

Czy każda grupa abelowa A z Ext ¹ ( A , Z ) = 0 jest wolną grupą abelową ?

Saharon Shelah udowodnił, że problem Whiteheada jest niezależny od ZFC , standardowych aksjomatów teorii mnogości.

Udoskonalenie

Załóżmy, że A jest grupą abelową taką, że każdy krótki ciąg dokładny

${\ Displaystyle 0 \ rightarrow \ mathbb {Z} \ rightarrow B \ rightarrow A \ rightarrow 0}$

musi się podzielić, jeśli B jest również abelowe. Następnie problem Whiteheada zadaje pytanie: czy A musi być wolne? To wymaganie podziału jest równoważne warunkowi Ext ¹ ( A , Z ) = 0. Grupy abelowe A spełniające ten warunek są czasami nazywane grupami Whiteheada , więc problem Whiteheada pyta: czy każda grupa Whiteheada jest wolna? Należy wspomnieć, że jeśli ten warunek jest wzmocniony przez wymaganie dokładnej kolejności

${\ Displaystyle 0 \ strzałka w prawo C \ strzałka w prawo B \ strzałka w prawo A \ strzałka w prawo 0}$

musi się rozdzielić dla dowolnej grupy abelowej C , to dobrze wiadomo, że jest to równoważne temu, że A jest wolne.

Uwaga : Odwrotność problemu Whiteheada, a mianowicie, że każda wolna grupa abelowa jest Whiteheadem, jest dobrze znanym faktem teorii grup. Niektórzy autorzy nazywają grupę Whiteheada tylko grupą niewolną A satysfakcjonujące Ext ¹ ( A , Z ) = 0. Problem Whiteheada pyta zatem: czy grupy Whiteheada istnieją?

Dowód Shelaha

Saharon Shelah wykazał, że biorąc pod uwagę kanoniczny system aksjomatów ZFC , problem jest niezależny od zwykłych aksjomatów teorii mnogości . Dokładniej wykazał, że:

• Jeśli każdy zbiór jest konstruowalny , to każda grupa Whiteheada jest wolna;
• Jeśli zarówno aksjomat Martina , jak i zaprzeczenie hipotezy kontinuum są spełnione, to istnieje niewolna grupa Whiteheada.

Ponieważ spójność ZFC implikuje spójność obu następujących elementów:

• Aksjomat konstruowalności (który twierdzi, że wszystkie zbiory są konstruowalne);
• Aksjomat Martina plus zaprzeczenie hipotezy continuum,

Problemu Whiteheada nie można rozwiązać w ZFC.

Dyskusja

JHC Whitehead , motywowany drugim problemem kuzyna , po raz pierwszy postawił problem w latach pięćdziesiątych. Stein odpowiedział twierdząco na to pytanie dla policzalnych . Postęp w przypadku większych grup był powolny, a problem był uważany za ważny w algebrze przez kilka lat.

Wynik Shelaha był zupełnie nieoczekiwany. Chociaż istnienie zdań nierozstrzygalnych było znane od twierdzenia Gödla o niezupełności z 1931 r., wszystkie poprzednie przykłady zdań nierozstrzygalnych (takie jak hipoteza kontinuum ) dotyczyły czystej teorii mnogości . Problem Whiteheada był pierwszym problemem czysto algebraicznym, którego nierozstrzygalność została udowodniona.

Shelah wykazał później, że problem Whiteheada pozostaje nierozstrzygalny, nawet jeśli przyjmie się hipotezę kontinuum. Hipoteza Whiteheada jest prawdziwa, jeśli wszystkie zbiory są konstruowalne . To, że to i inne twierdzenia o niezliczonych grupach abelowych są w sposób możliwy do udowodnienia niezależne od ZFC pokazuje, że teoria takich grup jest bardzo wrażliwa na zakładaną podstawową teorię mnogości .

Zobacz też

• Wolna grupa abelowa
• Skręcenie Whiteheada
• Lista stwierdzeń nierozstrzygalnych w ZFC
• Zdania prawdziwe w L

Dalsza lektura

•   Eklof, Paul C. (grudzień 1976). „Problem Whiteheada jest nierozstrzygalny” . Amerykański miesięcznik matematyczny . 83 (10): 775–788. doi : 10.2307/2318684 . JSTOR 2318684 . Ekspozycyjny opis dowodu Szelacha.
• Eklof, PC (2001) [1994], „Problem Whiteheada” , Encyklopedia matematyki , EMS Press