Aksjomat symetrii Freilinga

Aksjomat symetrii Freilinga ( $)$ to aksjomat mnogości zaproponowany przez Chrisa Freilinga . Opiera się na intuicji Stuarta Davidsona, ale stojąca za nią matematyka sięga czasów Wacława Sierpińskiego .

Niech ${\ Displaystyle A \ subseteq {\ mathcal {P}} ([0,1]) ^ {[0,1]}}$ oznacza zbiór wszystkich funkcji z ${\ Displaystyle [0,1]}$ do policzalnych podzbiorów ${\ Displaystyle [0,1]}$ . Aksjomat ${\ displaystyle {\ texttt {AX}}}$ stwierdza:

Dla każdego $∈$ x $}$$x \ nie \ w f (y)}$ takie, że i ${\ Displaystyle y \ nie \ w f (x)}$ .

$,$ że przy założeniach teorii mnogości ZFC równoznaczne z zaprzeczeniem hipotezy kontinuum (CH). Twierdzenie Sierpińskiego odpowiadało na pytanie Hugo Steinhausa i zostało udowodnione na długo przed ustanowieniem niepodległości CH przez Kurta Gödla i Paula Cohena .

Freiling twierdzi, że intuicja probabilistyczna zdecydowanie popiera tę propozycję, podczas gdy inni się z tym nie zgadzają. Istnieje kilka wersji aksjomatu, z których niektóre omówiono poniżej.

Argument Freilinga

Ustal funkcję f w A . Rozważymy eksperyment myślowy polegający na rzucaniu dwiema rzutkami w odstępie jednostkowym. Nie jesteśmy w stanie fizycznie określić z nieskończoną dokładnością rzeczywistych wartości trafionych liczb x i y . Podobnie pytanie, czy „ y jest w f ( x )” nie może być fizycznie obliczone. Niemniej jednak, jeśli f naprawdę jest funkcją, to to pytanie jest znaczące i będzie miało określoną odpowiedź „tak” lub „nie”.

Teraz poczekaj, aż po rzuceniu pierwszej rzutki x , a następnie oceń szanse, że druga rzutka y będzie w f ( x ). Ponieważ x jest teraz ustalone, f ( x ) jest ustalonym przeliczalnym zbiorem i ma miarę Lebesgue'a zero. Dlatego to zdarzenie, przy x , ma prawdopodobieństwo zerowe. Freiling dokonuje teraz dwóch uogólnień:

• Ponieważ możemy przewidzieć z wirtualną pewnością, że „ y nie jest w f ( x )” po rzuceniu pierwszej rzutki i ponieważ ta prognoza jest ważna bez względu na to, co zrobi pierwsza rzutka, powinniśmy być w stanie dokonać tej prognozy przed pierwszą rzucona jest strzałka. Nie oznacza to, że nadal mamy do czynienia z mierzalnym wydarzeniem, ale jest to raczej intuicja dotycząca natury bycia przewidywalnym.
• Ponieważ „ y nie jest w f ( x )” jest przewidywalnie prawdziwe, na podstawie symetrii kolejności rzucania rzutkami (stąd nazwa „aksjomat symetrii”) powinniśmy również być w stanie przewidzieć z wirtualną pewnością, że „ x nie jest w f ( y )”.

Aksjomat jest teraz uzasadniony w oparciu o zasadę, że $,$ gdy przeprowadzany jest ten eksperyment, powinno być przynajmniej możliwe. Stąd powinny istnieć dwie liczby rzeczywiste x , y takie, że x nie jest w f ( y ) i y nie jest w f ( x ).

Związek z (uogólnioną) hipotezą continuum

Napraw nieskończoną liczbę kardynalną ( np. $\ aleph _ {0} \,}$$Displaystyle$ . Niech ${\ Displaystyle {\ texttt {AX}} _ {\ kappa}. \,}$ być stwierdzeniem: nie ma mapy ${\ Displaystyle f: {\ mathcal { P}} (\ kappa) \ do {\ mathcal {P}} ({\ mathcal {P}} (\ kappa)} \,} od zestawów do zestawów o rozmiarze ≤ κ {\ Displaystyle \ leq$ \ $dla$ którego ${\ Displaystyle (\ forall {x, y \ in {\ mathcal {P}} (\ kappa)}) \,}$ albo ${\ Displaystyle x \ w f (y) \,}$ lub ${\ Displaystyle y \ w f (x) \,}$ .

Twierdzenie: ${\ Displaystyle {\ texttt {ZFC}} \ vdash 2 ^ {\ kappa} = \ kappa ^ {+} \ leftrightarrow \ neg {\ texttt {AX}} _ {\ kappa}. \,}$ .

Dowód: Część I ( ${\ Displaystyle \ Rightarrow \,}$ ):

Załóżmy, że ${\ Displaystyle 2 ^ {\ kappa} = \ kappa ^ {+} \,}$ . Wtedy istnieje bijekcja ${\ Displaystyle \ sigma: \ kappa ^ {+} \ do {\ mathcal {P}} (\ kappa) \,}$ . fa ${\ Displaystyle F: {\ mathcal {P}} (\ kappa) \ do {\ mathcal {P}} ({\ mathcal {P}} ($ zdefiniowane przez ${\ Displaystyle \ sigma (\ alfa) \ mapsto \ {\ sigma (\ beta): \ beta \ preceq \ alpha \ }\,}$ , łatwo zauważyć, że świadczy to o niepowodzeniu aksjomatu Freilinga.

Część II ( ${\ Displaystyle \ Leftarrow \,}$ ):

Załóżmy, że aksjomat Freilinga zawodzi. Następnie napraw trochę $aby$ zweryfikować ten fakt. Zdefiniuj relację porządku na ${\ Displaystyle {\ mathcal {P}} (\ kappa) \,}$ przez ${\ Displaystyle A \ leq _ {f} B}$ iff ${\ Displaystyle A \ w f (B)}$ . Ta relacja jest całkowita i każdy punkt $.$ poprzedników Zdefiniuj teraz ściśle rosnący łańcuch ${\ Displaystyle (A _ {\ alfa} \ in {\ mathcal {P}} (\ kappa)} _ {\ alfa <\ kappa$ w następujący sposób: na każdym etapie wybierz ${\ Displaystyle A _ {\ alfa} \ in {\ mathcal {P}} (\ kappa) \setminus \bigcup _{\xi <\alpha }f(A_{\xi})}$ . Proces ten można przeprowadzić, ponieważ dla każdej liczby porządkowej $alfa} f (A_ {\ xi}) \,}$ ξ $)$$bigcup _ {\ xi$$leq \ kappa \,}$ κ { $\$ ; zatem ma rozmiar $}$ jest ścisłym podzbiorem $)\,}$${\ Displaystyle {\ mathcal {P$ . Mamy również, że ta sekwencja jest kofinalna w określonej kolejności, tj. Każdy członek jest P. $) \,}$$\,}$$kappa$ trochę ${\ Displaystyle A _ {\ alfa} \,}$ . (W przeciwnym razie, jeśli $}$ ≤ $\ leq _ {f}$ trochę ${ \displaystyle A_ {\ alfa}}$ , to ponieważ kolejność jest całkowita $\}$${\ Displaystyle (\ forall {\ alfa <\ kappa ^ {+}}) A_ {\ alfa} \$$leq$$B$ co sugeruje, ma wielu poprzedników; .) $↦$ ten możemy ${\ Displaystyle B \ mapsto \ nazwa operatora {min} \ {\ alfa <\ kappa ^ {+}: B \ w f (A _ {\ alfa}) \}}$ . ${\ Displaystyle {\ mathcal {P}} (\ kappa) = \ bigcup _ {\ alfa$ α sumą ${\ Displaystyle \ kappa ^ {+} \,}$ wiele zestawów, każdy o rozmiarze ${\ Displaystyle \ leq \ kappa \,}$ . Stąd ${\ Displaystyle 2 ^ {\ kappa} \ równoważnik \ kappa ^ {+} \ cdot \ kappa = \ kappa ^ {+} \,}$ .

 

 

 

 

${\ Displaystyle \ blacksquare}$ (roszczenie)

Zauważ, że ${\ Displaystyle |[0,1]|=|{\ mathcal {P}} (\ aleph _ {0})|\,}$ abyśmy mogli łatwo zmienić kolejność rzeczy, aby uzyskać ${\ Displaystyle \ neg {\ texttt {CH}}\Leftrightarrow \,}$ wspomniana wyżej postać aksjomatu Freilinga.

Powyższe można uściślić: ${\ Displaystyle {\ texttt {ZF}} \ vdash ({\ texttt {AC}} _ ​​{{\ mathcal { P}}(\kappa)}+\neg {\texttt {AX}}_{\kappa})\leftrightarrow {\texttt {CH}}_{\kappa}\,}$ . Pokazuje to (wraz z faktem, że hipoteza kontinuum jest niezależna od wyboru) w precyzyjny sposób, w jaki (uogólniona) hipoteza kontinuum jest rozszerzeniem aksjomatu wyboru.

Sprzeciw wobec argumentacji Freilinga

Argument Freilinga nie jest powszechnie akceptowany z powodu dwóch następujących problemów (których Freiling był świadomy i omówił je w swoim artykule).

• Naiwna probabilistyczna intuicja używana przez Freilinga milcząco zakłada , że ​​istnieje dobrze wychowany sposób powiązania prawdopodobieństwa z dowolnym podzbiorem liczb rzeczywistych. Ale matematyczna formalizacja pojęcia prawdopodobieństwa posługuje się pojęciem miary , jednak aksjomat wyboru implikuje istnienie podzbiorów niemierzalnych, nawet z przedziału jednostkowego. Przykładami tego są paradoks Banacha-Tarskiego i istnienie zbiorów Vitali .
• Niewielka odmiana jego argumentacji powoduje sprzeczność z aksjomatem wyboru, czy przyjmuje się hipotezę kontinuum, czy nie, jeśli zastąpi się policzalną addytywność prawdopodobieństwa addytywnością dla kardynałów mniejszych niż kontinuum. (Freiling użył podobnego argumentu, aby stwierdzić, że aksjomat Martina jest fałszywy). Nie jest jasne, dlaczego intuicja Freilinga miałaby mieć mniejsze zastosowanie w tym przypadku, jeśli w ogóle ma zastosowanie. ( Maddy 1988 , s. 500) Tak więc argument Freilinga wydaje się być bardziej argumentem przeciwko możliwości dobrego uporządkowania liczb rzeczywistych niż przeciwko hipotezie kontinuum.

Połączenie z teorią grafów

Korzystając z faktu, że w ZFC mamy ${\ Displaystyle 2 ^ {\ kappa} = \ kappa ^ {+} \ Leftrightarrow \ neg {\ texttt {AX}} _ {\ kappa} \,}$ (patrz wyżej ), nietrudno zauważyć, że niepowodzenie aksjomatu symetrii - a tym samym sukces ${\ Displaystyle 2 ^ {\ kappa} = \ kappa ^ {+} \ ,}$ — jest równoważne następującej zasadzie kombinatorycznej dla grafów:

• Kompletny wykres na $może$ prowadzi co najwyżej -wielu $węzłów$

W przypadku przekłada się to na: ${\ Displaystyle \ kappa = \ aleph _ {0} \,}$

• Pełny graf na okręgu jednostkowym można tak skierować, aby każdy węzeł prowadził do co najwyżej przeliczalnie wielu węzłów.

Zatem w kontekście ZFC niepowodzenie aksjomatu Freilinga jest równoznaczne z istnieniem określonego rodzaju funkcji wyboru.

•    Freiling, Chris (1986), „Aksjomaty symetrii: rzucanie rzutkami na linię liczb rzeczywistych”, Journal of Symbolic Logic , 51 (1): 190–200, doi : 10,2307/2273955 , JSTOR 2273955 , MR 0830085
•    Maddy, Penelope (1988), „Wierząc w aksjomaty. I”, Journal of Symbolic Logic , 53 (2): 481–511, doi : 10.2307/2274520 , JSTOR 2274520 , MR 0947855
•   Mumford, David (2000), „Nadejście ery stochastyczności”, w: V. Arnold, P. Lax; B. Mazur, M. Atiyah (red.), Matematyka: granice i perspektywy , Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, s. 197–218, MR 1754778
•   Sierpiński, Wacław (1956) [1934], Hypothèse du continu , New York, NY: Chelsea Publishing Company, MR 0090558
•   Simms, John C. (1989), „Tradycyjne zasady Cavalieri zastosowane do współczesnego pojęcia powierzchni”, Journal of Philosophical Logic , 18 (3): 275–314, doi : 10.1007 / BF00274068 , MR 1008850