Hipoteza liczby pojedynczej kardynałów

W teorii mnogości hipoteza liczby pojedynczej kardynałów (SCH) powstała z pytania, czy najmniejsza liczba kardynalna , dla której hipoteza uogólnionego kontinuum (GCH) może zawieść, może być liczbą pojedynczą .

Według Mitchella (1992) hipoteza liczby pojedynczej kardynałów brzmi:

Jeśli κ jest dowolną pojedynczą silną granicą kardynalną , to 2 ^κ = κ ⁺ .

Tutaj κ ⁺ oznacza następcę kardynała κ .

Ponieważ SCH jest konsekwencją GCH, o którym wiadomo, że jest zgodny z ZFC , SCH jest zgodny z ZFC. Wykazano również, że negacja SCH jest zgodna z ZFC, jeśli założy się istnienie wystarczająco dużej liczby kardynalnej. W rzeczywistości, na podstawie wyników Moti Gitik , ZFC + negacja SCH jest równoznaczna z istnieniem ZFC + mierzalnego kardynała κ rzędu Mitchella κ ⁺⁺ .

Inną formą SCH jest następujące stwierdzenie:

2 ^{cf( κ )} < κ implikuje κ ^{cf( κ )} = κ ⁺ ,

gdzie cf oznacza funkcję kofinalności . Zauważ, że κ ^{cf( κ )} = 2 ^κ dla wszystkich pojedynczych silnych kardynałów κ . Drugie sformułowanie SCH jest ściślejsze niż pierwsza wersja, ponieważ pierwsza wspomina tylko o silnych granicach. Z modelu , w którym pierwsza wersja SCH zawodzi przy ℵ _ω i GCH utrzymuje się powyżej ℵ _ω+2 , możemy skonstruować model, w którym pierwsza wersja SCH zachodzi, ale druga wersja SCH zawodzi, dodając podzbiory ℵ _{ω Cohena} do ℵ _n dla pewnego n .

Jack Silver udowodnił, że jeśli κ jest liczbą pojedynczą z nieprzeliczalną kofinalnością i 2 ^λ = λ ⁺ dla wszystkich nieskończonych kardynałów λ < κ , to 2 ^κ = κ ⁺ . Oryginalny dowód Silvera wykorzystywał ogólne ultramoce. Z twierdzenia Silvera wynika następujący ważny fakt: jeśli hipoteza liczby pojedynczej kardynałów obowiązuje dla wszystkich kardynałów liczby pojedynczej o przeliczalnej współfinalności, to dotyczy wszystkich kardynałów liczby pojedynczej. W szczególności wtedy, jeśli ${\ displaystyle \ kappa}$ jest najmniejszym kontrprzykładem dla hipotezy liczby pojedynczej kardynałów, więc do $(\ kappa) = \ operatorname {\ omega}}$ .

Zaprzeczenie hipotezy pojedynczych kardynałów jest ściśle związane z naruszeniem GCH na mierzalnym kardynale. Dobrze znanym wynikiem Dany Scott jest to, że jeśli GCH utrzymuje się poniżej mierzalnego kardynała $kappa$ zbiorze miary jeden - tj. istnieje normalny -kompletny ultrafiltr D na ${\ Displaystyle {\ mathcal {P}} (\ kappa)}$$}$ takie, że ${\ Displaystyle \ {\ alfa <\ kappa \ środek 2 ^ {\ alfa} = \ alfa ^ {+} \} \ w D}, a następnie$ 2 $\ Displaystyle 2 ^ { \kappa }=\kappa ^{+}}$ . Zaczynając od $kardynała , Silver był$$w$ stanie stworzyć model teorii mnogości, w którym mierzalny i w którym ${\ Displaystyle 2 ^ {\ kappa}> \ kappa ^ {+}}$ . Następnie, stosując wymuszenie Prikry $silnym$ mierzalnego , otrzymuje się model teorii mnogości, w którym $} \displaystyle 2^{\kappa }>\kappa ^{+}}$ policzalnej kofinalności iw którym $\ displaystyle \ kappa$ — naruszenie SCH. Gitik , opierając się na pracy Woodina , był w stanie zastąpić superkompakt w dowodzie Silvera z mierzalnością rzędu Mitchella ${\ displaystyle \ kappa ^ {++}}$ . To ustaliło górną granicę siły spójności awarii SCH. $,$ , korzystając z wyników teorii modeli wewnętrznych , że mierzalny kardynał rzędu Mitchella jest również dolną granicą siły niepowodzenia SCH.

Szeroka gama propozycji implikuje SCH. Jak zauważono powyżej, GCH implikuje SCH. Z drugiej strony, właściwy aksjomat wymuszający , który implikuje, $a$ zatem jest niezgodny z GCH Solovay wykazał ${\ displaystyle \ kappa}$ że duże kardynały prawie implikują SCH - w szczególności, jeśli jest silnie zwartym kardynałem $,$ to SCH utrzymuje się powyżej . Z drugiej strony, nieistnienie (wewnętrznych modeli) różnych dużych kardynałów (poniżej mierzalnego kardynała rzędu Mitchella $również$ .

• Thomas Jech : Właściwości funkcji gimel i klasyfikacja liczby pojedynczej kardynałów , Fundamenta Mathematicae 81 (1974): 57-64.
• William J. Mitchell, „O hipotezie liczby pojedynczej kardynalnej”, tłum. Amer. Matematyka soc. , tom 329 (2): s. 507–530, 1992.
• Jason Aubrey, The Singular Cardinals Problem ( PDF ), raport wyjaśniający VIGRE, Wydział Matematyki Uniwersytetu Michigan .