Algebra kwaternionów

W matematyce algebra kwaternionów nad ciałem F jest centralną prostą algebrą A nad F , która ma wymiar 4 nad F. Każda algebra kwaternionów staje się algebrą macierzową poprzez rozszerzenie skalarów (równoważnie tensorowanie z rozszerzeniem pola ), czyli dla odpowiedniego rozszerzenia pola K od F , jest izomorficzna z algebrą macierzy 2 × 2 nad K. ${\ displaystyle A \ otimes _ {F} K$ }

Pojęcie algebry kwaternionów można postrzegać jako uogólnienie kwaternionów Hamiltona na dowolne ciało podstawowe. Kwaterniony Hamiltona są algebrą kwaternionów (w powyższym znaczeniu) i rzeczywiście jedyną ponad 2 × ${\ displaystyle F =$ $mathbb {R}}$ 2 rzeczywista algebra macierzy, aż do izomorfizmu. Kiedy , wówczas bikwaterniony tworzą algebrę kwaternionów na $= \ mathbb {C}}$ \ displaystyle F. _

Struktura

Algebra kwaternionów oznacza tutaj coś bardziej ogólnego niż algebra kwaternionów Hamiltona . Gdy pole współczynnikowe F nie ma charakterystyki 2, każdą algebra kwaternionów nad F można opisać jako 4-wymiarową przestrzeń F - wektorową o podstawie. ${\ displaystyle \ {1, i, j, k\}}$ , z następującymi regułami mnożenia:

{\ Displaystyle i ^ {2} = a}

{\ Displaystyle jot ^ {2} = b}

{\ displaystyle ij = k}

\ displaystyle ji =-k}

gdzie aib są dowolnymi niezerowymi elementami F . Z tych reguł otrzymujemy:

displaystyle k ^ {2} = ijij = -iijj = -ab}

Klasyczne przypadki, w których to $kwaterniony$ Hamiltona ( a = b = -1) i kwaterniony ( a -1, = +1). $= +1$ podzielonych kwaternionach i , różniących od równań Hamiltona, $^ {2}$

Tak zdefiniowaną algebrę oznaczamy ( a , b ) _F lub po prostu ( a , b ). Gdy F ma cechę 2, możliwy jest również inny wyraźny opis w oparciu o bazę 4 elementów, ale w każdym razie definicja algebry kwaternionów na F jako 4-wymiarowej centralnej prostej algebry na F ma jednolite zastosowanie do wszystkich cech.

Algebra kwaternionów ( a , b ) _F jest albo algebrą dzielenia , albo izomorficzną z algebrą macierzy macierzy 2 × 2 nad F ; ten drugi przypadek nazywany jest podziałem . Forma normalna

{\ Displaystyle N (t + xi + yj + zk) = t ^ {2} -ax ^{2}-by^{2}+abz^{2}\ }

definiuje strukturę algebry dzielenia wtedy i tylko wtedy, gdy norma jest anizotropową formą kwadratową , czyli zero tylko na elemencie zerowym. Stożkowy C ( a , b ) zdefiniowany przez

{\ displaystyle topór ^ {2} + przez ^ {2} = z ^ {2} \ }

ma punkt ( x , y , z ) o współrzędnych w F w przypadku podziału.

Aplikacja

Algebry kwaternionów są stosowane w teorii liczb , zwłaszcza do form kwadratowych . Są to konstrukcje betonowe, które generują elementy rzędu drugiego w grupie Brauera F . W przypadku niektórych ciał, w tym pól liczb algebraicznych , każdy element rzędu 2 w swojej grupie Brauera jest reprezentowany przez algebrę kwaternionów. Z twierdzenia Aleksandra Merkurjewa wynika, że każdy element rzędu 2 w grupie Brauera dowolnego ciała jest reprezentowany przez iloczyn tensorowy algebr kwaternionów. W szczególności w przypadku pól p -adycznych konstrukcję algebr kwaternionów można postrzegać jako kwadratowy symbol Hilberta z teorii pola klas lokalnych .

Klasyfikacja

Frobeniusa głosi , że istnieją tylko dwie rzeczywiste algebry kwaternionów: macierze 2 × 2 na liczbach rzeczywistych i rzeczywiste kwaterniony Hamiltona.

W podobny sposób nad dowolnym ciałem lokalnym F istnieją dokładnie dwie algebry kwaternionów: macierze 2 × 2 nad F i algebra dzielenia. Ale algebra podziału kwaternionów na ciele lokalnym zwykle nie jest kwaternionami Hamiltona na ciele. Na przykład na p -adycznych kwaterniony Hamiltona są algebrą dzielenia tylko wtedy, gdy p wynosi 2. Dla nieparzystej liczby pierwszej p , p -adyczne kwaterniony Hamiltona są izomorficzne z macierzami 2 × 2 nad p -adicy. Aby zobaczyć, że p -adyczne kwaterniony Hamiltona nie są algebrą dzielenia dla nieparzystej liczby pierwszej p , zauważ, że kongruencja x ² + y ² = -1 mod p jest rozwiązywalna i dlatego, zgodnie z lematem Hensela — tutaj potrzebne jest p jako nieparzyste — równanie

x ² + y ² = −1

jest rozwiązywalny w liczbach p -adycznych. Dlatego kwaternion

xi + yj + k

ma normę 0 i dlatego nie ma odwrotności multiplikatywnej .

Jednym ze sposobów klasyfikacji klas izomorfizmu F -algebry wszystkich algebr kwaternionów dla danego ciała F jest użycie zgodności jeden do jednego pomiędzy klasami izomorfizmu algebr kwaternionów nad F i klasami izomorfizmu ich postaci normowych .

Do każdej algebry kwaternionów A można skojarzyć postać kwadratową N (zwaną formą normową ) na A taką, że

{\ displaystyle N (xy) = N (x) N (y)}

dla wszystkich x i y w A . Okazuje się, że możliwe formy norm dla kwaternionów F -algebr są dokładnie 2-formami Pfistera .

Algebry kwaternionów nad liczbami wymiernymi

rozszerzeń kwadratowych , ale bardziej skomplikowaną $mają$ nad liczbami wymiernymi teorię arytmetyczną podobną do teorii .

Niech $będzie$ algebrą kwaternionów nad ${Q}}$ $niech$ i będzie miejscem z $albo$ $mathbb {Q}}$ z zakończeniem (więc są to albo liczby p -adyczne dla jakiejś liczby pierwszej p ${\ displaystyle \ mathbb {Q} _ {p$ liczby rzeczywiste $} styl wyświetlania \mathbb {R} }$ ). Zdefiniuj ${\ displaystyle B _ {\ nu}: = \ mathbb {Q} _ {\ nu} \ otimes _ {\ mathbb {Q}} B}, który jest algebrą kwaternionów$ nad ${\ displaystyle \ mathbb {Q} _ {\ nu}$ } Istnieją więc dwie $:$ $macierze$ 2 × 2 algebrą

Mówimy, że $mathbb {Q} _{\nu }}$ ${$ ( lub nierozgałęziony ) w $przypadku$ , gdy jest izomorficzny z macierzami 2 × 2 przez $}$ $displaystyle$ \ . Mówimy, że B nie jest podzielone (lub rozgałęzione ) w przypadku $}}$ gdy $nu$ jest algebrą dzielenia $.$ Na przykład racjonalne kwaterniony Hamiltona nie są podzielone na 2 i na $.$ podzielone na wszystkich nieparzystych liczbach pierwszych Wymierne macierze 2 × 2 są podzielone we wszystkich miejscach.

Algebra kwaternionów nad wymiernymi, która dzieli się na $,$ $,$ analogiczna do prawdziwego ciała kwadratowego a ta, która nie jest podzielona na jest analogiczna do wyimaginowanego ciała kwadratowego . Analogia pochodzi z pola kwadratowego z rzeczywistymi osadzaniami, gdy minimalny wielomian generatora rozdziela się na wartości rzeczywiste, a w przeciwnym razie z osadzaniami nierzeczywistymi. Jedna ilustracja siły tej analogii dotyczy grup jednostek w porządku racjonalnej algebry kwaternionów: jest nieskończony, jeśli algebra kwaternionów dzieli się na ^{[ potrzebne ,} $źródło]$ a w przeciwnym razie jest skończona ^{[ potrzebne źródło ] , tak} grupa jednostek rzędu w kwadracie pierścień jest nieskończony w prawdziwym przypadku kwadratowym, a w przeciwnym razie skończony.

Liczba miejsc, w których algebra kwaternionów rozgałęzia się na wymierne, jest zawsze parzysta, co jest równoważne kwadratowemu prawu wzajemności na wymiernych. Co więcej, miejsca, w których B rozgałęzia się, wyznaczają B aż do izomorfizmu jako algebry. (Innymi słowy , nieizomorficzne algebry kwaternionów nad wymiernymi nie mają tego samego zestawu rozgałęzionych miejsc.) Iloczyn liczb pierwszych, w których B rozgałęzia się, nazywany jest dyskryminatorem B .

Zobacz też

Notatki

Gille, Philippe; Szamuely, Tamás (2006). Centralne algebry proste i kohomologia Galois . Studia Cambridge w zakresie zaawansowanej matematyki. Tom. 101. Cambridge: Cambridge University Press . doi : 10.1017/CBO9780511607219 . ISBN 0-521-86103-9 . Zbl 1137.12001 .
Lam, Tsit-Yuen (2005). Wprowadzenie do form kwadratowych nad polami . Studia podyplomowe z matematyki . Tom. 67. Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne . ISBN 0-8218-1095-2 . MR 2104929 . Zbl 1068.11023 .

Dalsza lektura

Knus, Max-Albert; Merkurjew, Aleksander ; Rost, Markus ; Tignol, Jean-Pierre (1998). Księga inwolucji . Publikacje kolokwium. Tom. 44. Ze wstępem J. Cycka. Providence, RI: Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne . ISBN 0-8218-0904-0 . MR 1632779 . Zbl 0955.16001 .
Maclachlan, Colin; Ried, Alan W. (2003). Arytmetyka hiperbolicznych 3-rozmaitości . Nowy Jork: Springer-Verlag. doi : 10.1007/978-1-4757-6720-9 . ISBN 0-387-98386-4 . MR 1937957 . Zobacz rozdział 2 (Algebry kwaternionów I) i rozdział 7 (Algebry kwaternionów II).
Chisholm, Hugh, wyd. (1911). „Algebra” . Encyclopædia Britannica (wyd. 11). Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge. ( Zobacz sekcję dotyczącą kwaternionów. )
Algebra kwaternionów w Encyklopedii matematyki .