Transfer Artina (teoria grup)

W matematycznej dziedzinie teorii grup przeniesienie Artina jest pewnym homomorfizmem z dowolnej skończonej lub nieskończonej grupy do grupy ilorazów komutatora podgrupy o skończonym indeksie. Pierwotnie takie odwzorowania powstały jako teoretyczne odpowiedniki grup homomorfizmów rozszerzeń klas abelowych rozszerzeń algebraicznych pól liczbowych poprzez zastosowanie map wzajemności Artina do idealnych grup klas i analizę powstałych homomorfizmów między ilorazami grup Galois. Jednak niezależnie od zastosowań teorii liczb, ostatnio okazało się, że częściowy porządek jąder i celów transferów Artina jest zgodny z relacjami rodzic-potomek między skończonymi grupami p (z liczbą pierwszą p ), co można zwizualizować w potomku drzewa . Dlatego transfery Artina stanowią cenne narzędzie do klasyfikacji skończonych p oraz do wyszukiwania i identyfikowania poszczególnych grup w drzewach potomnych poprzez poszukiwanie wzorców zdefiniowanych przez jądra i cele transferów Artina. Te strategie rozpoznawania wzorców są przydatne w kontekście czysto teorii grup, a także w zastosowaniach w algebraicznej teorii liczb dotyczących grup Galois wyższych pól klasy p i wież polowych klasy p Hilberta .

Przekroje podgrupy

Niech $grupą$ i $skończonym$ podgrupą ${\ Displaystyle n.}$

Definicje. Lewy poprzeczny w $ldots, g_ {n$ uporządkowanym systemem przedstawicieli $g_$$)$ } dla lewych zestawów w takim, że $}$$\ displaystyle H$

${\ Displaystyle G = \ bigsqcup _ {i = 1} ^ {n} g_ {i} H.}$

Podobnie prawe poprzeczne w ${\ Displaystyle (d_ {1}, \ ldots, d_$ uporządkowanym systemem $n$ { $}$ } przedstawiciele właściwych zestawów w taki sposób, że $\ displaystyle$$H }$

${\ Displaystyle G = \ bigsqcup _ {i = 1} ^ {n} Hd_ {i}.}$

Uwaga. ${\ displaystyle H}$$w$ istnieje unikalny indeks dolny taki, że $równoważnik n$$styl wyświetlania g_{i_{0}}\w H}$$H$ , wzgl. ${\ Displaystyle d_ {i_ {0}} \ w H}$ . Oczywiście ten element z indeksem dolnym $,$ reprezentuje główny zestaw (tj. samą podgrupę $)$ może, ale nie musi być zastąpiony $. styl wyświetlania 1}$ .

Lemat. Niech będzie grupą nieabelową z podgrupą $H}$$displaystyle$ . Następnie elementy odwrotne lewego poprzecznego ( $\ Displaystyle (g_ {1} ^ {-1}, \ ldots, g_ {n} ^ {-1})$${\ Displaystyle (g_ {1}, \ ldots, g_ {n})}$ z ${\ Displaystyle H}$ w ${\ Displaystyle G}$ tworzą prawą poprzeczkę ${\ Displaystyle H }$ w ${\ displaystyle G}$ . Co $displaystyle$ , jeśli jest $to$ podgrupą , każda lewa poprzeczna jest również prawą poprzeczną w $H$$}$ .

Dowód.

${\ Displaystyle G = G ^ {-1} = \ bigsqcup _ {i = 1} ^ {n} (g_ {i} H) ^ {-1} = \ bigsqcup _ {i = 1} ^ {n} H ^ {-1} g_ {i} ^ {-1} = \ bigsqcup _ {i = 1} ^ {n} Hg_ {i} ^ {-1}.} Dla normalnej podgrupy mamy H {$

odwzorowanie jest inwolucją $,$$sol$ : 1

\ displaystyle $}$${\ Displaystyle xH = Hx}$ dla każdego ${\ Displaystyle x \ w G}$ .

Musimy sprawdzić, kiedy obraz poprzecznej pod homomorfizmem jest również poprzecznym.

Propozycja. Niech ${\ Displaystyle \ phi: G \ do K}$ będzie homomorfizmem grupy i będzie ${\ Displaystyle (g_ {1}, \ ldots, g_ {n})$ } $displaystyle G}$ poprzeczne podgrupy w sol $\$ o skończonym indeksie ${\ displaystyle n.}$ Następujące dwa warunki są równoważne:

• ${\ Displaystyle (\ phi (g_ {1}), \ ldots, \ phi (g_ {n})}}$ jest lewą poprzeczną podgrupą $\ Displaystyle \ phi (H)$${\ Displaystyle (\ phi (G): \ phi (H)) = n.}$$sol$ skończonym indeksie
• ${\ Displaystyle \ ker (\ fi) \ równoważnik H.}$

Dowód. Jako mapowanie zbiorów $odwzorowuje$ związek na inny związek

$\ Displaystyle \ phi (G) = \ phi \ lewo (\ bigcup _ {i = 1} ^ {n} g_ {i} H \ prawej) = \ bigcup _{i=1}^{n}\phi (g_{i}H)=\bigcup _{i=1}^{n}\phi (g_{i})\phi (H)} ale$

osłabia równość dla przecięcia z inkluzją trywialną:

${\ Displaystyle \ pusty zestaw = \ phi (\ pusty zestaw) = \ phi (g_ {i} H \ cap g_ {j} H) \ subseteq \ phi (g_ {i} H) \ cap \ phi (g_ {j} H )=\phi (g_{i})\phi (H)\cap \phi (g_{j})\phi (H),\qquad i\neq j.} Załóżmy, że dla$

pewnych ${ \ Displaystyle 1 \ równoważnik i \ równoważnik j \ równoważnik n}$ :

${\ Displaystyle \ phi (g_ {i}) \ phi (H ) \ cap \ phi (g_ {j}) \ phi (H) \ neq \ emptyset }$

wtedy istnieje elementy ${\ Displaystyle h_ {i}, h_ {j} \ in H}$ takie, że

${\ Displaystyle \ phi (g_ {i}) \ phi (h_ {i}) = \ phi (g_ {j}) \ phi (h_{j})}$

Wtedy mamy:

$\ displaystyle {\begin{wyrównane}\phi (g_{i})\phi (h_{i})=\phi (g_{j})\phi (h_{j})&\Longrightarrow \phi (g_{j} )^{-1}\phi (g_{i})\phi (h_{i})\phi (h_{j})^{-1}=1\\&\Longrightarrow \phi \left(g_{j }^{-1}g_{i}h_{i}h_{j}^{-1}\right)=1\\&\Longrightarrow g_{j}^{-1}g_{i}h_{i} h_{j}^{-1}\in \ker(\phi )\\&\Longrightarrow g_{j}^{-1}g_{i}h_{i}h_{j}^{-1}\in H&&\ker(\phi )\leq H\\&\Longrightarrow g_{j}^{-1}g_{i}\in H&&h_{i}h_{j}^{-1}\in H\\&\ Longrightarrow g_ {i} H = g_ {j} H \\&\ Longrightarrow i = j \ koniec {wyrównane}}} I$

odwrotnie, jeśli ${\ Displaystyle \ ker (\ phi) \ nsubseteq H}$ wtedy istnieje ${\ Displaystyle x \ w G \ setminus H}$ takie, że ${\ Displaystyle \ phi (x) = 1.}$ Ale homomorfizm odwzorowuje ${\ Displaystyle \ phi}$ rozłączne cosets ${\ Displaystyle x \ cdot H \ cap 1 \ cdot H = \ pusty zbiór}$ równe cosets:

${\ Displaystyle \ phi (x) \ phi (H) \ cap \ phi (1) \ phi (H) = 1 \ cdot \ phi (H) \ cap 1 \ cdot \ phi (H) = \ phi (H) .}$

Uwaga. Podkreślamy ważną równoważność zdania we wzorze:

${\ Displaystyle (1) \quad \ker(\phi )\leq H\quad \Longleftrightarrow \quad {\begin{przypadki}\phi (G)=\bigsqcup _{i=1}^{n}\phi (g_{i})\ phi (H)\\(\phi (G):\phi (H))=n\end{przypadki}}}$

Reprezentacja permutacji

Załóżmy, że ${\ Displaystyle (g_ {1}, \ ldots, g_ {n})}$ jest lewą poprzeczną podgrupy o skończonym indeksie ${\ Displaystyle H}$ o indeksie skończonym ${\ Displaystyle n}$ w grupie ${\ Displaystyle G}$ . Stały element powoduje powstanie unikalnej permutacji lewych cosetów $in S_ {$$Displaystyle \$$pi _ {x}$$H}$ w lewym mnożeniu tak, że: ${\ displaystyle G}$

${\ Displaystyle (2) \ quad \ forall i \ in \ {1, \ ldots, n \}: \ qquad xg_ {i} H = g _ {\ pi _ {x} (i)} H \ Longrightarrow xg_ {i }\w g_{\pi _{x}(i)}H.}$

Korzystając z tego, definiujemy zestaw elementów zwanych jednomianami związanymi z ${\ displaystyle x}$ w odniesieniu do ${\ Displaystyle (g_ {1}, \ ldots, g_ {n})}$ :

${\ Displaystyle \ forall i \ in \ {1, \ ldots, n \}: \ qquad u_ {x} (i): = g _ {\ pi _ {x} (i)} ^ {-1} xg_ {i }\w H.}$

$Displaystyle$ , jeśli prawą poprzeczną z $H}$ \ $}$ to $x$ element powoduje powstanie unikalnej permutacji prawych cosets ${\ Displaystyle \ rho _ {x} \ in$$S_$$H}$ w prawym mnożeniu tak, że: ${\ displaystyle G}$

${\ Displaystyle (3) \ quad \ forall i \ w \ {1, \ ldots, n \}: \ qquad Hd_ {i} x = Hd_ {\ rho _ {x} (i)} \ Longrightarrow d_ {i} x\w Hd_{\rho _{x}(i)}.}$

I definiujemy jednomiany związane z ${\ displaystyle x}$ w odniesieniu do ${\ Displaystyle (d_ {1}, \ ldots, d_ {n})}$ :

${\ Displaystyle \ forall i \ in \ {1, \ ldots, n \}: \ qquad w_ {x} (i): = d_ {i} xd_ {\ rho _ {x} (i)} ^ {- 1 }\w H.}$

Definicja. Mapowania:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {przypadki} G \ do S_ {n} \\ x \ mapsto \ pi _ {x} \ koniec {przypadków} }\qquad {\begin{przypadki}G\do S_{n}\\x\mapsto \rho _{x}\end{przypadki}}}$

nazywane są reprezentacją permutacji w grupie symetrycznej względem $g_ {n})}$$) {\$$\$$(g_ {1}, \ ldots , sol {$ i odpowiednio ${\ Displaystyle (d_ {1}, \ ldots, d_ {n})}$

Definicja. Mapowania:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {przypadki} G \ do H ^ {n} \ razy S_ {n} \\ x \ mapsto (u_ {x} (1), \ ldots, u_ {x} (n);\pi _{x})\end{przypadki}}\qquad {\begin{przypadki}G\do H^{n}\razy S_{n}\\x\mapsto (w_{x}( 1),\ldots ,w_{x}(n);\rho _{x})\end{przypadki}}}$

nazywane $)$ reprezentacją jednomianową w odniesieniu $_ {1}, \ ldots, g_ {n})}$$…$ i ${\ Displaystyle (d_ {1}, \ ldots, d_ {n})}$ odpowiednio.

Lemat. Dla prawego poprzecznego ${\ Displaystyle (g_ {1} ^ {-1}, \ ldots, g_ {n} ^ {- 1})}$ związanego z lewym poprzecznym ${\ Displaystyle (g_ {1}, \ ldots, g_ {n})}$ , mamy następujące relacje między jednomianami i permutacjami odpowiadającymi elementowi ${\ Displaystyle x \ w G}$ :

${\ Displaystyle (4) \ quad {\ rozpocząć {przypadki} w_ {x ^ { -1}}(i)=u_{x}(i)^{-1}&1\równoważnik i\równoważnik n\\\rho _{x^{-1}}=\pi _{x}\koniec{ przypadki}}}$

Dowód. $_$ prawej _ ${\ Displaystyle w_ {x} (i) = g_ {i} ^ {- 1} xg_ {\ rho _ {x} (i)}}$ dla każdy ${\ Displaystyle 1 \ równoważnik ja \ równoważnik n}$ lewego poprzecznego $mamy$

.

${\ Displaystyle \ forall i \ in \ {1, \ ldots, n \}: \ qquad u_ {x} (i) ^ {-1} = \ lewo (g_ {\ pi _ {x} (i)} ^ {-1}xg_{i}\right)^{-1}=g_{i}^{-1}x^{-1}g_{\pi _{x}(i)}=g_{i}^ {-1}x^{-1}g_{\rho _{x^{-1}}(i)}=w_{x^{-1}}(i).} Zależność ta pokazuje jednocześnie, że dla$

dowolnego ${\ Displaystyle x \ in G}$ , reprezentacje permutacji i związane z nimi jednomiany są połączone przez ${\ Displaystyle \ rho _ {x ^ {- 1}} = \ pi _ {x} }$ i ${\ Displaystyle w_ {x ^ {- 1}} (i) = u_ {x} (i) ^ {- 1}}$ dla każdego ${\ Displaystyle 1 \ równoważnik ja \ równoważnik n}$ .

Transfer Artina

Definicje. Niech $grupą$ i podgrupą o $indeksie$${\ Displaystyle n.}$ Załóżmy, że ${\ Displaystyle (g) = (g_ {1}, \ ldots, g_ {n})}$ jest lewą poprzeczną ${\ displaystyle n.} displaystyle H}$ w takiej postaci , że ${\ displaystyle G}$ z powiązaną reprezentacją permutacji ${\ Displaystyle \ pi _ {x}: G \ do S_ {n}}$

${\ Displaystyle \ forall i \ in \ {1, \ ldots, n \}: \ qquad u_ {x} (i): = g _ {\ pi _ {x} (i)} ^ {-1} xg_ {i }\w H.}$

Podobnie niech ${\ Displaystyle (d) = (d_ {1}, \ ldots, d_ {n})}$ będzie prawą poprzeczną ${\ Displaystyle H}$ w ${\ Displaystyle G}$ z powiązaną reprezentacją permutacji taką, że ${\ Displaystyle \ rho _ {x}: G \ do S_ {n}}$

${\ Displaystyle \ forall i \ in \ {1, \ ldots, n \}: \ qquad w_ {x} (i): = d_ {i} xd_ {\ rho _ {x} (i)} ^ {- 1 }\w H.}$

T sol ${\ Displaystyle T_ {G, H} ^ {(g)}: G \ do H/H'}$ do ${\ Displaystyle (g_ {1}, \ ldots, g_ {n})}$ jest zdefiniowany jako:

${\ Displaystyle (5) \ quad \ forall x \ w G: \ qquad T_ {G, H} ^ {(g)} (x): = \ prod _ {i = 1} ^ {n} g_ {\ pi _{x}(i)}^{-1}xg_{i}\cdot H'=\prod _{i=1}^{n}u_{x}(i)\cdot H'.}$

Podobnie definiujemy:

${\ Displaystyle (6) \ quad \ forall x \ w G: \ qquad T_ {G, H} ^ {(d)} (x): = \ prod _ {i = 1} ^ {n} d_ {i} xd_{\rho _{x}(i)}^{-1}\cdot H'=\prod _{i=1}^{n}w_{x}(i)\cdot H'.}$

Uwagi. Isaacs wywołuje mapowania

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {przypadki} P: G \ do H\\x\mapsto \prod _{i=1}^{n}u_{x}(i)\end{cases}}\qquad {\begin{cases}P:G\to H\\x\mapsto \prod _{i=1}^{n}w_{x}(i)\end{przypadki}}}$

transfer wstępny z do ${$$\ displaystyle H$ } Przeniesienie wstępne można złożyć z homomorfizmem z grupy abelowej $A}$${\ Displaystyle$ bardziej ogólnej wersji $\ phi: H \ do$ przeniesienie z do za pośrednictwem $displaystyle$$w$$phi} ,$ książce Gorensteina.

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {przypadki} (\ phi \ circ P): G \ do A \\ x \ mapsto \ prod _ {i = 1} ^ {n} \ phi (u_ {x} (i)) \ end{cases}}\qquad {\begin{cases}(\phi \circ P):G\to A\\x\mapsto \prod _{i=1}^{n}\phi (w_{x}( i))\end{przypadki}}}$

Biorąc naturalny epimorfizm

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {przypadki} \ phi: H \ do H / H '\\ v \ mapsto vH' \ koniec {przypadków}}}$

daje poprzednią definicję transferu Artina $.$ jego oryginalnej formie przez Schura i Emila Artina, został również nazwany Hasse Należy zauważyć, że generalnie przeniesienie wstępne nie jest niezależne ani od homomorfizmu poprzecznego, ani od homomorfizmu grupowego.

Niezależność poprzeczna

Propozycja. Przeniesienia Artina w odniesieniu do dowolnych dwóch $lewych$$w$ pokrywają .

Dowód. Niech ${\ Displaystyle (\ ell) = (\ ell _ {1}, \ ldots, \ ell _ {n})}$ i ${\ Displaystyle (g) = (g_ {1}, \ ldots, g_ {n})} być$ lewymi poprzecznymi z ${\ Displaystyle H}$ w ${\ Displaystyle G}$ unikalna permutacja $n$ ,

.

${\ Displaystyle \ forall i \ in \ {1, \ ldots, n \}: \ qquad g_ {i} H = \ ell _ {\ sigma (i)} H.} Konsekwentnie$

:

$}$

${\ Displaystyle \ forall i \ in \ {1, \ ldots, n \}, \ istnieje h_ {i} \ in H: \ qquad g_ {i} h_ {i} = \ ell _ {\ sigma (i)}$

Dla stałego elementu $G$ unikalna permutacja $}$ , że:

${\ Displaystyle \ forall i \ in \ {1, \ ldots, n \}: \ qquad \ ell _ {\ lambda _ {x} (\ sigma (i))} H = x \ ell _ {\ sigma (i )}H=xg_{i}h_{i}H=xg_{i}H=g_{\pi _{x}(i)}H=g_{\pi _{x}(i)}h_{\pi _ {x} (i)} H = \ ell _ {\ sigma (\ pi _ {x} (i))} H.} Dlatego reprezentacja permutacji sol$

{ $Displaystyle G}$ w odniesieniu do ${\ Displaystyle (\ ell _ {1}, \ ldots, \ ell _ {n})}$ jest podane przez ${\ Displaystyle \ lambda _ {x} \ circ \sigma =\sigma \circ \pi _{x}}$ co daje: ${\ Displaystyle \ lambda _ {x} = \ sigma \ circ \ pi _ {x} \ circ \ sigma ^ {-1} \ in S_ {n}.} Ponadto, dla połączenia między dwoma elementami$ :

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} v_ {x} (i)&:=\ell _{\lambda _{x}(i)}^{-1}x\ell _{i}\in H\\u_{x}(i)&:=g_{\ pi _{x}(i)}^{-1}xg_{i}\w H\end{wyrównane}}} mamy$

:

${\ Displaystyle \ forall i \ in \ {1, \ ldots, n \}: \ qquad v_ {x} (\ sigma (i)) = \ ell _ {\ lambda _ {x} (\ sigma (i)) }^{-1}x\ell _{\sigma (i)}=\ell _{\sigma (\pi _{x}(i))}^{-1}xg_{i}h_{i}= \left(g_{\pi _{x}(i)}h_{\pi _{x}(i)}\right)^{-1}xg_{i}h_{i}=h_{\pi _{ x}(i)}^{-1}g_{\pi _{x}(i)}^{-1}xg_{i}h_{i}=h_{\pi _{x}(i)}^ {-1} u_ {x} (i) h_ {i}.}$

Wreszcie, ponieważ ${\ Displaystyle H / H'}$ jest abelowe i ${\ Displaystyle \ sigma}$ i ${\ Displaystyle \ pi _ {x}}$ są permutacjami, transfer Artina okazuje się niezależny od lewego poprzecznego:

${\ Displaystyle T_{G,H}^{(\ell )}(x)=\prod _{i=1}^{n}v_{x}(\sigma (i))\cdot H'=\prod _{i =1}^{n}h_{\pi _{x}(i)}^{-1}u_{x}(i)h_{i}\cdot H'=\prod _{i=1}^{ n}u_{x}(i)\prod _{i=1}^{n}h_{\pi _{x}(i)}^{-1}\prod _{i=1}^{n} h_{i}\cdot H'=\prod _{i=1}^{n}u_{x}(i)\cdot 1\cdot H'=\prod _{i=1}^{n}u_{ x}(i)\cdot H'=T_{G,H}^{(g)}(x),}$

jak określono we wzorze (5).

Propozycja. $w$ Artina w odniesieniu do dowolnych dwóch prawych $przekrojów$ pokrywają .

Dowód. Podobnie jak poprzednia propozycja.

Propozycja. Artin przenosi się względem ${\ Displaystyle (g ^ {-1}) = (g_ {1} ^ {- 1}, \ ldots g_ {n} ^ {-1})}$ i ${\ Displaystyle (g) = (g_ {1}, \ ldots, g_ {n})}$ pokrywają się.

Dowód. $ze$ ) i abelowym, mamy:

${\ Displaystyle T_ {G, H} ^ {(g ^ {-1})} (x) = \ prod _ {i = 1} ^ {n} g_ {i} ^ {-1} xg_ {\ rho _ {x}(i)}\cdot H'=\prod _{i=1}^{n}w_{x}(i)\cdot H'=\prod _{i=1}^{n}u_{ x^{-1}}(i)^{-1}\cdot H'=\left(\prod _{i=1}^{n}u_{x^{-1}}(i)\cdot H '\right)^{-1}=\left(T_{G,H}^{(g)}\left(x^{-1}\right)\right)^{-1}=T_{G, H}^{(g)}(x).}$

Ostatni krok jest uzasadniony tym, że przeniesienie Artina jest homomorfizmem. Zostanie to pokazane w następnej sekcji.

Następstwo. Przeniesienie Artina jest niezależne od wyboru przekrojów poprzecznych i zależy tylko od $H }$ sol $\ displaystyle$ .

Transfery Artina jako homomorfizmy

Twierdzenie. Niech ${\ Displaystyle (g_ {1}, \ ldots, g_ {n})}$ będzie lewym poprzecznym z ${\ displaystyle H}$ w ${\ displaystyle G}$ . Transfer Artina

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {przypadki} T_ {G, H}: G \to H/H'\\x\mapsto \prod _{i=1}^{n}g_{\pi _{x}(i)}^{-1}xg_{i}\cdot H'\end {sprawy}}}$

i reprezentacja permutacji:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {przypadki} G \ do S_ {n} \\ x \ mapsto \ pi _ {x} \ koniec {przypadków}}}$

są homomorfizmami grupowymi:

${\ Displaystyle (7) \ quad \ forall x, y \ w G: \ qquad T_ {G, H} (xy) = T_ {G, H} (x) \ cdot T_ {G, H} (y) \ quad {\text{i}}\quad \pi _{xy}=\pi _{x}\circ \pi _{y}.}$

Dowód

Niech ${\ displaystyle x, y \ w G}$ :

${\ Displaystyle T_ {G, H} (x) \ cdot T_ {G, H} (y) = \ prod _ {i = 1} ^ {n} g _ {\ pi _ {x} (ja )}^{-1}xg_{i}H'\cdot \prod _{j=1}^{n}g_{\pi _{y}(j)}^{-1}yg_{j}\cdot H'}$

Ponieważ jest abelowe i jest $\ displaystyle H$ , możemy zmienić kolejność czynników w iloczynie: $/H' }$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ prod _ {i = 1} ^ {n} g _ {\ pi _ {x} (i)} ^ {- 1} xg_ { i}H'\cdot \prod _{j=1}^{n}g_{\pi _{y}(j)}^{-1}yg_{j}\cdot H'&=\prod _{j =1}^{n}g_{\pi _{x}(\pi _{y}(j))}^{-1}xg_{\pi _{y}(j)}H'\cdot \prod _{j=1}^{n}g_{\pi _{y}(j)}^{-1}yg_{j}\cdot H'\\&=\prod _{j=1}^{n }g_{\pi _{x}(\pi _{y}(j))}^{-1}xg_{\pi _{y}(j)}g_{\pi _{y}(j)} ^{-1}yg_{j}\cdot H'\\&=\prod _{j=1}^{n}g_{(\pi _{x}\circ \pi _{y})(j) )}^{-1}xyg_{j}\cdot H'\\&=T_{G,H}(xy)\end{wyrównane}}}$

Relacja ta jednocześnie pokazuje, że przeniesienie Artina i reprezentacja permutacji są homomorfizmami.

Pouczające jest ponowne przedstawienie właściwości homomorfizmu transferu Artina w kategoriach reprezentacji jednomianowej . Obrazy czynników są podane przez ${\ displaystyle x, y}$

${\ Displaystyle T_ {G, H} (x) = \ prod _ {i = 1} ^ {n} u_ {x} (i) \ cdot H '\ quad {\ tekst {i}} \ quad T_ {G ,H}(y)=\prod _{j=1}^{n}u_{y}(j)\cdot H'.}$

$się$ okazał produktu

${\ Displaystyle T_ {G, H} (xy) = \ prod _ {j = 1} ^ {n} g_ {\ pi _{x}(\pi _{y}(j))}^{-1}xg_{\pi _{y}(j)}g_{\pi _{y}(j)}^{-1} yg_{j}\cdot H'=\prod _{j=1}^{n}u_{x}(\pi _{y}(j))\cdot u_{y}(j)\cdot H'}$ ,

co jest bardzo osobliwym prawem składu, omówionym bardziej szczegółowo w następnej sekcji.

Prawo przypomina skrzyżowane homomorfizmy $\ Displaystyle \ operatorname {H} ^ {1} ($ pierwszej grupie kohomologii $)$ { $\ Displaystyle G}$ M $\ Displaystyle M}$ , które mają właściwość ${\ Displaystyle u_ {xy} = u_ {x} ^ {y} \ cdot u_ {y}}$ dla ${\ Displaystyle x, y \ w G}$ .

Wieniec iloczyn H i S ( n )

Osobliwe struktury, które powstały w poprzedniej sekcji, można również zinterpretować, nadając iloczynowi kartezjańskiemu specjalne prawo składu znane jako produkt wieńcowy $razy S_ {n}}$${\ Displaystyle H \ wr S_ {n}}$ grup ${\ displaystyle H}$ i ${\ Displaystyle S_ {n}}$ w odniesieniu do zbioru ${\ Displaystyle \ {1, \ ldots, n \}.}$

Definicja. Dla ${\ displaystyle x, y \ in G}$ iloczyn wieńca powiązanych jednomianów i permutacji jest określony wzorem

${\ Displaystyle (8) \ quad (u_ {x} (1), \ ldots, u_ {x} (n); \ pi _ {x}) \ cdot (u_ {y} (1), \ ldots, u_ {y}(n);\pi _{y}):=(u_{x}(\pi _{y}(1))\cdot u_{y}(1),\ldots,u_{x}( \pi _{y}(n))\cdot u_{y}(n);\pi _{x}\circ \pi _{y})=(u_{xy}(1),\ldots,u_{ xy}(n);\pi _{xy}).}$

Twierdzenie. Z tym prawem składu na jednomianowej reprezentacji ${\ Displaystyle H ^ {n} \ razy S_ {n}}$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {przypadki} G \ do H \ wr S_ {n} \\ x \ mapsto (u_{x}(1),\ldots,u_{x}(n);\pi _{x})\end{przypadki}}}$

jest homomorfizmem iniekcyjnym.

Dowód

Własność homomorfizmu została już pokazana powyżej. Aby homomorfizm był iniekcyjny, wystarczy wykazać trywialność jego jądra. Neutralny element grupy $obdarzony$ produktem wieńca jest określony przez $)}$$,$$1$ gdzie ostatnia oznacza permutację tożsamości. Jeśli ${\ Displaystyle (u_ {x} (1), \ ldots, u_ {x} (n ); \ pi _ {x}) = (1, \ ldots, 1; 1)}$ , dla pewnego wtedy x $\ Displaystyle x \ w G}$${\ Displaystyle \ pi _ {x} =1}$ iw konsekwencji

${\ Displaystyle \ forall i \ in \ {1, \ ldots, n \}: \ qquad 1 = u_ {x} (i) = g _ {\ pi _ {x} (i)} ^ {-1} xg_ { i}=g_{i}^{-1}xg_{i}.}$

$Wreszcie$ zastosowanie odwrotnego automorfizmu wewnętrznego z $z$ , zgodnie

Uwaga. Jednomianowa reprezentacja twierdzenia kontrastuje z reprezentacją permutacyjną, która nie może być iniekcyjna, jeśli ${\ Displaystyle | G |> n!.}$

Uwaga. Podczas gdy Huppert używa reprezentacji jednomianowej do zdefiniowania przeniesienia Artina, my wolimy podać bezpośrednie definicje we wzorach (5) i (6) i jedynie zilustrować właściwość homomorfizmu przeniesienia Artina za pomocą reprezentacji jednomianowej.

Kompozycja transferów Artina

Twierdzenie. Niech $będzie$ grupą z zagnieżdżonymi $G:H)=n,(H:K)=m}$ taką $sol$${$ i ${\ Displaystyle (G: K) = (G: H) \ cdot (H: K) = nm <\ infty.}$ Wtedy transfer Artina jest złożony z ${\ Displaystyle T_ {G, K}}$ transfer indukowany T $\ Displaystyle {\ tylda {T}} _ {H, K}: H / H '\ do K / K'}$ i transfer Artina ${\ Displaystyle T_ {G, H}}$ , czyli:

${\ Displaystyle (9) \ quad T_ {G, K} = {\ tylda {T}} _ {H, K} \ circ T_ { G, H}}$ .

Dowód

Jeśli ${\ Displaystyle (g_ {1}, \ ldots, g_ {n})}$ jest lewym poprzecznym ${\ Displaystyle H$$}$ w ${\ Displaystyle (h_ {1}, \ ldots, h_ {m})}$ jest lewym poprzecznym ${\ Displaystyle K}$ w ${\ Displaystyle H}$ , czyli ${\ Displaystyle G = \ sqcup _ {i = 1} ^ {n} g_ {i} H} i$ H. $\ Displaystyle H = \ sqcup _ {j = 1}^{m}h_{j}K}$ , zatem

${\ Displaystyle G = \ bigsqcup _ {i = 1} ^ {n} \ bigsqcup _ {j = 1} ^ {m} g_ {i} h_{j}K}$

jest rozłączną lewą dekompozycją cosetu względem $displaystyle$$K}$ .

$y \ in H}$ elementy i ${\ Displaystyle$ , istnieją unikalne permutacje $}}$${\ Displaystyle \ pi _ {x} \ in S_$ i takie, że ${\ Displaystyle \ sigma _ {y} \ w S_ {m}}$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} u_ {x} (i) i: = g _ {\ pi _ {x} (i)} ^ {- 1} xg_ {i} \ w H & & {\ tekst {dla wszystkich}}1\leq i\leq n\\v_{y}(j)&:=h_{\sigma _{y}(j)}^{-1}yh_{j}\in K&&{\ tekst{dla wszystkich}}1\równik j\równoważnik m\koniec{wyrównany}}}$

Następnie, przewidując definicję transferu indukowanego, mamy

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} T_ {G, H} (x) & = \ prod _ {i = 1} ^ {n} u_ {x} (i) \ cdot H '\\ { \tylda {T}}_{H,K}(y\cdot H')&=T_{H,K}(y)=\prod _{j=1}^{m}v_{y}(j) \cdot K'\end{wyrównane}}}$

Dla każdej pary indeksów dolnych i ${\ Displaystyle 1 \ równoważnik i \ równoważnik n}$${\ Displaystyle y_ {i}: = u_ {x} (i)}$ 1 $\ Displaystyle 1 \ równoważnik j \ równoważnik m}$ ja i otrzymujemy

${\ styl wyświetlania xg_{i}h_{j}=g_{\pi _{x}(i)}g_{\pi _{x}(i)}^{-1}xg_{i}h_{j}=g_{ \pi _{x}(i)}u_{x}(i)h_{j}=g_{\pi _{x}(i)}y_{i}h_{j}=g_{\pi _{x }(i)}h_{\sigma _{y_{i}}(j)}h_{\sigma _{y_{i}}(j)}^{-1}y_{i}h_{j}=g_ {\ pi _ {x} (i)} h_ {\ sigma _ {y_ {i}} (j)} v_ {y_ {i}} (j),}$

odp.

${\ Displaystyle h _ {\ sigma _ {y_ {i}} (j)} ^ {-1} g _ {\ pi _ {x} (i)} ^ {- 1} xg_ {i} h_ {j} = v_ {y_{i}}(j).}$

Dlatego obraz pod transferem Artina $jest$ przez ${\ Displaystyle T_ {G, K}}$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane }T_{G,K}(x)&=\prod _{i=1}^{n}\prod _{j=1}^{m}v_{y_{i}}(j)\cdot K' \\&=\prod _{i=1}^{n}\prod _{j=1}^{m}h_{\sigma _{y_{i}}(j)}^{-1}g_{ \pi _{x}(i)}^{-1}xg_{i}h_{j}\cdot K'\\&=\prod _{i=1}^{n}\prod _{j=1 }^{m}h_{\sigma _{y_{i}}(j)}^{-1}u_{x}(i)h_{j}\cdot K'\\&=\prod _{i= 1}^{n}\prod _{j=1}^{m}h_{\sigma _{y_{i}}(j)}^{-1}y_{i}h_{j}\cdot K' \\&=\prod _{i=1}^{n}{\tylda {T}}_{H,K}\left(y_{i}\cdot H'\right)\\&={\tylda {T}}_{H,K}\left(\prod _{i=1}^{n}y_{i}\cdot H'\right)\\&={\tylda {T}}_{H ,K}\left(\prod _{i=1}^{n}u_{x}(i)\cdot H'\right)\\&={\tylda {T}}_{H,K}( T_{G,H}(x))\end{wyrównane}}}$

Na koniec chcemy podkreślić strukturalną specyfikę reprezentacji jednomianowej

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {przypadki} G \ do K ^ {n\cdot m}\times S_{n\cdot m}\\x\mapsto (k_{x}(1,1),\ldots ,k_{x}(n,m);\gamma _{x} )\end{przypadki}}}$

co odpowiada złożeniu transferów Artina, definiując

${\ Displaystyle k_ {x} (i, j): = \left((gh)_{\gamma _{x}(i,j)}\right)^{-1}x(gh)_{(i,j)}\in K}$

dla permutacji ${\ Displaystyle \ gamma _ {x} \ w S_ {n \ cdot m}}$ i używając notacji symbolicznej ${\ Displaystyle (gh) _ {(i, j)}: = g_ {i} h_ {j}}$ dla wszystkich par indeksów dolnych ${\ Displaystyle 1 \ równoważnik i \ równoważnik n}$ , ${\ Displaystyle 1 \ równoważnik j \ równoważnik m}$ .

Pokazał to poprzedni dowód

${\ Displaystyle k_ {x} (i, j) = h _ {\ sigma _ {y_ {i}} (j)} ^ {- 1} g _ {\ pi _ {x} (i)} ^ {- 1} xg_{i}h_{j}.}$

Dlatego działanie permutacji na zbiorze ${$$] {\ Displaystyle [1, n] \ razy [1, m]} wynosi γ x {\ Displaystyle \ gamma$ x γ $(\ pi _ {x} ( i),\sigma _{u_{x}(i)}(j))}$ . Działanie na drugim składniku $od$${\ Displaystyle \ sigma _ {u_ {x} (i) } \ in S_ {m}}$ składnika poprzez permutację ) $)$ ), podczas gdy działanie na pierwszy składnik jest niezależne od drugiego składnika $}$$\ displaystyle j$ . Dlatego permutację można zidentyfikować za pomocą multipletu ${\ Displaystyle \ gamma _ {x} \ w S_ {n \ cdot m}}$

${\ Displaystyle (\ pi _ {x}; \ sigma _ {u_ {x} (1) },\ldots ,\sigma _{u_{x}(n)})\in S_{n}\times S_{m}^{n},}$

które zostaną zapisane w przekręconej formie w następnej sekcji.

Wieniec iloczyn S ( m ) i S ( n )

Permutacje , które powstały jako drugie składniki reprezentacji jednomianowej ${\ Displaystyle \ gamma _ {x}}$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {przypadki} G \ do K \ wr S_ { n\cdot m}\\x\mapsto (k_{x}(1,1),\ldots ,k_{x}(n,m);\gamma _{x})\end{przypadki}}}$

w poprzedniej sekcji, są bardzo szczególnego rodzaju. Należą do stabilizatora naturalnego ekwipartycji zbioru $]}$$m$ , n] \ razy [1, odpowiednia macierz (tablica prostokątna). Korzystając ze specyfiki składu transferów Artina w poprzedniej sekcji, pokazujemy, że ten ${\ Displaystyle S_ {m}}$ izomorficzny z iloczynem wieńca grup symetrycznych ${\ Displaystyle S_ {m} \ wr S_ {n}}$$zbioru,$ n $}$ w odniesieniu do którego ${\ Displaystyle S_ {m} ^ {n} \ razy S_ {n}}$ jest obdarzony następującym prawem składu :

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} (10) \ quad \ dla wszystkich x, z \in G:\qquad \gamma _{x}\cdot \gamma _{z}&=(\sigma _{u_{x}(1)},\ldots ,\sigma _{u_{x}(n) };\pi _{x})\cdot (\sigma _{u_{z}(1)},\ldots,\sigma _{u_{z}(n)};\pi _{z})\\ &=(\sigma _{u_{x}(\pi _{z}(1))}\circ \sigma _{u_{z}(1)},\ldots ,\sigma _{u_{x}( \pi _{z}(n)}}\circ \sigma _{u_{z}(n)};\pi _{x}\circ \pi _{z})\\&=(\sigma _{ u_{xz}(1)},\ldots ,\sigma _{u_{xz}(n)};\pi _{xz})\\&=\gamma _{xz}\end{wyrównane}}}$

Re ${\ Displaystyle D (g \ circ f) (x)$ sol $złożeniu$ g dla Frécheta w funkcji różniczkowalnych $displaystyle f : E \ do F}$ i ${\ Displaystyle g: F \ do G}$ między kompletnymi znormalizowanymi przestrzeniami sol .

Powyższe rozważania ustalają trzecią reprezentację, reprezentację stabilizatora ,

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {przypadki} G \ do S_ {m} \ wr S_ { n}\\x\mapsto (\sigma _{u_{x}(1)},\ldots,\sigma _{u_{x}(n)};\pi _{x})\end{przypadki}} }$

grupy w produkcie $i$$,$ permutacji jednomianowa _ _ _ W przeciwieństwie do tego ostatniego, reprezentacja stabilizatora generalnie nie może być iniekcyjna. Na przykład z pewnością nie, jeśli $jest$ . Formuła (10) dowodzi następującego twierdzenia.

Twierdzenie. Reprezentacja stabilizatora

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {przypadki} G \ do S_ {m} \ wr S_{n}\\x\mapsto \gamma _{x}=(\sigma _{u_{x}(1)},\ldots,\sigma _{u_{x}(n)};\pi _ {x})\end{przypadki}}}$

grupy w produkcie $jest$$_$

Dekompozycja cyklu

Niech ${\ Displaystyle (g_ {1}, \ ldots, g_ {n})}$ będzie lewym poprzecznym podgrupy ${\ Displaystyle H}$ indeksu skończonego ${\ Displaystyle n}$$powiązaną$ grupie $i$ reprezentacją _

Twierdzenie. Załóżmy, że permutacja rozkłada się na parami rozłączne (a więc dojeżdżające) cykle $zeta _ {1}, \ ldots,$$…$ długościach ${\ Displaystyle f_ {1}, \ ldots f_ {t},},$ który jest unikalny aż do uporządkowania cykli. Załóżmy, że wyraźniej

${\ Displaystyle (11) \ quad \ lewo (g_ {j} H, g _ {\ zeta _ {j} (j)} H, g_ {\zeta _{j}^{2}(j)}H,\ldots,g_{\zeta_{j}^{f_{j}-1}(j)}H\right)=\left(g_ {j}H,xg_{j}H,x^{2}g_{j}H,\ldokropki,x^{f_{j}-1}g_{j}H\prawo),}$

dla ${\ Displaystyle 1 \ równoważnik j \ równoważnik t}$ i ${\ Displaystyle f_ {1} + \ cdots + f_ {t} = n.}$ Wtedy obraz pod przeniesieniem Artina jest określony przez ${\ Displaystyle x \ in G}$

${\ Displaystyle (12) \ quad T_ {G, H} (x) = \ prod _ {j = 1} ^ {t} g_ {j} ^ {- 1} x ^ {f_ {j}} g_ {j }\cdot H'.}$

Dowód

$\ Displaystyle \ ell _ {j, k}: = x ^ {k} g_ {j}}$ jot ≤ $\ Displaystyle 0 \ równoważnik k \ leq f_ {j} -1}$ i ${\ Displaystyle 1 \ równoważnik j \ równoważnik t}$ . Jest to lewe poprzeczne od ${\ displaystyle H}$ w sol $\ displaystyle G}$

${\ Displaystyle (13) \ quad G = \ bigsqcup _ {j = 1} ^ {t} \ bigsqcup _ {k = 0}^{f_{j}-1}x^{k}g_{j}H}$

jest rozłącznym rozkładem na $H}$ cosets $displaystyle$ .

Ustal wartość ${\ Displaystyle 1 \ równoważnik j \ równoważnik t}$ . Następnie:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} x \ ell _ {j, k} i = xx ^ { k}g_{j}=x^{k+1}g_{j}=\ell _{j,k+1}\in \ell _{j,k+1}H&&\forall k\in \{0 ,\ldots ,f_{j}-2\}\\x\ell _{j,f_{j}-1}&=xx^{f_{j}-1}g_{j}=x^{f_{ j}}g_{j}\in g_{j}H=\ell _{j,0}H\end{wyrównane}}}$

Definiować:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} u_ {x} (j, k) i: = \ ell _ { j,k+1}^{-1}x\ell _{j,k}=1\in H&&\forall k\in \{0,\ldots ,f_{j}-2\}\\u_{x }(j,f_{j}-1)&:=\ell _{j,0}^{-1}x\ell _{j,f_{j}-1}=g_{j}^{-1 }x^{f_{j}}g_{j}\w H\end{wyrównane}}}$

W konsekwencji,

${\ Displaystyle T_ {G, H} (x) = \ prod _ {j = 1} ^ {t} \ prod _ {k = 0} ^ {f_ {j} -1} u_ {x} (j, k )\cdot H'=\prod _{j=1}^{t}\left(\prod _{k=0}^{f_{j}-2}1\right)\cdot u_{x}(j ,f_{j}-1)\cdot H'=\prod _{j=1}^{t}g_{j}^{-1}x^{f_{j}}g_{j}\cdot H' .}$

Dekompozycja cyklu odpowiada podwójnemu rozkładowi kosetowemu sol ${\ Displaystyle G}: za ( ⟨ x ⟩ , H. ) {\ Displaystyle$$)$ }

${\ Displaystyle G = \ bigsqcup _ {j = 1} ^ {t} \ langle x \ rangle g_ {j} H$

To właśnie ta forma dekompozycji cyklu homomorfizmu transferu została podana przez E. Artina w jego oryginalnej pracy z 1929 roku.

Przenieś do normalnej podgrupy

Niech $będzie$$normalną$ podgrupą $.$ indeksie grupie Wtedy mamy dla wszystkich i $Displaystyle$ grupa ilorazowa $rzędu$ n {\ $}$$xH = Hx$$\displaystyle n}$ . Dla elementu pozwalamy $x$$\ Displaystyle f: = \ operatorname {ord} (xH)$${\ Displaystyle xH}$ coset w ${\ Displaystyle G/H}$ i pozwólmy ${\ Displaystyle (g_ {1}, \ ldots, g_ {t})}$ być lewą poprzeczna podgrupy ${\ Displaystyle \ langle x, H \ rangle}$ w ${\ Displaystyle G}$ , gdzie ${\ displaystyle t = n/f}$ .

Twierdzenie. Wtedy obraz pod transferem Artina $in G$ określony przez: $\$

$\ Displaystyle (14) \ quad T_ {G, H} (x) = \ prod _ {j =1}^{t}g_{j}^{-1}x^{f}g_{j}\cdot H'}$ .

Dowód

${\ Displaystyle \ langle xH \ rangle}$ jest cykliczną podgrupą rzędu ${\ Displaystyle f}$ w ${\ Displaystyle G/H}$${\ Displaystyle (g_ {1}, \ ldots, g_ {t})}$ lewą poprzeczną podgrupy ${\ Displaystyle \ langle x, H \ rangle}$ w ${\ Displaystyle G}$ , gdzie ${\ Displaystyle t = n/f}$ i sol $\ Displaystyle G = \ sqcup _ {j = 1} ^ {t} g_ {j} \ langle x, H \ rangle }$ jest odpowiednim rozłącznym rozkładem lewego cosetu, można go udoskonalić do lewego poprzecznego ${\ Displaystyle g_ {j} x ^ {k} ( 1\leq j\leq t,\ 0\leq k\leq f-1)}$ z rozłącznym lewym rozkładem coset:

${\ Displaystyle (15) \ quad G = \ sqcup _ {j = 1} ^ {t} \ sqcup _ {k = 0 }^{f-1}g_{j}x^{k}H}$

z ${\ displaystyle H}$ w ${\ displaystyle G}$ . $pod$ wzór na obraz $.$ w sekcji przybiera określony

$\ Displaystyle T_ {G, H} (x) = \ prod _ {j = 1} ^ {t} g_ {j}^{-1}x^{f}g_{j}\cdot H'}$

z wykładnikiem niezależnym od $displaystyle$$j}$ .

Następstwo. W szczególności wewnętrzne przeniesienie elementu jest podane jako moc symboliczna: ${\ displaystyle x \ in H}$

${\ Displaystyle (16) \ quad T_ {G, H} (x) = x ^ {\ operatorname {Tr} _ {G }(H)}\cdot H'}$

z pierwiastkiem śladowym

${\ Displaystyle (17) \ quad \ operatorname {Tr} _ {G} (H) = \ suma _ {j = 1 }^{t}g_{j}\w \mathbb {Z} [G]}$

z ${\ displaystyle H}$$w$ symboliczny wykładnik.

Drugą $_ styl wyświetlania G=\langle x,H\rangle }$$jest$ zewnętrzne elementu $,$ który czyli .

Jest to po $prostu$

${\ Displaystyle (18) \ quad T_ {G, H} (x) = x ^ {n} \ cdot H '}$ .

Dowód

$x \$ elementu $Displaystyle$ coset jest zbiorem głównym $H$${\ displaystyle f = 1}$ , jest podawana jako moc symboliczna

${\ Displaystyle T_{G,H}(x)=\prod _{j=1}^{t}g_{j}^{-1}xg_{j}\cdot H'=\prod _{j=1}^{ t}x^{g_{j}}\cdot H'=x^{\suma _{j=1}^{t}g_{j}}\cdot H'}$

z pierwiastkiem śladowym

${\ Displaystyle \ operatorname {Tr} _ {G} (H) = \ suma _ {j = 1} ^ {t} g_ {j }\w \mathbb {Z} [G]}$

z ${\ displaystyle H}$$w$ symboliczny wykładnik.

Zewnętrzny $generuje$$langle x, H \ rangle }$ który czyli $H$${$ , skąd coset jest generatorem $z$${\ Displaystyle G/H}$ rzędem $n}$ jest podane jako ${ \displaystyle n}$ potęga

${\ Displaystyle T_ {G, H} (x) = \ prod _ {j = 1} ^ {1} 1 ^ {- 1} \ cdot x ^ {n} \ cdot 1 \ cdot H' = x ^ {n }\cdot H'.}$

Transfery do normalnych podgrup będą najważniejszymi przypadkami w kontynuacji, ponieważ centralna koncepcja tego artykułu, wzór Artina , który nadaje drzewom potomnym dodatkową strukturę, składa się z celów i jąder transferów Artina z grupy ${\ displaystyle G }$ do grup pośrednich między $równoważnik$$G}$ \ i $G'}$ . Dla tych pośrednich grup mamy następujący lemat.

Lemat. Wszystkie podgrupy zawierające podgrupę komutatora są normalne.

Dowód

Niech ${\ Displaystyle G '\ równoważnik H \ równoważnik G}$ . H. ${\ displaystyle H}$ nie były normalną podgrupą ${\ displaystyle G}$ , to mielibyśmy dla pewnego elementu ${\ Displaystyle x \ w G \ setminus H}$$Displaystyle x ^ {- 1} Hx \ not \ subseteq H}$ . Sugerowałoby $x$ istnienie elementów $takich$ takie , $że$ , aw konsekwencji komutator $hx = h ^ {-1} y}$${\ Displaystyle [h, x] = h ^ {- 1} x ^ {- 1$$\ Displaystyle G \$ w sprzeczności z $H }$ .

Jawne implementacje transferów Artina w najprostszych sytuacjach przedstawiono w następnej sekcji.

Implementacja obliczeniowa

Abelianizacja typu ( p , p )

Niech będzie grupą $p$ z abelianizacją elementarnego typu abelowego $p$ , $p )$ , Wtedy ma maksymalne podgrupy ${\ Displaystyle H_ {1}, \ ldots, H_ {p + 1}}$$1$$+$ sol ${\ Displaystyle s.}$

Lemat. W tym konkretnym przypadku podgrupa Frattiniego, która jest zdefiniowana jako przecięcie wszystkich podgrup maksymalnych pokrywa się z podgrupą komutatorową.

Dowód. Aby zobaczyć tę uwagę, $sol$$sol$ ze względu na typ abelowy komutatora zawiera wszystkie p -te potęgi ${\ Displaystyle G'\ supset G ^ {p$$\ Phi (G) = G ^ {p} \ cdot G'= G'}$ Displaystyle .

Dla każdego $/H_{i}'}$$→$ { $\ Displaystyle T_ {i}$ będzie homomorfizmem transferu Artina. Zgodnie z podstawowym twierdzeniem Burnside'a grupa $^ {p} \ w G '.} Dla$$zatem$ przez dwa elementy , $,$$są$ z maksymalnych podgrup , które również normalne, potrzebujemy generatora $}}$${\ Displaystyle$${\ Displaystyle (1, t_ {i}, t_ {i} ^ {2}, \ ldots, t_ {i} ^ {p-1})}$ { w odniesieniu do ${\ Displaystyle G'}$$i$ generatora poprzecznego takie, że

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} H_ {i} i = \ langle h_ { i},G'\rangle \\G&=\langle t_{i},H_{i}\rangle =\bigsqcup _{j=0}^{p-1}t_{i}^{j}H_{i }\end{wyrównane}}}$

Wygodny wybór daje

${\ Displaystyle (19) \ quad {\ zacząć { przypadki}h_{1}=y\\t_{1}=x\\h_{i}=xy^{i-2}&2\równik i\równik p+1\\t_{i}=y&2\równoważnik i \leq p+1\end{przypadki}}}$

Następnie dla każdego używamy równań (16) i (18), aby zaimplementować transfery wewnętrzne i zewnętrzne: 1 ≤ $Displaystyle 1 \ równoważnik i \ równoważnik p + 1}$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} (20) \ quad T_ {i} (h_ {i}) &=h_{i}^{\mathrm {Tr} _{G}(H_{i})}\cdot H_{i}'=h_{i}^{1+t_{i}+t_{i}^ {2}+\cdots +t_{i}^{p-1}}\cdot H_{i}'=h_{i}\cdot \left(t_{i}^{-1}h_{i}t_{ i}\right)\cdot \left(t_{i}^{-2}h_{i}t_{i}^{2}\right)\cdots \left(t_{i}^{-p+1} h_{i}t_{i}^{p-1}\right)\cdot H_{i}'=\left(h_{i}t_{i}^{-1}\right)^{p}t_{ i}^{p}\cdot H_{i}'\\(21)\quad T_{i}(t_{i})&=t_{i}^{p}\cdot H_{i}'\end{ wyrównane}}}$ ,

Powodem jest to, że w ${\ Displaystyle G / H_ {i},}$${\ Displaystyle \ operatorname {ord} (h_ {i} H_ {i}) =1}$ i ${\ Displaystyle \ operatorname {ord} (t_ {i} H_ {i}) = str.}$

$podgrup$$.$ transferów Artina znajomości pochodnych Ponieważ ${\ Displaystyle H_ {i} '= [H_ {i}, H_ {i}] = [G', H_ {i}] = (G ') ^ {h_ {i} -1},}$ normalną podgrupą indeksu $\$ H ${$$Displaystyle H_ {i}} ,$ pewna ogólna redukcja o $′$ prezentacja musi być znana do określania generatorów $\ displaystyle G'= \langle s_{1},\ldots,s_{n}\rangle }$ , skąd

${\ Displaystyle (22) \ quad H_ {i} '= (G') ^ {h_ {i} -1} = \ langle [s_ {1}, h_ {i}], \ ldots, [s_ {n} ,h_{i}]\szereg .}$

Abelianizacja typu ( p ² , p )

Niech $będzie$ grupą z abelianizacją nieelementarnego typu abelowego $}$$p$ ^ ${2}, p$ . Wtedy ma maksymalne podgrupy ${\ Displaystyle H_ {1}, \ ldots, H_ {p + 1}}$$1$$+$ sol ${\ Displaystyle p}$ i podgrupy ${\ displaystyle p + 1}$${\ Displaystyle U_ {1}, \ ldots, U_ {p + 1}}$ indeksu ${\ Displaystyle p ^ {2}.}$ Dla każdego ${\ Displaystyle i \ in \ {1, \ ldots, p + 1 \}}$ niech

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} T_ {1, i}: G & \ do H_ {i} / H_{i}'\\T_{2,i}:G&\do U_{i}/U_{i}'\end{wyrównane}}}$

być homomorfizmami transferu Artina. ${\ Displaystyle x ^ {p ^ {2}}, y ^ {p} \ w G'.}$ Burnside'a o podstawie zapewnia, że ​​grupa $p$ dwa elementy $,$ że

Zaczniemy od rozważenia pierwszej warstwy podgrup. Dla $z$ podgrup wybieramy generator

${\ Displaystyle (23) \ quad h_ {i} = xy ^ {i-1}}$

takie, że ${\ Displaystyle H_ {i} = \ langle h_ {i}, G'\ rangle}$ . $których$$.$ przypadki jest cykliczna Jednak dla wyróżnionej podgrupy maksymalnej , $p$ której grupa czynników bicykliczna $1}/G'$ typ ${\ Displaystyle (p, p)}$ , potrzebujemy dwóch generatorów:

${\ Displaystyle (24) \ quad {\ rozpocząć {przypadki} h_ {p + 1} = y \\ h_ {0} = x ^ {p} \ koniec {sprawy}}}$

${\ Displaystyle H_ {p + 1} = \ langle h_ {p + 1}, h_ {0}, G'\ rangle$ ⟨ . Ponadto należy podać generator $t$$rangle}$ , dla każdego ${\ Displaystyle 1 \ równoważnik ja \ równoważnik p + 1}$ . Jest wygodny do zdefiniowania

${\ Displaystyle (25) \ quad {\ rozpocząć {przypadki} t_ {i} = y & 1 \ równoważnik ja \ równoważnik p \\ t_ {p +1}=x\end{przypadków}}}$

Następnie dla każdego mamy przeniesienia wewnętrzne i zewnętrzne: ${\ Displaystyle 1 \ równoważnik i \ równoważnik p + 1}$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} (26) \ quad T_ { 1,i}(h_{i})&=h_{i}^{\mathrm {Tr} _{G}(H_{i})}\cdot H_{i}'=h_{i}^{1+ t_{i}+t_{i}^{2}+\ldots +t_{i}^{p-1}}\cdot H_{i}'=\left(h_{i}t_{i}^{- 1}\right)^{p}t_{i}^{p}\cdot H_{i}'\\(27)\quad T_{1,i}(t_{i})&=t_{i}^ {p}\cdot H_{i}'\end{wyrównane}}}$

ponieważ ${\ Displaystyle \ operatorname {ord} (h_ {i} H_ {i}) = 1}$ i ${\ Displaystyle \ operatorname {ord} (t_{i}H_{i})=p}$ .

Teraz kontynuujemy, rozważając drugą warstwę podgrup. Dla $z$ podgrup wybieramy generator

${\ Displaystyle (28) \ quad {\ rozpocząć {przypadki} u_ {1} = y \ \u_{i}=x^{p}y^{i-1}&2\równik i\równik p\\u_{p+1}=x^{p}\end{przypadki}}}$

takie, że ${\ Displaystyle U_ {i} = \ langle u_ {i}, G '\ rangle}$ . ${p}\cdot G'}$${\ Displaystyle U_ {p + 1} = \ langle x ^ {p}, G'\ rangle = G$ ^ wyróżnia się szczególnie. Jednolity sposób definiowania generatorów poprzecznych takich, że $= \ langle$${$ , oznacza ustawienie

${\ Displaystyle (29) \ quad {\ rozpocząć {przypadki} t_ {i}=x&1\równoważnik i\równoważnik p\\w_{i}=x^{p}&1\równoważnik i\równoważnik p\\t_{p+1}=x\\w_{p+1}=y \end{przypadki}}}$

Ponieważ ${\ Displaystyle \ operatorname {ord} (u_ {i} U_ {i}) = 1}$ , ale z drugiej strony ${\ Displaystyle \ operatorname {ord} (t_ {i} U_ {i}) = p ^ {2}} i$ o $\ Displaystyle \ operatorname {ord} (w_ {i } U_ {i}) = p}$ , dla ${\ Displaystyle 1 \ równoważnik ja \ równoważnik p + 1}$ z jednym wyjątkiem, że ${\ displaystyle \ operatorname {ord} (t_ {p + 1} U_ {p + 1}) = p}$ , otrzymujemy następujące wyrażenia dla transferów wewnętrznych i zewnętrznych

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} (30) \ quad T_ {2, i} (u_ {i}) & = u_ {i} ^ {\ operatorname {Tr} _ {G} (U_ {i})}\cdot U_{i}'=u_{i}^{\suma _{j=0}^{p-1}\suma _{k=0}^{p-1}w_{i }^{j}t_{i}^{k}}\cdot U_{i}'=\prod _{j=0}^{p-1}\prod _{k=0}^{p-1} (w_{i}^{j}t_{i}^{k})^{-1}u_{i}w_{i}^{j}t_{i}^{k}\cdot U_{i}' \\(31)\quad T_{2,i}(t_{i})&=t_{i}^{p^{2}}\cdot U_{i}'\end{wyrównane}}}$

wyjątkowo

${\ Displaystyle {\ rozpocząć{wyrównane}&(32)\quad T_{2,p+1}\left(t_{p+1}\right)=\left(t_{p+1}^{p}\right)^{1 +w_{p+1}+w_{p+1}^{2}+\ldots +w_{p+1}^{p-1}}\cdot U_{p+1}'\\&(33) \quad T_{2,i}(w_{i})=\left(w_{i}^{p}\right)^{1+t_{i}+t_{i}^{2}+\ldots + t_{i}^{p-1}}\cdot U_{i}'&&1\równoważnik i\równoważnik p+1\end{wyrównane}}}$

Struktura podgrup pochodnych $i$$,$ być Artina.

Przenieś jądra i cele

Niech będzie grupą ze skończoną abelianizacją $sol$$\ displaystyle G/G'$ . Załóżmy, że ${\ Displaystyle (H_ {i}) _ {i \ in I}}$ oznacza rodzinę wszystkich podgrup, które zawierają ${\ Displaystyle G'}$ i dlatego są koniecznie normalne, wyliczone przez sol ′ {\ Displaystyle G'} skończony zbiór indeksów ${\ displaystyle I}$ . Dla każdego ${\ Displaystyle i \ w ja}$ , niech ${\ Displaystyle T_ {i}: = T_ {G, H_ {i}}}$ będzie przeniesieniem Artina z ${ \ Displaystyle G}$ do abelianizacji ${\ Displaystyle H_ {i} / H_ {i} '}$ .

Definicja. ${\ Displaystyle \ varkappa _ {H} (G) = (\ ker (T_ {i})) _ {i \$ sol nazywa się typem jądra transferu (TKT) $w$ odniesieniu do $}} sol {\ displaystyle G}$ } abelianizacji (odpowiednio ich niezmienników typu abelowego) $) _ {i \ in I}}$${\ Displaystyle \ tau _ {H} (G) = (H_ {i} / H_ {i}$${i \ in ja}}$ nazywa się typem docelowym transferu (TTT) w odniesieniu do $)$ . Obie rodziny są również nazywane multipletami , podczas gdy pojedynczy składnik będzie określany jako singlet .

W poniższych dwóch sekcjach przedstawiono ważne przykłady tych koncepcji.

Abelianizacja typu ( p , p )

Niech będzie grupą $p$ z abelianizacją elementarnego typu abelowego $, p$ p $)$ . Wtedy ma maksymalne podgrupy ${\ Displaystyle H_ {1}, \ ldots, H_ {p + 1}}$$+$$p$ sol ${\ displaystyle p}$ . dla ${\ Displaystyle i \ w \ {1, \ ldots, p + 1 \}}$ niech ${\ Displaystyle T_ {i} :G\to H_{i}/H_{i}'}$ oznaczają homomorfizm transferu Artina.

Definicja. ${\ Displaystyle \ varkappa _ {H} (G) = (\ ker (T_ {i}))$ sol $równoważnik$ nazywa się typem transferu (TKT) w odniesieniu do ${\ Displaystyle H_ {1}, \ ldots ,H_{p+1}}$ .

Uwaga. Dla zwięzłości TKT jest identyfikowany z multipletem ${\ Displaystyle (\ varkappa (i)) _ {1 \ równoważnik i \ równoważnik p + 1}}$ , którego składniki całkowite są podane przez

${\ Displaystyle \ varkappa (i) = {\ rozpocząć {przypadki} 0 i \ ker(T_{i})=G\\j&\ker(T_{i})=H_{j}{\text{ dla pewnego }}1\równoważnik j\równoważnik p+1\end{przypadki}}}$

$}$ bierzemy pod uwagę, że każde jądro przenoszenia $displaystyle G$ musi $ponieważ$ , sol $_$ transferu _ Jednak minimalny przypadek ${\ Displaystyle \ ker (T_ {i}) = G'}$ nie może wystąpić.

Uwaga. Wyliczenie maksymalnych podgrup i przeniesień $\ Displaystyle K_ {i}$$T_ {\ pi (i)}$ i $}$$sol$${\ Displaystyle \ lambda _ {K} (G) = (\ ker (V_ {i})) _ {1 \ równoważnik i \ równoważnik p + 1}} z$ daje TKT szacunkiem K. ${\ Displaystyle K_ {1}, \ ldots, K_ {p + 1}}$ identyfikowany z $\ lambda (i))_{1\równik i\równik p+1}}$ , gdzie

${\ Displaystyle \ lambda (i) = {\ rozpocząć {przypadki} 0 i \ ker(V_{i})=G\\j&\ker(V_{i})=K_{j}{\text{ dla pewnego }}1\równoważnik j\równik p+1\end{przypadki}}}$

$_$ postrzeganie _ _ _ Odkąd mamy

${\ Displaystyle K_{\lambda (i)}=\ker(V_{i})=\ker(T_{\pi (i)})=H_{\varkappa (\pi (i))}=K_{{\tylda { \pi }}^{-1}(\varkappa (\pi (i)))},}$

λ ${\ Displaystyle \ lambda}$ i ${\ Displaystyle \ varkappa}$ jest dana przez $^ {-1} \circ \varkappa \circ \pi }$ . Dlatego $}$$_$$jest$ \ $($ orbity pod _ ${\ Displaystyle S_ {p + 1}}$ na zestawie wszystkich odwzorowań z ${\ Displaystyle \ {1, \ ldots, p + 1 \} \ do \ {0,1, \ ldots, p + 1 \},}$ gdzie rozszerzenie ${\ Displaystyle {\ tylda {\ pi}} \ w S_ {p + 2}}$ permutacji jest $Displaystyle$ przez $0,}$$} (0)$ i formalnie ${\ Displaystyle H_ {0} = G, K_ {0} = G.}$

Definicja. Orbita $_$ _ $_$ _ _ _ grupa i nazywa się jej typem jądra transferu $TKT$ .

Uwaga. Niech ${\ Displaystyle \ # {\ mathcal {H}} _ {0} (G): = \ # \ {1 \ leq i \ leq p + 1 \ mid \ varkappa (i) = 0 \}}$ oznaczają licznik całkowitych transferów jąder ${\ Displaystyle \ ker (T_ {i}) = G}$ , co jest niezmiennikiem grupy ${\ displaystyle G}$ . W 1980 SM Chang i R. Foote udowodnili, że dla dowolnej nieparzystej liczby pierwszej i $dla$ dowolnej liczby całkowitej istnieje metabelian ${\ Displaystyle 0 \ równoważnik n \ równoważnik p + 1}$ -grupy mające abelianizację $sol$$'}$ typu ${\ Displaystyle (p, p)}$ takie, że ${\ Displaystyle \#{\mathcal {H}}_{0}(G)=n}$ . Jednak dla ${\ Displaystyle p = 2}$${\ Displaystyle G / G'\ simeq (2,2)}$ istnieją nieabelowe grupy - $Displaystyle G}$$\$ z , który musi być metabelianem klasy maksymalnej, tak że ${\ Displaystyle \ # {\ mathcal {H}} _ {0} (G) \ geq 2}$ . Tylko elementarna grupa abelowa $\$${\ Displaystyle \ # {\ Displaystyle \ #$${$ -grupa . Patrz rysunek 5.

W poniższych konkretnych przykładach dla liczników $,$ części tego artykułu , skończonego p grupy w SmallGroups Library autorstwa HU Besche, B. Eicka i EA O'Briena.

Dla ${\ displaystyle p = 3}$ mamy

• ${\ Displaystyle \ # {\ mathcal {H}} _ {0} (G) = 0}$ dla dodatkowej grupy specjalnej ${\ Displaystyle G = \ langle 27,4 \ rangle}$ wykładnika ${\ Displaystyle 9}$ z TKT ${\ Displaystyle \ varkappa = (1111)}$ (Rysunek 6),
• ${\ Displaystyle \ # {\ mathcal {H}} _ {0} (G) = 1}$ dla dwóch grup ${\ displaystyle G \ w \ {\ langle 243,6 \ rangle, \ langle 243,8 \ rangle \}}$ z TKT ${\ Displaystyle \ varkappa \ w \ {(0122), (2034)\}}$ (ryc. 8 i 9),
• ${\ Displaystyle \ # {\ mathcal {H}} _ {0} (G) = 2}$ dla grupy ${\ Displaystyle G = \ langle 243,3 \ rangle }$ z TKT (Rysunek 4 w artykule o drzewach potomnych ), ${\ Displaystyle \ varkappa = (0043)}$
• ${\ Displaystyle \ # {\ mathcal {H}} _ {0} (G) = 3}$ dla grupy ${\ Displaystyle G = \ langle 81,7 \ rangle}$ z TKT ${\ Displaystyle \ varkappa = (2000)}$ (Rysunek 6),
• ${\ Displaystyle \ # {\ mathcal {H}} _ {0} (G) = 4}$ dla dodatkowej grupy specjalnej $}$${\ Displaystyle G = \ langle 27,$$Displaystyle$ wykładnika $3}$ z TKT 6)

Abelianizacja typu ( p ² , p )

Niech będzie grupą $p$ z $nieelementarnego$ typu ${\ Displaystyle (p ^ {2}, p).}$ Następnie ${\ Displaystyle G}$ posiada maksymalne podgrupy ${\ displaystyle p + 1}$${\ Displaystyle H_ {1} \ ldots, H_ {p + 1}}$ indeksu i $\$$displaystyle p + 1}$ podgrup $,U_{p+1}}$${\ Displaystyle U_ {1}, \$ indeksu ${\ displaystyle p ^ {2}.}$

Założenie. Przypuszczać

${\ Displaystyle H_ {p + 1} = \ prod _ {j = 1} ^ {p + 1} U_ {j}}$

jest wyróżnioną podgrupą maksymalną i

${\ Displaystyle U_ {p + 1} = \ bigcap _ {j = 1} ^ {p + 1} H_ {j}}$

jest wyróżnioną podgrupą indeksu $}$$($ { Displaystyle ${\ displaystyle G}$ sol .

Pierwsza warstwa

Dla każdego ${\ Displaystyle 1 \ równoważnik i \ równoważnik p + 1}$ , niech ${\ Displaystyle T_ {1, i}: G \ do H_{i}/H_{i}'}$ oznaczają homomorfizm transferu Artina.

Definicja. rodzina ${\ Displaystyle \ varkappa _ {1, H, U} (G) = (\ ker (T_ {1, i}}) _ {i = 1} ^ {p + 1}}$$H_ {1}, \ ldots, H_ {p + 1}}$ się typem jądra transferu pierwszej warstwy w odniesieniu do $}$${\ Displaystyle G$ i ${\ Displaystyle U_ {1}, \ ldots, U_ {p + 1}}$ i jest identyfikowany z ${\ Displaystyle (\ varkappa _ {1} (i)) _ {i = 1} ^ {p + 1}$ }

${\ Displaystyle \ varkappa _ { 1}(i)={\begin{przypadki}0&\ker(T_{1,i})=H_{p+1},\\j&\ker(T_{1,i})=U_{j}{ \text{ dla pewnego }}1\równik j\równoważnik p+1.\end{przypadki}}}$

Uwaga. Tutaj obserwujemy $warstwy$ ma wykładnik ${\ Displaystyle 1 \ równoważnik j \ równoważnik p}$ odniesieniu do $iw$${\ displaystyle G'}$ konsekwencji nie może pokrywać się z dla dowolnego ​​, ponieważ ${\ Displaystyle H_ {j} / G'}$ jest cykliczny rzędu ${\ Displaystyle p ^ {2}}$ , podczas gdy ${\ Displaystyle H_ {p + 1} / G'}$ jest typu bicyklicznego ${\ Displaystyle (p, p)}$ .

Druga warstwa

Dla każdego ${\ Displaystyle 1 \ równoważnik i \ równoważnik p + 1}$ , niech ${\ Displaystyle T_ {2, i}: G \ do U_ {i} / U_ {i} '}$ będzie homomorfizmem transferu Artina od $}$ do abelianizacji ${\ displaystyle U_ {i}$ .

Definicja. rodzina ${\ Displaystyle \ varkappa _ {2, U, H} (G) = (\ ker (T_ {2, i}}) _ {i = 1} ^ {p + 1}}$ nazywa się typem jądra transferu drugiej warstwy w odniesieniu do $G$$U_ {1}, \ ldots, U_ {p + 1}}$${\ Displaystyle$ i ${\ Displaystyle H_ {1}, \ ldots, H_ {p + 1}}$ i jest identyfikowany z $\ Varkappa _ {2} (i)} _ {i = 1} ^ {p + 1}}$ (

${\ Displaystyle \ varkappa _ {2} ( i)={\begin{przypadki}0&\ker(T_{2,i})=G,\\j&\ker(T_{2,i})=H_{j}{\text{ dla pewnego }}1 \leq j\leq p+1.\end{przypadki}}}$

Przenieś typ jądra

Łącząc informacje na dwóch warstwach, otrzymujemy (pełny) typ jądra transferu $1, H, U} (G); \ varkappa _ {2, U, H} (G))} grupy p$${\ Displaystyle \ varkappa _ {H, U} (G) = (\ varkappa _$$displaystyle G}$ sol { \ w odniesieniu do ${\ Displaystyle H_ {1}, \ ldots, H_ {p + 1}}$ i ${\ Displaystyle U_ {1}, \ldots ,U_{p+1}}$ .

Uwaga. Wyróżnione podgrupy i $+ 1} =$$G)}$ { \ Displaystyle unikalnymi niezmiennikami $. displaystyle G}$ i nie należy ich przenumerować. Jednak niezależne renumeracje pozostałych maksymalnych podgrup ${\ Displaystyle K_ {i} = H _ {\ tau (i)} (1 \ równoważnik i \ równoważnik p)}$ i transfery za pomocą permutacji $)$$Displaystyle V_ {1, i} = T_ {1, \ tau (i$ i pozostałych podgrup $)}$${\ Displaystyle W_ {i} = U _ {\ sigma (i)} (1 \ równoważnik ja \ leq$$indeksu$ i transferów ${\ Displaystyle V_ {2, i} = T_ {2, \ sigma ($${\ Displaystyle \ lambda _ {1, K, W} (G) = (\ ker (V_ {1, i})) _ {i = 1} ^ {p + 1}} z$ pomocą permutacji $sol$ początek szacunkiem ${\ Displaystyle K_ {1}, \ ldots, K_ {p + 1}}$ i W $\ Displaystyle W_ {1}, \ ldots, W_ {p + 1}}$ , utożsamiany z ${\ Displaystyle (\ lambda _ {1} (i)) _ {i = 1} ^ {p + 1}}$ , Gdzie

${\ Displaystyle \ lambda _ { 1}(i)={\begin{przypadki}0&\ker(V_{1,i})=K_{p+1},\\j&\ker(V_{1,i})=W_{j}{ \text{ dla pewnego }}1\równik j\równik p+1,\end{przypadki}}}$

i ${\ Displaystyle \ lambda _ {2, W, K} (G) = (\ ker (V_ { 2, i})) _ {i = 1} ^ {p + 1}}$ w odniesieniu do ${\ Displaystyle W_ {1}, \ ldots, W_ {p + 1}}$ i ${\ Displaystyle K_ {1}, \ ldots, K_ {p + 1}}$ identyfikowany z ${\ Displaystyle (\ lambda _{2}(i))_{i=1}^{p+1},}$ gdzie

${\ Displaystyle \ lambda _ {2} ( i)={\begin{przypadki}0&\ker(V_{2,i})=G,\\j&\ker(V_{2,i})=K_{j}{\text{ dla pewnego }}1 \leq j\leq p+1.\end{przypadki}}}$

${\ Displaystyle \ lambda _ {1, K, W} (G) \ sim \ varkappa _ {1$ sol i ${\ Displaystyle \ lambda _ {2, W, K} (G) \ sim \ varkappa _ { 2,U,H}(G)}$ jako odpowiednik . Odkąd mamy

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} W _ {\ lambda _ {1} (i)} & = \ ker (V_ {1, i}) = \ ker (T_ {1,{\kapelusz {\tau}}(i)})=U_{\varkappa _{1}({\kapelusz {\tau}}(i))}=W_{{\tylda {\sigma}} ^{-1}(\varkappa _{1}({\hat {\tau}}(i))}}\\K_{\lambda _{2}(i)}&=\ker(V_{2, i})=\ker(T_{2,{\kapelusz {\sigma}}(i)})=H_{\varkappa _{2}({\kapelusz {\sigma}}(i))}=K_{ {\ tylda {\ tau}} ^ {-1} (\ varkappa _ {2} ({\ kapelusz {\ sigma }} (i))}} \ koniec {wyrównane}}}$

${\ Displaystyle \ lambda _ {1}}$ i ${\ Displaystyle \ varkappa _ {1}}$ i $Displaystyle \ lambda _ {2}}$ \ i ${\ Displaystyle \ varkappa _{2}}$ , są podane przez

${\ Displaystyle \ lambda _ {1} = {\ tylda {\ sigma}} ^ {- 1} \ circ \ varkappa _ {1} \ circ {\ kapelusz { \ tau}}}$

${\ Displaystyle \ lambda _ {2} = {\ tylda {\ tau}} ^ {- 1} \ circ \ varkappa _ {2} \ circ {\ kapelusz {\ sigma}}}$

Dlatego ${\ Displaystyle \ lambda = (\ lambda _ {1}, \ lambda _ {2})}$ jest kolejnym przedstawicielem orbity ${\ Displaystyle \ varkappa ^ {S_ {p} \ razy S_ {p}}}$ z ${\ Displaystyle \ varkappa = (\ varkappa _ {1}, \ varkappa _ {2})}$ pod działaniem:

${\ Displaystyle ((\ sigma, \ tau) ,(\mu _{1},\mu _{2}))\mapsto \left({\tylda {\sigma}}^{-1}\circ \mu _{1}\circ {\hat {\ tau }}, {\ tylda {\ tau}} ^ {-1} \ circ \ mu _ {2} \ circ {\ kapelusz {\ sigma }} \ right)}$

iloczynu dwóch grup symetrycznych ${\ Displaystyle S_ {p} \ razy S_ {p}}$ na zbiorze wszystkich par odwzorowań ${\ Displaystyle \ {1, \ ldots, p + 1 \} \ do \ {0,1, \ ldots, p + 1 \}} , gdzie rozszerzenia π$ ^ $Displaystyle {\ kapelusz {\ pi}} \ w S_ {p + 1}}$ i ${\ Displaystyle {\ tylda {\ pi}} \ w S_ {p + 2}}$ permutacji ${\ Displaystyle \ pi \ w S_ {p}}$ są zdefiniowane przez ${\ Displaystyle {\ kapelusz {\ pi}} (p + 1) = {\ tylda {\ pi}} (p + 1) = p + 1}$ i ${\ Displaystyle {\ tylda {\ pi}} (0) = 0}$ i formalnie ${\ Displaystyle H_ {0} = K_ {0} = G, K_ {p + 1} = H_ {p + 1} ,U_{0}=W_{0}=H_{p+1},}$ i ${\ Displaystyle W_ {p + 1} = U_ {p + 1} = \ Phi (G).}$

Definicja. Orbita ${\ Displaystyle \ varkappa (G) = \ varkappa ^ {S_ {p} \ razy S_ {p}}}$ dowolnego przedstawiciela $_ {2})}$$varkappa$ jest niezmiennikiem grupy p i jest nazywany typem jądra transferu , w skrócie TKT.

Połączenia między warstwami

Przeniesienie Artina ${\ Displaystyle T_ {2, i}: G \ do U_ {i} / U_ {i}'}$ to kompozycja ${\ Displaystyle T_ {2, i} = {\ tylda {T}} _ {H_ {j}, U_ {i}} \ circ T_ {1, j}$ } transfer indukowany ${\ Displaystyle {\ tylda {T}} _ {H_ {j}, U_ {i}}: H_ {j} / H_ {j} '\ do U_ {i} / U_ {i}'}$ z ${\ Displaystyle H_ {j}}$ do ${\ Displaystyle U_ {i}}$ i przeniesienie Artina ${\ Displaystyle T_ {1, j}: G \ do H_ {j} / H_ {j} '.}$

Istnieją dwie opcje dotyczące podgrup pośrednich

• $_$ podgrup $.$ _ _
• ${\ Displaystyle U_ {p + 1} = \ Phi (G)}$ sol maksymalne podgrupy ${\ Displaystyle H_ {1}, \ ldots ,H_{p+1}}$ to podgrupy pośrednie.

${\ Displaystyle \ ker (T_ {2, i}) = \ ker ({\ tylda {T}} _ {H_ {j}, U_ { i}}\circ T_{1,j})\supset \ker(T_{1,j}),} a$

przenoszenia drugiej warstwy $)$

więc

$ker$

${\ Displaystyle \ ker (T_ {2, p + 1}) \ supset \ lewo \ langle \ bigcup _ {j = 1} ^ {p + 1} \ ker (T_ {1, j}) \ prawo \ rangle. }$

nawet

Ponadto, gdy ${\ Displaystyle G = \ langle x, y \ rangle}$ z ${\ Displaystyle x ^ {p} \ notin G ', y ^ {p} \ w G ',}$ element ${\ Displaystyle xy ^ {k-1} (1 \ równoważnik k \ równoważnik p)}$ rzędu ${ \ displaystyle p ^ {2}}$ w odniesieniu do , może należeć do $ker$$\ Displaystyle \ ker (T_ {2, i})}$$tylko$ , gdy $\ displaystyle p}$ ta moc jest zawarta w ${\ Displaystyle \ ker (T_ {1, j})}$ , dla wszystkich pośrednich podgrup ${\ Displaystyle U_ {i} <H_ {j}<G}$ , a więc: ${\ Displaystyle xy ^ {k-1} \ in \ ker (T_ {2, i})}$ , ${$ ja $_ p + 1) = p + 1}$ \ , ale $}$${\ Displaystyle xy ^ {k-1} \ w \ ker (T_ {2, p + 1}$$\ varkappa _$ , dla niektórych $1$ nawet kompletny multiplet pierwszej warstwy TKT , czyli dla wszystkich $}$${\ Displaystyle 1 \ równoważnik j \ równoważnik p + 1}$ .

Rysunek 1: Faktoryzacja przez abelianizację.

Dziedziczenie z ilorazów

Wspólną cechą wszystkich $\ Displaystyle \ pi ($ rodzic-potomek $między$ skończonymi grupami p jest to, że rodzic jest ilorazem potomka sol $)}$$displaystyle G}$ przez odpowiednią podgrupę normalną ${\ Displaystyle N.}$ Zatem równoważną definicję można podać, wybierając epimorfizm z ${\ Displaystyle \ ker (\ phi) = N.}$$}}$ Wtedy grupę można postrzegać jako rodzica potomka ${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle {\ tylda {G}} = \ phi (G)}$ .

W następnych rozdziałach ten punkt widzenia zostanie przyjęty, ogólnie dla dowolnych grup, nie tylko dla skończonych grup p .

Przejście przez abelianizację

Propozycja. Załóżmy $homomorfizmem$$jest$ grupą _ Niech ${\ Displaystyle \ omega: G \ do G/G'}$ oznacza kanoniczną mapę projekcji. Wtedy istnieje unikalny homomorfizm ${\ Displaystyle {\ tylda {\ phi}}: G / G '\ do A}$ taki, że ${\ Displaystyle \ phi = { \ tylda {\ phi}} \ circ \ omega}$ i ${\ Displaystyle \ ker ({\ tylda {\ phi}}) = \ ker (\ phi) /G'}$ (Patrz rysunek 1).

Dowód. To stwierdzenie jest konsekwencją drugiego Wniosku z artykułu o indukowanym homomorfizmie . Niemniej jednak dajemy niezależny dowód na obecną sytuację: wyjątkowość $phi = {$$ϕ$ ~ co implikuje dla każdego mamy: ${\ Displaystyle x \ in G}$

${\ Displaystyle {\ tylda {\ phi}} (xG ') = {\ tylda {\phi}}(\omega (x))=({\tylda {\phi}}\circ \omega)(x)=\phi (x),}$

${\ Displaystyle {\ tylda {\ phi}}}$ jest homomorfizmem, niech ${\ Displaystyle x, y \ in G}$ będzie dowolny, to:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {\ tylda {\ phi}} \ lewo (xG '\ cdot yG' \ prawo) & = {\ tylda {\ phi}} ((xy) G') = \ phi ( xy)=\phi (x)\cdot \phi (y)={\tilde {\phi }}(xG')\cdot {\tilde {\phi }}(xG')\\\phi ([x, y])&=\phi \left(x^{-1}y^{-1}xy\right)=\phi (x^{-1})\phi (y^{-1})\phi ( x)\phi (y)=[\phi (x),\phi (y)]=1&&A{\text{ jest abelowe.}}\end{wyrównane}}}$

Tak więc podgrupa komutatora ${\ Displaystyle G'\ podzbiór \ ker (\ phi)}$ , a to ostatecznie pokazuje, że definicja ${\ Displaystyle {\ tylda {\ phi}}}$ jest niezależny od przedstawiciela cosetu,

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} xG '= yG' i \ Longrightarrow y ^ {- 1} x \in G'\subset \ker(\phi )\\&\Longrightarrow 1=\phi (y^{-1}x)={\tilde {\phi }}(y^{-1}xG')= {\tylda {\phi}}(yG')^{-1}\cdot {\tylda {\phi}}(xG')\\&\Longrightarrow {\tylda {\phi}}(xG')={ \tylda {\phi}}(yG')\end{wyrównane}}}$

Rysunek 2: Epimorfizmy i pochodne ilorazy.

single TTT

Propozycja. Załóżmy, że ${\ Displaystyle G, {\ tylda {G}}, \ phi}$ są jak powyżej i ${\ Displaystyle {\ tylda {H}} = \ phi (H) }$ jest obrazem podgrupy ${\ Displaystyle H.}$ Podgrupa komutatora z ${\ Displaystyle {\ tylda {H}}}$ jest obrazem podgrupy komutatora z ${\ Displaystyle H.}$ Dlatego ${\ Displaystyle \ phi}$ wywołuje unikalny epimorfizm ${\ Displaystyle {\ tylda {\ phi}}: H / H '\ do {\ tylda {H}}/{\ tylda {H}}'}$ , a zatem ${\ Displaystyle {\ tylda {H}}/ {\ tylda {H}}'}$ jest ilorazem H ${\ Displaystyle H / H '.}$ Ponadto, jeśli ${\ Displaystyle \ ker (\ phi) \ równoważnik H'}$ , to mapa ${\ Displaystyle {\ tylda {\ phi} }}$ jest izomorfizmem (patrz rysunek 2).

Dowód. Twierdzenie to jest konsekwencją Głównego Twierdzenia w artykule o indukowanym homomorfizmie . Niemniej jednak podany jest niezależny dowód w następujący sposób: po pierwsze, obraz podgrupy komutatora jest

${\ Displaystyle \ phi (H ') = \ phi ([H, H]) = \ phi (\ langle [u, v] | u, v \ in H \ rangle) = \ langle [\ phi (u), \phi (v)]\mid u,v\in H\rangle =[\phi (H),\phi (H)]=\phi (H)'={\tylda {H}}'.}$

Po drugie, epimorfizm można ograniczyć do epimorfizmu ${\ Displaystyle \ phi | _ {H}: H \ do {\ tylda {H}}}$$\ displaystyle \ phi$ . Zgodnie z poprzednią sekcją, złożony epimorfizm ${\ Displaystyle (\ omega _ {\ tylda {H}} \ circ \ phi |_ {H} ): H \ do {\ tylda {H}}/ {\ tylda {H}} '}$ czynniki przez ${\ Displaystyle H/H'}$ za pomocą jednoznacznie określonego epimorfizmu ${\ Displaystyle {\ tylda {\ phi}}: H / H '\ do {\ tylda {H}}/ {\ tylda {H}} '} takie,$ że ${\ Displaystyle {\ tylda {\ phi}} \ circ \ omega _ {H} = \ omega _ {\ tylda {H}} \ circ \ phi | _ {H}}$ . W konsekwencji mamy ${\ Displaystyle {\ tylda {H}} / {\ tylda {H}} '\ simeq (H/H' )/\ker({\tylda {\phi}})}$ . Ponadto jądro ker $\tilde {\phi}})=(H'\cdot \ker(\phi))/H'}$$}$$Displaystyle \ ker ({{\ displaystyle {\ tylda} {\ phi}$ .

Wreszcie, jeśli ${\ Displaystyle \ ker (\ phi) \ równoważnik H$$, to$ jest izomorfizmem, ponieważ ${\ Displaystyle \ ker ({\ tylda {\ fi}}) = H '/ H' = 1}$ .

Definicja. Ze względu na wyniki w niniejszej sekcji sensowne jest zdefiniowanie porządku częściowego na zbiorze niezmienników typu abelowego poprzez umieszczenie ${\ Displaystyle {\ tylda {H}}/{\ tylda {H}} '\ preceq H / H'}$ , kiedy ${\ Displaystyle {\ tylda {H}} / {\ tylda { H}} '\ simeq (H/H')/\ ker ({\ tylda {\ phi}})}$ i ${\ Displaystyle {\ tylda {H}} / {\ tylda {H}} '= H / H'}$ , kiedy ${\ Displaystyle {\ tylda {H}} / {\ tylda {H}} '\ simeq H / H'}$ .

Rysunek 3: Epimorfizmy i transfery Artina.

Singlety TKT

Propozycja. Załóżmy, że ${\ Displaystyle G, {\ tylda {G}}, \ phi}$ są jak powyżej i ${\ Displaystyle {\ tylda {H}} = \ phi (H) }$ jest obrazem podgrupy o skończonym indeksie ${\ Displaystyle n.}$ Niech ${\ Displaystyle T_ {G, H}: G \ do H/H '}$ i ${\ Displaystyle T _ {{\ tylda {G}}, {\ tylda {H}}}: {\ tylda {G}} \ do {\ tylda {H}} / {\ tylda {H}} ' }$ być transferami Artina. Jeśli ${\ Displaystyle \ ker (\ phi) \ leq H}$ , to obraz lewego poprzecznego ${\ Displaystyle H}$ w ${\ Displaystyle G}$ jest lewym poprzecznym ${\ Displaystyle {\ tylda {H}}}$ w ${\ Displaystyle {\ tylda {G}}$${\ Displaystyle \ phi (\ ker (T_ {G, H})} \ podzbiór \ ker (T _ {{\ tylda {G}}, {\ tylda {H}}}).} Ponadto,$ i jeśli ${\ Displaystyle \ ker (\ phi) \ równoważnik H '}$ następnie ${\ Displaystyle \ phi (\ ker ( T_{G,H}))=\ker(T_{{\tylda {G}},{\tylda {H}}})}$ (patrz rysunek 3).

Dowód. Niech ${\ Displaystyle (g_ {1}, \ ldots, g_ {n})}$ będzie lewym poprzecznym z ${\ displaystyle H}$ w ${\ displaystyle G}$ . Wtedy mamy związek rozłączny:

${\ Displaystyle G = \ bigsqcup _ {i = 1} ^ {n} g_ {i} H.}$

Rozważmy obraz tego rozłącznego związku, który niekoniecznie jest rozłączny,

${\ Displaystyle \ phi (G) = \ bigcup _ {i = 1} ^ {n} \ phi (g_ {i}) \ fi (H),}$

i niech ${\ Displaystyle j, k \ in \ {1, \ ldots, n \}.}$ Mamy:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ phi (g_ {j}) \ phi (H) = \ phi (g_ {k })\phi (H)&\Longleftrightarrow \phi (H)=\phi (g_{j})^{-1}\phi (g_{k})\phi (H)=\phi (g_{j} ^{-1}g_{k})\phi (H)\\&\Longleftrightarrow \phi (g_{j}^{-1}g_{k})=\phi (h)&&{\text{dla niektórych }}h\in H\\&\Longleftrightarrow \phi (h^{-1}g_{j}^{-1}g_{k})=1\\&\Longleftrightarrow h^{-1}g_{j }^{-1}g_{k}\in \ker(\phi )\subset H\\&\Longleftrightarrow g_{j}^{-1}g_{k}\in H\\&\Longleftrightarrow j=k \\\koniec {wyrównany}}}$

Niech ${\ Displaystyle {\ tylda {\ phi}}: H / H '\ do {\ tylda {H}} / {\ tylda {H}}'}$ będzie epimorfizmem z poprzedniego zdania. Mamy:

${\ Displaystyle {\ tylda {\ fi}} (T_ {G, H} (x)) = {\ tylda {\ fi}} \ lewo (\ prod _ {i = 1} ^ {n} g_ {\ pi _{x}(i)}^{-1}xg_{i}\cdot H'\right)=\prod _{i=1}^{n}\phi \left(g_{\pi _{x} (i)}\right)^{-1}\phi (x)\phi (g_{i})\cdot \phi (H').}$

Ponieważ ${\ Displaystyle \ phi (H') = \ phi (H) '= {\ tylda {H}}'}$ , prawa strona równa się ${\ Displaystyle T _ {{\ tylda {G}}, {\ tylda {H}}} (\ phi (x))},$ jeśli ${\ Displaystyle (\ phi (g_ {1}), \ ldots, \ phi (g_ {n}})}$ jest lewą poprzeczną ${\ Displaystyle {\ tylda {H}}}$ w $,$${\ Displaystyle \ ker (\ phi) \ podzbiór H.}$ gdy Dlatego ${\ Displaystyle {\ tylda {\ phi}} \ circ T_ {G, H} = T _ {{\ tylda {G}}, {\ tylda {H}}} \ circ \ phi.} W$ konsekwencji ${\ Displaystyle \ ker (\ fi) \ podzbiór H}$ implikuje włączenie

${\ Displaystyle \ phi (\ ker (T_ {G, H})} \ podzbiór \ ker (T _ {{\ tylda {G}}, {\ tylda {H}}}).}$

Wreszcie, jeśli $\ phi) \ podzbiór H'}$$,$ to zgodnie z poprzednim twierdzeniem jest izomorfizmem $= {\ tylda {\ phi}} ^ {- 1} \ circ T_ { {\tilde {G}},{\tilde {H}}}\circ \phi }$ sol , co dowodzi

${\ Displaystyle \ phi ^ {-1} \ lewo (\ ker (T _ {{\ tylda {G}}, {\ tylda {H}}}) \ prawej) \ podzbiór \ ker (T_ {G, H}) .}$

Łącząc inkluzje mamy:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {\ rozpocząć {przypadki} \ phi (\ ker (T_ {G, H})} \ podzbiór \ ker (T_ {{\ tylda {G}}, {\ tylda {H} }})\\\phi ^{-1}\left(\ker(T_{{\tylda {G}},{\tylda {H}}})\right)\subset \ker(T_{G,H })\end{przypadki}}&\Longrightarrow {\begin{przypadki}\phi (\ker(T_{G,H}))\subset \ker(T_{{\tylda {G}},{\tylda { H}}})\\\phi \left(\phi ^{-1}\left(\ker(T_{{\tylda {G}},{\tylda {H}}})\right)\right) \subset \phi (\ker(T_{G,H}))\end{cases}}\\[8pt]&\Longrightarrow \phi \left(\phi ^{-1}\left(\ker(T_{ {\tylda {G}},{\tylda {H}}})\right)\right)\podzbiór \phi (\ker(T_{G,H}))\podzbiór \ker(T_{{\tylda { G}},{\tylda {H}}})\\[8pt]&\Longrightarrow \ker(T_{{\tylda {G}},{\tylda {H}}})\podzbiór \phi (\ker (T_{G,H}))\podzbiór \ker(T_{{\tylda {G}},{\tylda {H}}})\\[8pt]&\Longrightarrow \phi (\ker(T_{G ,H}))=\ker(T_{{\tylda {G}},{\tylda {H}}})\end{wyrównane}}}$

Definicja. W świetle wyników w tej sekcji, jesteśmy w stanie zdefiniować częściową kolejność przenoszenia jąder, ustawiając ${\ Displaystyle \ ker (T_ { G,H})\preceq \ker(T_ {{\tylda {G}},{\tylda {H}}})} ,$ gdy ${\ Displaystyle \ phi (\ ker (T_ {G, H})} \ podzbiór \ ker (T _ {{\ tylda {G}}, {\ tylda {H}}}).}$

Multilety TTT i TKT

Załóżmy, że ${\ Displaystyle G, {\ tylda {G}}, \ phi}$ są jak powyżej i że ${\ Displaystyle G/G'}$ i ${\ Displaystyle {\tilde {G}}/{\tilde {G}}'}$ są izomorficzne i skończone. Niech ${i \ in I}}$$skończoną$ oznacza rodzinę wszystkich podgrup zawierających (co czyni ją rodziną normalnych podgrup) . Dla każdego ${\ displaystyle i \ in ja}$ :

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {\ tylda {H_ {i}}} &: = \ phi (H_ {i}) \\ T_ {i} &: = T_ {G, H_ {i}} :G\do H_{i}/H_{i}'\\{\tylda {T_{i}}}&:=T_{{\tylda {G}},{\tylda {H_{i}}}} :{\tylda {G}}\do {\tylda {H_{i}}}/{\tylda {H_{i}}}'\end{wyrównane}}}$

Weźmy dowolny niepusty podzbiór $}$$I$ . Wtedy wygodnie jest zdefiniować ${\ Displaystyle \ varkappa _ {H} (G) = (\ ker (T_ {j})) _ {j \ w J}}$$w J}}$ zwany (częściowym) typem jądra transferu (TKT) w odniesieniu do $jot$ i ${\ Displaystyle \ tau _ {H} (G) = (H_ {j} / H_ {j} ') _ {j \ in J},}$ zwany (częściowym) docelowym typem transferu (TTT) w odniesieniu do ${\ Displaystyle (H_ {j}) _ {j \ w J$$jot$ .

Ze względu na zasady dotyczące singuletów, ustalone w poprzednich dwóch sekcjach, te multiplety TTT i TKT podlegają następującym podstawowym prawom dziedziczenia:

Prawo dziedziczenia I. Jeśli ${\ Displaystyle \ ker (\ phi) \ równoważnik \ czapka _ {j \ w J} H_ {j}}$ , to ${\ Displaystyle \ tau _ {\ tylda {H}} ({\ tylda {G}}) \ preceq \ tau _ {H} (G)} w tym sensie$${\ Displaystyle {\ tylda {H_ {j}}} / {\ tylda {H_ {j}}} '\ preceq H_ {j} / H_ {j} '}$ że , dla każdego ${\ Displaystyle j \ w J.}$ i ${\ Displaystyle \ varkappa _ {H} (G) \ preceq \ varkappa _ {\ tylda {H }} ({\ tylda {G}})}$ , w tym sensie, że ${\ Displaystyle \ ker (T_ {j}) \ preceq \ ker ({\ tylda {T_ {j}}})}$ dla każdego ${\ Displaystyle j \ w J}$ .

Prawo spadkowe II. Jeśli ${\ Displaystyle \ ker (\ phi) \ równoważnik \ czapka _ {j \ w J} H_ {j} '}$ , to ${\ Displaystyle \ tau _ {\ tylda {H}} ({\ tylda {G}}) = \ tau _ {H} (G)} w tym$${\ Displaystyle {\ tylda {H_ {j}}} / {\ tylda {H_ {j}}} '= H_ {j} / H_ {j} '}, dla$ że każdego ${\ Displaystyle j \ w J} i$ ϰ $\ Displaystyle \ varkappa _ {H} (G) = \ varkappa _ {\ tylda {H}} ({\ tylda {G}})}$ , w tym sensie, że ${\ Displaystyle \ ker (T_ {j}) = \ ker ({\ tylda {T_ {j}} })}$ , dla każdego ${\ Displaystyle j \ w J}$ .

Odziedziczone automorfizmy

Kolejna właściwość dziedziczenia nie dotyczy bezpośrednio transferów Artina, ale okaże się przydatna w zastosowaniach do drzew potomnych.

Prawo spadkowe III. Załóżmy, że ${\ Displaystyle G, {\ tylda {G}}, \ phi}$ są jak powyżej i ${\ Displaystyle \ sigma \ in \ operatorname {Aut} (G).}$ Jeżeli ${\ Displaystyle \ sigma (\ ker (\ phi)) \ podzbiór \ ker ( \ phi )}$ wtedy istnieje unikalny epimorfizm taki, że $G}}}$${\ Displaystyle \ phi \ circ \ sigma = {\ tylda {\ sigma}} \ circ \ phi}$ . Jeśli ${\ Displaystyle \ sigma (\ ker (\ phi)) = \ ker (\ phi)}$ wtedy ${\ Displaystyle {\ tylda {\ sigma}} \ w \ operatorname {Aut} ({\ tylda {G}}).}$

Dowód. $_$ izomorfizmu _

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {przypadki} {\ tylda {\ sigma}}: {\ tylda {G}}\do {\tylda {G}}\\{\tylda {\sigma }}(g\ker(\phi)):=\sigma (g)\ker(\phi)\end{przypadki }}}$

Najpierw pokazujemy, że ta mapa jest dobrze zdefiniowana:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} g \ ker (\ phi) = h \ ker (\ phi) & \ Longrightarrow h ^ {- 1} g \ w \ ker (\ phi) \\ &\Longrightarrow \sigma (h^{-1}g)\in \sigma (\ker(\phi ))\\&\Longrightarrow \sigma (h^{-1}g)\in \ker(\phi ) &&\sigma (\ker(\phi ))\podzbiór \ker(\phi )\\&\Longrightarrow \sigma (h^{-1})\sigma (g)\in \ker(\phi )\\& \Longrightarrow \sigma (g)\ker(\phi )=\sigma (h)\ker(\phi )\end{wyrównane}}}$

Fakt, że jest $suriekcją$ , homomorfizmem i spełnia $\ sigma}} \circ \phi }$ można łatwo zweryfikować.

A jeśli ${\ Displaystyle \ sigma (\ ker (\ phi)) = \ ker (\ phi)}$ , to iniekcja ${\ Displaystyle {\ tylda { \sigma }}}$ jest konsekwencją

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane}} {\ tylda {\ sigma}} (g \ ker (\ phi)) = \ ker (\ phi) & \ Longrightarrow \sigma (g)\ker(\phi )=\ker(\phi )\\&\Longrightarrow \sigma (g)\in \ker(\phi )\\&\Longrightarrow \sigma ^{-1}(\ sigma (g))\in \sigma ^{-1}(\ker(\phi ))\\&\Longrightarrow g\in \sigma ^{-1}(\ker(\phi ))\\&\Longrightarrow g\in \ker(\phi )&&\sigma ^{-1}(\ker(\phi ))\podzbiór \ker(\phi )\\&\Longrightarrow g\ker(\phi )=\ker(\ phi )\end{wyrównane}}}$

Niech ${\ Displaystyle \ omega: G \ do G/G'}$ będzie projekcją kanoniczną, wtedy istnieje unikalny automorfizm indukowany ${\ Displaystyle { \ bar {\ sigma}} \ in \ operatorname {Aut} (G/G')}$ takie, że ${\ Displaystyle \ omega \ circ \ sigma = {\ bar {\ sigma}} \ circ \omega }$ , czyli

$\ forall g \ w G: \ qquad { \bar {\sigma }}(gG')={\bar {\sigma }}(\omega (g))=\omega (\sigma (g))=\sigma (g)G',}$

Powodem iniekcji jest to, że ${\ Displaystyle {\ bar {\ sigma}}}$

${\ Displaystyle \ sigma (g) G '={\bar {\sigma }}(gG')=G'\Strzałka w prawo \sigma (g)\in G'\Strzałka w prawo g=\sigma ^{-1}(\sigma (g))\in G' ,}$

ponieważ $G}$ charakterystyczną podgrupą ${\ displaystyle$ .

Definicja. $G}$$,$ nazywa się σ -grupą jeśli istnieje ​​indukowany automorfizm działa ${\ displaystyle G/G'}$ , czyli dla wszystkich

${\ Displaystyle g \ in G: \ qquad \ sigma (g) G '= {\ bar {\ sigma}} (gG') = g ^ {-1} G '\ Longleftrightarrow \ sigma (g) g \ in G '.}$

Prawo dziedziczenia III zapewnia, że ​​jeśli ${\ Displaystyle \ sigma (\ ker (\ phi)) = \$ σ $ϕ$ i ) , wtedy jest również grupą $\ Displaystyle {\ tylda {\ sigma$ - , wymaganym automorfizmem jest $}}$ . Można to zobaczyć, stosując epimorfizm do równania $σ$$Displaystyle \ sigma (g) G'= { \bar {\sigma }}(gG')=g^{-1}G'}$ co daje

${\ Displaystyle \ forall x = \ phi (g) \ in \ phi (G) = {\ tylda {G}}: \ qquad {\ tylda {\ sigma}} (x) {\ tylda {G}} '= {\tylda {\sigma }}(\fi (g)){\tylda {G}}'=\phi (\sigma (g))\phi (G')=\phi (g^{-1}) \phi (G')=\phi (g)^{-1}{\tylda {G}}'=x^{-1}{\tylda {G}}'.}$

Kryteria stabilizacji

W tym podrozdziale wyniki dotyczące dziedziczenia TTT i TKT z ilorazów z poprzedniego podrozdziału odnoszą się do najprostszego przypadku, który charakteryzuje się następującym

Założenie. π $(G)}$${\ Displaystyle G}$ grupy ${\ Displaystyle G}$ jest ilorazem ${\ Displaystyle \ pi (G) = G/$ } ${\ Displaystyle N = \ gamma _ {c}$ ostatni nietrywialny wyraz dolnej centralnej serii $} }$ , gdzie oznacza klasę nilpotencji $\ displaystyle G$$}$ . Odpowiedni epimorfizm z ${\ Displaystyle$$}$ na ${\ Displaystyle \ pi (G) = G / \ gamma _ {c} (G) }$ to projekcja kanoniczna, której jądro jest podane przez ${\ Displaystyle \ ker (\ pi) = \ gamma _ {c} (G)}$ .

Przy tym założeniu jądra i cele transferów Artina okazują się zgodne z relacjami rodzic-potomek między skończonymi grupami p .

Kryterium zgodności. Niech będzie $liczbą$ . Załóżmy, że ${cl} (G$ { \ Displaystyle $)$ . $displaystyle \ tau (\ pi (G)) \ preceq \ tau (G)}$ TTT i TKT $z$$⪯$ rodzica $sol$ w sensie, ( ${\ Displaystyle \ varkappa (G) \ preceq \ varkappa (\ pi (G)) }$ ϰ .

Prostym powodem tego faktu ${\ Displaystyle \ ker (\ pi) = \ gamma _ {c} (G) \ równoważnik \ gamma _ {2} (G) = G'\ równoważnik H}, ponieważ do$$sol$ ( ≥ $Displaystyle c\geq 2}$ .

$G$ mają być skończonymi metabelowymi p z elementarną abelianizacją rangi sol $displaystyle$${$ to jest typu ${\ Displaystyle (p, p)}$ .

Częściowa stabilizacja dla klasy maksymalnej. Metabelian p -grupa sol ${\ Displaystyle G}$ coclass $\ Displaystyle \ operatorname {cc} (G) = 1}$ i klasy nilpotencji ${\ Displaystyle c = \ operatorname {cl} (G) \ geq 3}$${\ displaystyle \ varkappa (G)}$ ostatnie $)$ TTT ${\ Displaystyle \ tau (G)}$ i TKT z jego rodzicem ${\ Displaystyle \ pi (G)}$ . Mówiąc dokładniej, dla nieparzystych liczb pierwszych mamy $, p)}$$Displaystyle \ tau ($ i ${\ Displaystyle \ varkappa (G) _ {i} = 0}$ dla ${\ Displaystyle 2 \ równoważnik i \ równoważnik p + 1}$ .

Kryterium to wynika z faktu, że $= \ gamma _ {c} (G) \ równoważnik \ gamma _ {3} (G) = H_ {i} '}$ ker $)$$\ ker (\ pi$ , dla ostatnich maksymalnych podgrup ${\ displaystyle p}$${ \ Displaystyle H_ {2}, \ ldots, H_ {p + 1}}$ z ${\ displaystyle G}$ .

Warunek jest rzeczywiście $stabilizacji$ dla kryterium $geq 3}$$)}$ , dodatkowa specjalna $-$ 1 ${\ Displaystyle G = G_ {0} ^ {3} (0$ , $ma$ rzędu ${\ displaystyle p ^ {3}}$${\ displaystyle p ^ {2}$ tylko klasę nilpotencji a ostatni $} displaystyle p}$ składniki jego $+$$displaystyle \ varkappa = (0 ^ {p + 1})}$ ściśle $mniejsze$ swojego rodzica ${\ Displaystyle \ pi (G)},$$który$ jest elementarną abelową typu ${\ Displaystyle (p, p)}$ . Dla ${\ Displaystyle p = 2}$ , obu dodatkowych specjalnych -grup coclass $i$ klasy $c = 2}$$Displaystyle$ zwykłej grupy czwartorzędowej ${\ Displaystyle G = G_ {0} ^ {3} (0,1)}$ z TKT ${\ Displaystyle \ varkappa = (123)}$ i grupą dwuścienną ${\ Displaystyle G = G_ {0} ^ {3} (0,0)}$$mniejsze$ mają ostatnie składniki swoich TKT niż ich wspólny rodzic ${\ Displaystyle \ pi (G) = C_ {2} \ razy C_ {2}}$ z TKT ${\ Displaystyle \ varkappa = (000)}$ .

Całkowita stabilizacja dla klasy maksymalnej i wady pozytywnej.

Metabelian p -grupa sol ${\ Displaystyle G}$ coclass ${\ Displaystyle \ operatorname {cc} (G) = 1}$ i klasy nilpotencji $_$$+$ 1 _ $1}$$_$$(G)}$$sol$ i z jego $π$${$ , pod warunkiem, że ma dodatnią wadę przemienności ${\ Displaystyle k = k (G) \ geq 1}$ . $\ Displaystyle k \ geq 1}$${\ Displaystyle \ varkappa (G) _ {i} = 0}$ implikuje ${\ Displaystyle p \ geq 3}$ i mamy ( dla wszystkich ${\ Displaystyle 1 \ równoważnik ja \ równoważnik p + 1}$ .

$k \ geq 1}$${\ Displaystyle \ ker (\ pi) = \ gamma _ {m-1} (G) \ równoważnik \ gamma _ {mk} (G) \ równoważnik H_ {i} '}$ że warunki i ${\ Displaystyle$ implikują , dla wszystkich maksymalnych podgrup $+$${\ Displaystyle H_ {1}, \ ldots, H_ {p + 1}$ } $Displaystyle$ .

Warunek $jest rzeczywiście$ do całkowitej Aby to zobaczyć, wystarczy wziąć pod uwagę tylko pierwszy składnik TKT. Dla każdej klasy nilpotencji $}$ (co najmniej) dwie grupy $)}$${\ Displaystyle G = G_ {0} ^ {c +$$+1} (1,0)}$ z TKT $= sol do +$ 1 $^$ z TKT ${\ Displaystyle \ varkappa = (20 ^ {p})}$$,$ oba z defektem pierwszy składnik ich TKT jest ściśle mniejszy $}$ pierwszy składnik TKT $Displaystyle \ varkappa = (0 ^ {p +$ wspólnego rodzica .

Częściowa stabilizacja dla klasy niemaksymalnej.

Niech ${\ displaystyle p = 3}$ zostanie ustalony. Metabelian 3-grupa z abelianizacją $/$${\ Displaystyle G / G' \ simeq (3,3)}$ coclass do $\ operatorname {cc} (G) \ geq 2}$$\$ i klasa nilpotencji ${\ Displaystyle c = \ operatorname {cl} (G) \ geq 4}$ dzieli ostatnie dwa (spośród czterech) składniki TTT ${\ Displaystyle \ tau (G)}$ i TKT ${\ Displaystyle \ varkappa (G)}$ z rodzicem ${\ Displaystyle \ pi (G)}$ .

Kryterium to jest uzasadnione następującymi względami. do ${\ Displaystyle c \ geq 4}$ , to ${4} (G) \ równoważnik H_ {i} '}$$\ Displaystyle \ ker (\ pi) = \ gamma _ {c } (G) \ równoważnik \ gamma$$_$ dla dwóch ostatnich maksymalnych podgrup ${\ Displaystyle H_ {3}, H_ {4}}$ G $\displaystyle G}$ .

Warunek jest rzeczywiście nieunikniony dla częściowej stabilizacji $4}$ ponieważ istnieje kilka $4$ klas, $geq$ przykład z małymi grupami identyfikatory ${\ Displaystyle G \ w \ {\ langle 243,3 \ rangle, \ langle 243,6 \ rangle, \ langle 243, 8 \ rangle \}}$ , tak że ostatnie dwa składniki ich TKT $\}} są ściśle mniejsze$${\ Displaystyle \ varkappa \ in \ {(0043), (0122), (2034$$G)=G_{0}^{3}(0,0)}$ ostatnie składniki TKT $sol$ wspólnego rodzica ${\ Displaystyle \$ .

Całkowita stabilizacja dla klasy niemaksymalnej i centrum cyklicznego.

Ponownie, niech zostanie naprawiony. ${\ displaystyle p = 3}$ Metabelian 3-grupa z abelianizacją $/$${\ Displaystyle G / G' \ simeq (3,3)}$ coclass do $\ operatorname {cc} (G) \ geq 2}$$\$ , klasa nilpotencji $\ Displaystyle c = \ operatorname {cl} (G) \ geq 4}$ i centrum cykliczne ${ \ displaystyle \ zeta _ {1} (G)}$ dzieli wszystkie cztery składniki TTT ${\ Displaystyle \ tau (G)}$ i TKT ${\ Displaystyle \ varkappa (G)}$ z jego rodzic ${\ Displaystyle \ pi (G)}$ .

Powodem jest to, że ze względu na centrum cykliczne mamy ${\ Displaystyle \ ker (\ pi) = \ gamma _ {c} (G) = \ zeta _ {1} (G) \ równoważnik H_ {i} '}$ dla wszystkich czterech maksymalnych podgrup ${\ Displaystyle H_ {1}, \ ldots, H_ {4}}$ z ${\ displaystyle G}$ .

Warunek centrum cyklicznego jest rzeczywiście konieczny do całkowitej stabilizacji, ponieważ dla grupy z centrum bicyklicznym istnieją dwie możliwości. ${\ Displaystyle \ gamma _ {c} (G) = \ zeta _ {1} (G)}$ do $}$ również bicykliczny, skąd ${\ Displaystyle \ gamma _$${\ Displaystyle \ gamma _ {c} (G$ nigdy nie jest zawarte w , lub $<$ jest cykliczny, ale nigdy nie jest zawarty w ${\ Displaystyle H_ {1} '}$ .

Podsumowując, możemy powiedzieć, że cztery ostatnie kryteria potwierdzają fakt, że transfery Artina stanowią wspaniałe narzędzie do klasyfikowania skończonych grup p .

W kolejnych podrozdziałach zostanie pokazane, w jaki sposób można zastosować te idee do nadawania drzewom potomnym dodatkowej struktury oraz do wyszukiwania określonych grup w drzewach potomnych poprzez poszukiwanie wzorców zdefiniowanych przez jądra i cele transferów Artina. Te strategie rozpoznawania wzorców są przydatne w czystej teorii grup iw algebraicznej teorii liczb .

Rysunek 4: Wyposażenie drzewa potomnego w informacje o transferach Artina.

Ustrukturyzowane drzewa potomne (SDT)

W tej sekcji zastosowano terminologię drzew potomnych w teorii skończonych grup p . Na rysunku 4 drzewo potomne o niewielkiej złożoności jest przykładowo wybrane, aby zademonstrować, w jaki sposób transfery Artina zapewniają dodatkową strukturę dla każdego wierzchołka drzewa. Dokładniej, podstawowa liczba pierwsza to $p =$ a wybrane drzewo potomne jest w rzeczywistości drzewem współklasy mającym unikalną nieskończoną linię główną, gałęzie głębokości i ścisłą okresowość długości ${\ Displaystyle 2}$${\ displaystyle p =$ ustawienie w gałęzi ${\ Displaystyle {\ mathcal {B}} (7)}$ . Początkowy $_$ poprzedzający $się$ z gałęzi _ Gałęzie ${\ Displaystyle {\ mathcal {B}} (7)}$ i ${\ Displaystyle {\ mathcal {B}} (8)}$ tworzą prymitywny okres taki, że ${\ Displaystyle {\ mathcal {B}} (j) \ simeq {\ mathcal {B}} (7)}$ , dla nieparzystego ${\ Displaystyle j \ geq 9}$ i ${\ Displaystyle {\ mathcal {B}} (j) \ simeq {\ mathcal {B}} (8)}$ nawet dla ${\ Displaystyle j \ geq 10}$ . Korzenie drzewa $_$$metabelowa$ z identyfikatorem , _ ${\ Displaystyle | R | = 3 ^ {5} = 243}$ i licząc liczbę ${\ Displaystyle 6}$ . Ten korzeń nie jest ustalony coclass , stąd całe jego drzewo potomne $jest$ znacznie większą złożoność niż poddrzewo $\$$mathcal {$ , którego pierwsze sześć gałęzi jest narysowanych na schemacie na rycinie 4. Dodatkową strukturę postrzegać jako rodzaj układu współrzędnych, w którym drzewo osadzony. Pozioma odcięta jest oznaczona $TKT$ jądra transferu ( ) , a pionowa rzędna jest oznaczona pojedynczym składnikiem typu docelowego transferu ( $\ Displaystyle \ tau (1)}$ { TTT). Wierzchołki drzewa są rysowane w taki sposób, że elementy okresowych nieskończonych sekwencji tworzą pionową kolumnę, która ma wspólny TKT . Z drugiej strony metabelowe o ustalonym porządku, reprezentowane przez najwyżej wierzchołki głębokości , $tworzą$ poziomy rząd, który ma wspólną pierwszą składową TTT (Aby zniechęcić do wszelkich błędnych interpretacji, wyraźnie wskazujemy, że pierwsza składowa TTT grup niemetabelowych lub grup metabelowych, reprezentowana przez wierzchołki głębokości, $jest$ zwykle mniejsza niż oczekiwano, ze względu na stabilizacji ! ) TTT wszystkich grup w tym drzewie reprezentowanych przez duży pełny dysk, który wskazuje bicykliczne centrum typu ${\ Displaystyle (3,3)}$ , jest określone przez ${\ Displaystyle \ tau = [A (3, c), (3,3,3), (9,3), ( 9,3)]}$ ze zmienną pierwszą składową ${\ Displaystyle \ tau (1) = A (3, c)}$ , prawie homocykliczna grupa abelowa ${\ Displaystyle 3}$ rzędu ${\ Displaystyle 3 ^ {c}}$ i ustalił dalsze składniki ${\ Displaystyle \ tau (2) = (3,3, 3) {\ kapelusz {=}} (1 ^ {3})}$ i ${\ Displaystyle \ tau (3) = \ tau ( 4) = (9,3) {\ hat {=}} (21)}$ , gdzie niezmienniki typu abelowego $są$ albo zapisywane jako rzędy składowych cyklicznych, albo jako ich z wykładnikami wskazującymi iterację. (Ten ostatni zapis jest zastosowany na rysunku 4.) Ponieważ $podany jest$ wszystkich grup w tym drzewie to $.$ związek między rzędem klasą nilpotencji przez do $\ Displaystyle c = n-2}$ .

Rozpoznawanie wzorców

Aby przeszukać określoną grupę w drzewie potomnym, szukając wzorców zdefiniowanych przez jądra i cele transferów Artina, często wystarcza zmniejszenie liczby wierzchołków w gałęziach gęstego drzewa o dużej złożoności poprzez przesiewanie grup o pożądanych właściwościach specjalnych , Na przykład

• filtrowanie -grup, ${\ displaystyle \ sigma}$
• wyeliminowanie zestawu niektórych typów jądra transferu,
• anulowanie wszystkich grup niemetabelowych (oznaczone małymi kwadratami konturowymi na ryc. 4),
• usuwanie grup metabelowych z centrum cyklicznym (oznaczone małymi pełnymi krążkami na ryc. 4),
• odcinanie wierzchołków, których odległość od linii głównej ( głębokość ) przekracza pewną dolną granicę,
• łącząc kilka różnych kryteriów przesiewania.

Wynik takiej procedury przesiewania nazywany jest przyciętym drzewem potomnym w odniesieniu do pożądanego zestawu właściwości. Jednak w każdym przypadku należy unikać eliminowania głównej linii drzewa współklasy, ponieważ wynikiem byłby rozłączony nieskończony zbiór skończonych grafów zamiast drzewa. $\ displaystyle \ sigma}$ eliminowania wszystkich $4,$ ani eliminowania wszystkich grup za pomocą TKT . σ Na rycinie 4 duży prostokąt z podwójnym konturem otacza przycięte $drzewo$ z ${\ Displaystyle \ varkappa = (2122)}$ są całkowicie wyeliminowane. Byłoby $pierwszym$$\$ z $sigma$ i TTT. W takim przypadku wynikiem wyszukiwania byłaby nawet unikalna grupa. Rozszerzymy tę ideę dalej w poniższym szczegółowym omówieniu ważnego przykładu.

Przykład historyczny

Najstarszy przykład poszukiwania skończonej grupy p za pomocą strategii rozpoznawania wzorców poprzez transfery Artina pochodzi z 1934 roku, kiedy A. Scholz i O. Taussky próbowali wyznaczyć grupę Galois ${\ Displaystyle G = \ operatorname {G} _ {3} ^ {\ infty} (K) = \ operatorname {Gal} (\ operatorname {F} _ {3} ^ {\ infty} (K) | K)} wieży polowej klasy$ Hilberta ${\ Displaystyle 3}$ , czyli maksymalnego nierozgałęzionego pro- ${\ Displaystyle 3}$ rozszerzenie ${\ Displaystyle \ operatorname {F} _ {3}^{\infty }(K)}$ , zespolonego kwadratowego pola liczbowego ${\ Displaystyle K = \ mathbb {Q} ({\ sqrt {-9748}}).}$ W rzeczywistości udało im się znaleźć maksymalny iloraz metabelowy $) | K)}$${\ Displaystyle Q = G / G '' = \ operatorname {G} _ {3} ^ {2} (K) = \ operatorname {Gal} (\ operatorname {F} _ {3 } ^ {2} ($${} ^ {2} (K) | K$ z , czyli grupa Galois drugiego Hilberta $3$ pole $)} fa} _ {3} ^ {2} (K)}$ z ${\ displaystyle K}$ . Jednak potrzeba było ${\ displaystyle 78} lat, zanim MR Bush i DC Mayer w 2012 roku$${ \ Displaystyle G = \ operatorname {G} _ {3} ^ {\ infty} (K)}$ pierwszego rygorystycznego dowodu na to, że (potencjalnie nieskończona) $grupa$ wież zbiega się z grupą skończoną ${\ Displaystyle 3}$ -grupa ${\ Displaystyle \ operatorname {G} _ {3} ^ {3} (K) = \ operatorname {Gal} (\ operatorname {F} _ {3} ^ {3} (K) | K)}$ re $= 3}$$}$ a zatem wieża ma dokładnie trzy etapy, zatrzymując się na $3$ trzecie pole klasy $\ Displaystyle$ z ${$$Displaystyle 3$ .

Tabela 1: Możliwe ilorazy P _c grupy 3 wież G z K

C	zamówienie Pc _	Identyfikator SmallGroups P c	TKT ${\ Displaystyle \ varkappa}$ P. do	TTT ${\ Displaystyle \ tau}$ P. do	v	μ	numery potomne P c
${\ Displaystyle 1}$	${\ Displaystyle 9}$	${\ Displaystyle \ langle 9,2 \ rangle}$	${\ Displaystyle (0000)}$	${\ Displaystyle [(1) (1) (1) (1)]}$	${\ Displaystyle 3}$	${\ Displaystyle 3}$	${\ Displaystyle 3/2; 3/3; 1/1}$
${\ Displaystyle 2}$	${\ Displaystyle 27}$	${\ Displaystyle \ langle 27,3 \ rangle}$	${\ Displaystyle (0000)}$	${\ Displaystyle [(1 ^ {2}) (1 ^ {2}) (1 ^ {2}) (1 ^ {2}) ]}$	${\ Displaystyle 2}$	${\ Displaystyle 4}$	${\ Displaystyle 4/1; 7/5}$
${\ Displaystyle 3}$	${\ Displaystyle 243}$	${\ Displaystyle \ langle 243,8 \ rangle}$	${\ Displaystyle (2034)}$	${\ Displaystyle [(21) (21) (21) (21)]}$	${\ Displaystyle 1}$	${\ Displaystyle 3}$	${\ Displaystyle 4/4}$
${\ Displaystyle 4}$	${\ Displaystyle 729}$	${\ Displaystyle \ langle 729,54 \ rangle}$	${\ Displaystyle (2034)}$	${\ Displaystyle [(21) (2 ^ {2}) (21) (21)]}$	${\ Displaystyle 2}$	${\ Displaystyle 4}$	${\ Displaystyle 8/3; 6/3}$
${\ Displaystyle 5}$	${\ Displaystyle 2187}$	${\ Displaystyle \ langle 2187,302 \ rangle}$	${\ Displaystyle (2334)}$	${\ Displaystyle [(21) (32) (21) (21)]}$	${\ styl wyświetlania 0}$	${\ Displaystyle 3}$	${\ Displaystyle 0/0}$
${\ Displaystyle 5}$	${\ Displaystyle 2187}$	${\ Displaystyle \ langle 2187,306 \ rangle}$	${\ Displaystyle (2434)}$	${\ Displaystyle [(21) (32) (21) (21)]}$	${\ styl wyświetlania 0}$	${\ Displaystyle 3}$	${\ Displaystyle 0/0}$
${\ Displaystyle 5}$	${\ Displaystyle 2187}$	${\ Displaystyle \ langle 2187,303 \ rangle}$	${\ Displaystyle (2034)}$	${\ Displaystyle [(21) (32) (21) (21)]}$	${\ Displaystyle 1}$	${\ Displaystyle 4}$	${\ Displaystyle 5/2}$
${\ Displaystyle 5}$	${\ Displaystyle 6561}$	${\ Displaystyle \ langle 729,54 \ rangle - \ # 2; 2}$	${\ Displaystyle (2334)}$	${\ Displaystyle [(21) (32) (21) (21)]}$	${\ styl wyświetlania 0}$	${\ Displaystyle 2}$	${\ Displaystyle 0/0}$
${\ Displaystyle 5}$	${\ Displaystyle 6561}$	${\ Displaystyle \ langle 729,54 \ rangle - \ # 2; 6}$	${\ Displaystyle (2434)}$	${\ Displaystyle [(21) (32) (21) (21)]}$	${\ styl wyświetlania 0}$	${\ Displaystyle 2}$	${\ Displaystyle 0/0}$
${\ Displaystyle 5}$	${\ Displaystyle 6561}$	${\ Displaystyle \ langle 729,54 \ rangle - \ # 2; 3}$	${\ Displaystyle (2034)}$	${\ Displaystyle [(21) (32) (21) (21)]}$	${\ Displaystyle 1}$	${\ Displaystyle 3}$	${\ Displaystyle 4/4}$
${\ Displaystyle 6}$	${\ Displaystyle 6561}$	${\ Displaystyle \ langle 2187303 \ rangle - \ # 1; 1}$	${\ Displaystyle (2034)}$	${\ Displaystyle [(21) (3 ^ {2}) (21) (21)]}$	${\ Displaystyle 1}$	${\ Displaystyle 4}$	${\ Displaystyle 7/3}$
${\ Displaystyle 6}$	${\ Displaystyle 19683}$	${\ Displaystyle \ langle 729,54 \ rangle - \ # 2; 3- \ # 1; 1}$	${\ Displaystyle (2034)}$	${\ Displaystyle [(21) (3 ^ {2}) (21) (21)]}$	${\ Displaystyle 2}$	${\ Displaystyle 4}$	${\ Displaystyle 8/3; 6/3}$

Poszukiwania przeprowadza się za pomocą algorytmu generowania grup p autorstwa MF Newmana i EA O'Briena. W celu inicjalizacji algorytmu należy wyznaczyć dwa podstawowe niezmienniki. pierwsze , ranga generatora $grup$ , które mają zostać skonstruowane. Tutaj mamy ${\ Displaystyle p = 3}$ i ${\ Displaystyle d = r_ {3} (K) = d (\ operatorname { Cl} _ {3} (K)}}$$jest$ dana przez $rangę$ pola . ${\ Displaystyle \ operatorname {Cl} _ {3} (K) \ simeq (1 ^ {2$ drugie, niezmienniki typu abelowego grupy -klas $K$ K. $\ displaystyle K}$ . Te dwa niezmienniki wskazują korzeń drzewa potomnego, które będzie konstruowane sukcesywnie. Chociaż p jest przeznaczony do stosowania definicji rodzic-potomek za pomocą dolnego szeregu wykładniczego p , można go dopasować do definicji za pomocą zwykłego dolnego szeregu środkowego. W przypadku elementarnej abelowej p jako pierwiastka różnica nie jest bardzo duża. Musimy więc zacząć od elementarnej grupy abelowej $drugiego rzędu$${\ Displaystyle \ langle 9,2 \ rangle}$ identyfikator SmallGroups i skonstruować drzewo potomne ${\ Displaystyle {\ mathcal {T}} (\ langle 9,2 \ rangle)}$ . Robimy to, powtarzając p , biorąc odpowiednich zdolnych potomków poprzedniego pierwiastka jako następny pierwiastek, zawsze wykonując przyrost klasy nilpotencji o jednostkę.

Jak wyjaśniono na początku sekcji Rozpoznawanie wzorców , musimy przyciąć drzewo potomne w odniesieniu do niezmienników TKT i TTT grupy -wież , $displaystyle$ są określone przez arytmetykę 3 $3}$ pole jako $}$ dokładnie dwa ${\ Displaystyle \ tau = [(21) (32) (21) (21)]}$$K$ . Co więcej, każdy iloraz $musi$ być $-grupą$$, wymuszoną przez wymagania$ dla pola .

Korzeń $\ rangle}$$langle$ tylko jednego zdolnego potomka typu $1^{2})}$$Displaystyle$ . $\ Displaystyle$ chodzi o klasę nilpotencji, jest klasą $}$ iloraz ${\ Displaystyle G / \ gamma$${$ i ⟨ $\ Displaystyle \ langle 27,3 \ rangle}$ to klasa - $\ Displaystyle 2}$ iloraz ${\ displaystyle G / \ gamma _ {3} (G)}$ z ${\ displaystyle G}$ . Ponieważ ten ostatni ma stopień jądrowy drugi, następuje rozwidlenie $}$${\ Displaystyle {\ mathcal {T}} (\langle 27,3\rangle )={\mathcal {T}}^{1}(\langle 27,3\rangle )\sqcup {\mathcal {T}}^{2}(\langle 27,3\$$_$ ) , gdzie ${\ Displaystyle \ varkappa = (\ ast 000)}$ dla TKT wszystkich ${\ Displaystyle 3}$ -grup klasy maksymalnej.

Ze względu na właściwość dziedziczenia TKT, tylko pojedynczy zdolny potomek $Displaystyle$ się jako klasa- $}$ iloraz $\ displaystyle G / \ gamma _ {4} (G)}$ z ${\ displaystyle G}$ . Jest tylko jedna zdolna $⟨$$\ rangle}$ pośród potomków $\ Displaystyle \ langle 243,8 \ rangle }$ { . Jest to $iloraz$$_$ _ $_$ _

Powoduje to zasadnicze rozwidlenie ${\ Displaystyle {\ mathcal {T}} (\ langle 729,54 \ rangle )={\mathcal {T}}^{2}(\langle 729,54\rangle )\sqcup {\mathcal {T}}^{3}(\langle 729,54\rangle )} w dwóch poddrzewach$ należących do różnych wykresów współklasowych $}$ { $G$ } $_$$.$ zawiera iloraz _ $_ displaystyle Q \ {\ langle 2187,302 \ rangle, \ langle 2187,306 \ rangle \}}$ , które nie są zrównoważone relacją rang ${\ displaystyle r = 3> 2 = d}$ większy niż ranga generatora. Ta ostatnia składa ${\ Displaystyle \ langle 729,54 \ rangle - \ # 2; 2}$ w całości grup niemetabelowych i daje pożądaną $z$ jedną grup Schur $sigma$$\ Displaystyle \$ } i ${\ Displaystyle \ langle 729,54 \ rangle - \ # 2; 6}$ z ${\ Displaystyle r = 2 = d}$ .

Ostatecznie kryterium zakończenia zostaje osiągnięte na zdolnych wierzchołkach ${\ Displaystyle \ langle 2187303 \ rangle - \ # 1; 1 \ w {\ mathcal {G}} (3,2)}$ i ${\ Displaystyle \ langle 729,54 \ rangle - \ # 2; 3- \ # 1; 1 \ w {\ mathcal {G}} (3,3)}$ , ponieważ TTT ${\ Displaystyle \ tau = [(21) (3 ^ {2}) (21 )(21)]>[(21)(32)(21)(21)]}$ jest za duży i jeszcze wzrośnie, nigdy nie wracając do ${\ Displaystyle [(21)(32)(21)(21)]}$ . Cały proces wyszukiwania przedstawiono w tabeli 1, gdzie dla każdego z możliwych kolejnych p -ilorazów ${\ Displaystyle P_ {c} = G / \ gamma _ {c + 1 } (G)}$$∞$ -wież sol $\ Displaystyle G = \ operatorname {G} _ {3} ^ {\ infty} (K)$ z ${\ Displaystyle K = \ mathbb {Q} ({\ sqrt {-9748}})}$ klasa nilpotencji jest oznaczona przez $(P_ {c})}$$\ Displaystyle c = \ operatorname {cl$${\ Displaystyle \ nu = \ nu$ jądrowa o a ranga mnożnika p o ${\ Displaystyle \ mu = \ mu (P_ {c})}$ .

Rachunek komutatora

Ta sekcja pokazuje przykładowo, w jaki sposób rachunek komutatora może być użyty do wyraźnego określenia jąder i celów transferów Artina. Jako konkretny przykład bierzemy grupy metabelowe $bicyklicznym$ centrum, które są reprezentowane przez duże pełne dyski jako wierzchołki diagramu drzewa coclass na rycinie 4. Tworzą one dziesięć okresowych nieskończonych sekwencji , odpowiednio cztery. sześć, parzyste, wzgl. nieparzysta klasa nilpotencji $do {\ displaystyle c}$ można ją scharakteryzować za pomocą sparametryzowanej prezentacji policyklicznego komutatora mocy :

1 ${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} G ^ {c, n} (z, w) = & \ langle x,y,s_{2},t_{3},s_{3},\ldots,s_{c}\mid {}\\&x^{3}=s_{c}^{w},\ y^ {3}=s_{3}^{2}s_{4}s_{c}^{z},\ s_{j}^{3}=s_{j+2}^{2}s_{j+3 }{\text{ for }}2\równik j\równoważnik c-3,\ s_{c-2}^{3}=s_{c}^{2},\ t_{3}^{3}=1 ,\\&s_{2}=[y,x],\ t_{3}=[s_{2},y],\ s_{j}=[s_{j-1},x]{\tekst{ dla }}3\leq j\leq c\rangle ,\end{wyrównane}}}$

gdzie do ${\ Displaystyle c \ geq 5}$ to klasa nilpotencji, $n = c + 2}$$\$ to ${\ Displaystyle 0 \ równoważnik w \ równoważnik 1, -1 \ równoważnik z \ równoważnik 1}$ ≤ są parametrami.

Typ $displaystyle$ transferu $($$}$ grupy klasy , jest niezależny od parametrów ${\ Displaystyle w, z}$ i jest podawany jednolicie przez ${\ Displaystyle \ tau = [A (3, c), (3,3,3), (9,3), (9,3)]}$ . Zjawisko to nazywane jest polaryzacją , a dokładniej unipolaryzacją , przy pierwszej składowej.

Typ jądra transferu ( TKT) grupy $jest$ niezależny od klasy nilpotencji do $}$$\ Displaystyle G = G ^ {c, n} (z, w)}$ , ale zależy od parametrów i jest podane przez do .18, $,$$Displaystyle \ varkappa = (0122)}$ dla $w = z = 0}$${\$ (grupa główna), H.4, ${\ Displaystyle \ varkappa = (2122)}$ , dla ${\ Displaystyle w = 0, z = \ pm 1}$ (dwie zdolne grupy), E.6, ${\ Displaystyle \ varkappa = (1122)}$ , dla ${\ Displaystyle w = 1, z = 0}$ (terminal grupa) i E.14, ${\ Displaystyle \ varkappa \ in \ {(4122), (3122) \}}$ , dla ${\ styl wyświetlania w=1,z=\pm 1}$ (dwie grupy terminali). Dla parzystej klasy nilpotencji dwie grupy typów H.4 i E.14, które różnią się tylko znakiem parametru, są $izomorficzne$

Twierdzenia te można wywnioskować za pomocą następujących rozważań.

W ramach przygotowań warto sporządzić listę niektórych relacji komutatora, zaczynając od tych podanych w prezentacji, ${\ Displaystyle [a, x] = 1}$ dla ${\ Displaystyle a \ w \ {s_ {c}, t_ {3} \}}$${\ Displaystyle a \ w \ {s_ {3}, \ ldots, s_ {c}, t_ {3} \}}$ [ $\ Displaystyle [a, y] = 1}$ za , co pokazuje, że centrum bicykliczne jest określone przez ${\ Displaystyle \ zeta _ {1} (G) = \ langle s_ {c}, t_ {3} \ rangle}$ . Za pomocą właściwej reguły iloczynu ${\ Displaystyle [a, xy] = [a, y] \ cdot [a, x] \ cdot [[a, x], y]}$ i właściwa reguła potęgi ${\ Displaystyle [a, y ^ {2}] = [a, y] ^ {1 + y}}$ , otrzymujemy ${\ Displaystyle [s_ {2}, xy] = s_ {3} t_ {3}}$ , ${\ Displaystyle [s_ {2}, xy ^ {2}] = s_ {3} t_ {3} ^ {2}}$ i ${\ Displaystyle [s_ {j}, xy] = [s_ {j}, xy ^ {2}] = [s_ {j}, x] = s_ {j + 1}}$ , dla ${\ Displaystyle j \ geq 3}$ .

Maksymalne podgrupy ${\ displaystyle G}$ pobierane w podobny sposób, jak w części dotyczącej implementacji obliczeniowej , a mianowicie sol

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} H_ { 1}&=\langle y,G'\rangle \\H_{2}&=\langle x,G'\rangle \\H_{3}&=\langle xy,G'\rangle \\H_{4} &=\langle xy^{2},G'\rangle \\\end{wyrównane}}}$

Ich pochodne podgrupy są kluczowe dla zachowania transferów Artina. Korzystając z ogólnego wzoru ${\ Displaystyle H_ {i} '= (G') ^ {h_ {i} -1}}$ , gdzie ${\ Displaystyle H_ {i} = \ langle h_ {i}, G' \ rangle} i$ wiemy, że ${\ displaystyle G'=\langle s_{2},t_{3},s_{3},\ldots,s_{c}\rangle }$ w obecnej sytuacji wynika z tego, że

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} H_ {1} '& = \ lewo \ langle s_ {2} ^{y-1}\right\rangle =\left\langle t_{3}\right\rangle \\H_{2}'&=\left\langle s_{2}^{x-1},\ldots , s_{c-1}^{x-1}\right\rangle =\left\langle s_{3},\ldots ,s_{c}\right\rangle \\H_{3}'&=\left\langle s_{2}^{xy-1},\ldots ,s_{c-1}^{xy-1}\right\rangle =\left\langle s_{3}t_{3},s_{4},\ ldots ,s_{c}\right\rangle \\H_{4}'&=\left\langle s_{2}^{xy^{2}-1},\ldots ,s_{c-1}^{xy ^{2}-1}\right\rangle =\left\langle s_{3}t_{3}^{2},s_{4},\ldots,s_{c}\right\rangle \end{wyrównane} }}$

Zauważ, że nie ${3} \ rangle$ ⟩ { $\$ środek ${\ Displaystyle \ zeta _ {1} (G) = \ langle s_ {c}, t_ {3} \ rangle}$ .

Jako pierwszy główny wynik, jesteśmy teraz w stanie określić niezmienniki typu abelowego wyprowadzonych ilorazów:

${\ Displaystyle H_ {1} / H_ {1} '= \ langle y ,s_{2},\ldots ,s_{c}\rangle H_{1}'/H_{1}'\simeq A(3,c),}$

unikalny iloraz, który rośnie wraz ze wzrostem klasy nilpotencji $}$ ponieważ $} (s_ {2}) = 3 ^ {m}}$${\ Displaystyle \ operatorname {ord} (y) = \ operatorname {ord$ nawet dla nawet ${\ Displaystyle c = 2 m}$ i ${\ Displaystyle \ operatorname {ord} (y) = 3 ^ {m + 1}, \ operatorname {ord} (s_ {2}) = 3 ^ {m}} dla nieparzystego do =$ 2 $c =2m+1}$ ,

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane }H_{2}/H_{2}'&=\langle x,s_{2},t_{3}\rangle H_{2}'/H_{2}'\simeq (3,3,3)\\ H_{3}/H_{3}'&=\langle xy,s_{2},t_{3}\rangle H_{3}'/H_{3}'\simeq (9,3)\\H_{4 }/H_{4}'&=\langle xy^{2},s_{2},t_{3}\rangle H_{4}'/H_{4}'\simeq (9,3)\end{wyrównane }}}$

ponieważ ogólnie ${\ Displaystyle \ operatorname {ord} (s_ {2}) = \ operatorname {ord} (t_ {3}) = 3}$ , ale ${\ Displaystyle \ operatorname {ord} (x) = 3}$ dla ${\ Displaystyle H_ {2}}$ , podczas gdy ${\ Displaystyle \ operatorname {ord} (xy) = \ operatorname {ord} (xy ^ {2}) = 9}$ dla ${\ Displaystyle H_ {3}}$ i ${\ Displaystyle H_ {4} }}$ .

Teraz dochodzimy do jąder homomorfizmów przenoszenia Artina ${\ Displaystyle T_ {i}: G \ do H_ {i}/H_ {i}'}$ . $_ i}'} i$ zbadać transfery ${\ displaystyle gG'\ in G/G'}$ dla obrazów elementów $} _ {i} (gG'$ , co można wyrazić w postaci

${\ Displaystyle g \ równoważnik x ^ {j} y ^ {\ ell} {\ pmod {G'}}, \ qquad j, \ ell \ in \ {-1,0,1 \}.}$

w jak największym stopniu wykorzystujemy transfery zewnętrzne :

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} x \ notin H_{1}&\Strzałka w prawo {\tylda {T}}_{1}(xG')=x^{3}H_{1}'=s_{c}^{w}H_{1}'\\ y\notin H_{2}&\Strzałka w prawo {\tylda {T}}_{2}(yG')=y^{3}H_{2}'=s_{3}^{2}s_{4}s_ {c}^{z}H_{2}'=1\cdot H_{2}'\\x,y\notin H_{3},H_{4}&\Strzałka w prawo {\begin{przypadki}{\tylda { T}}_{i}(xG')=x^{3}H_{i}'=s_{c}^{w}H_{i}'=1\cdot H_{i}'\\{\tylda {T}}_{i}(yG')=y^{3}H_{i}'=s_{3}^{2}s_{4}s_{c}^{z}H_{i}'= s_{3}^{2}H_{i}'\koniec{przypadków}}&&3\równoważnik i\równik 4\koniec{wyrównany}}}$

Następnie zajmiemy się nieuniknionymi transferami wewnętrznymi , które są bardziej skomplikowane. W tym celu używamy tożsamości wielomianowej

${\ Displaystyle X ^ {2} + X + 1 = (X-1) ^ {2} + 3 (X-1 )+3}$

pozyskać:

${\ Displaystyle { \begin{wyrównane}y\w H_{1}&\strzałka w prawo {\tylda {T}}_{1}(yG')=y^{1+x+x^{2}}H_{1}'= y^{3+3(x-1)+(x-1)^{2}}H_{1}'=y^{3}\cdot [y,x]^{3}\cdot [[y, x],x]H_{1}'=s_{3}^{2}s_{4}s_{c}^{z}s_{2}^{3}s_{3}H_{1}'=s_ {2}^{3}s_{3}^{3}s_{4}s_{c}^{z}H_{1}'=s_{c}^{z}H_{1}'\\x\ w H_{2}&\Strzałka w prawo {\tylda {T}}_{2}(xG')=x^{1+y+y^{2}}H_{2}'=x^{3+3( y-1)+(y-1)^{2}}H_{2}'=x^{3}\cdot [x,y]^{3}\cdot [[x,y],y]H_{ 2}'=s_{c}^{w}s_{2}^{-3}t_{3}^{-1}H_{2}'=t_{3}^{-1}H_{2}' \end{wyrównane}}}$

Na koniec łączymy wyniki: ogólnie

${\ Displaystyle {\ tylda {T}} _ {i} (gG ') = {\$

i w szczególności,

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {\ tylda {T}} _ {1} (gG ') & = s_ {c} ^ {wj + z \ ell} H_ {1} '\ \{\tylda {T}}_{2}(gG')&=t_{3}^{-j}H_{2}'\\{\tylda {T}}_{i}(gG')& =s_{3}^{2\ell }H_{i}'&&3\równoważnik i\równik 4\koniec {wyrównany}}}$

Aby określić jądra, pozostaje rozwiązać równania:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} s_ {c} ^ {wj + z \ ell} H_ {1} '= H_ {1} '& \ Strzałka w prawo {\ rozpocząć {przypadki} {\ tekst {dowolny}} j,\ell {\text{ i }}w=z=0\\\ell =0,{\text{dowolny }}j{\text{ i }}w=0,z=\pm 1\\j =0,{\text{dowolny }}\ell {\text{ i }}w=1,z=0\\j=\mp \ell,w=1,z=\pm 1\end{przypadki}} \\t_{3}^{-j}H_{2}'=H_{2}'&\strzałka w prawo j=0{\text{ z dowolnym }}\ell \\s_{3}^{2\ell } H_{i}'=H_{i}'&\strzałka w prawo \ell =0{\text{ z dowolnym }}j&&3\leq i\leq 4\end{aligned}}}$

Następujące równoważności dla dowolnego zakończą uzasadnienie stwierdzeń: ${\ Displaystyle 1 \ równoważnik i \ równoważnik 4}$

• ${\ Displaystyle j, \ ell}$ oba arbitralne ${\ Displaystyle \ Strzałka w lewo \ ker (T_ {i}) =\langle x,y,G'\rangle =G\Leftrightarrow \varkappa (i)=0}$ .
• ${\ Displaystyle j = 0}$ z dowolnym ${\ Displaystyle \ ell \ Strzałka w lewo \ ker (T_ {i} )=\langle y,G'\rangle =H_{1}\Leftrightarrow \varkappa (i)=1}$ ,
• ${\ Displaystyle \ ell = 0}$ z dowolnym jot $\ Displaystyle j \ Strzałka w lewo \ ker (T_ {i} )=\langle x,G'\rangle =H_{2}\Leftrightarrow \varkappa (i)=2}$ ,
• ${\ Displaystyle j = \ ell \ strzałka w lewo \ ker (T_ {i}) = \ langle xy, G'\rangle =H_{3}\Leftrightarrow \varkappa (i)=3}$ ,
• ${\ Displaystyle j = - \ ell \ strzałka w prawo \ ker (T_ {i}) = \langle xy^{-1},G'\rangle =H_{4}\Leftrightarrow \varkappa (i)=4}$

W konsekwencji trzy ostatnie składowe TKT są niezależne od parametrów, $co oznacza, że ​​zarówno TTT,$ TKT wykazują jednobiegunowość na pierwszym

Systematyczna biblioteka SDT

Celem tej sekcji jest przedstawienie zbioru ustrukturyzowanych drzew współklasowych (SCT) skończonych grup p ze sparametryzowaną prezentacją i zwięzłym podsumowaniem niezmienników. Podstawowa liczba pierwsza $p$ ograniczona do małych wartości ${\ displaystyle p \ in \ {2,3,5 \}$ . Drzewa są ułożone według rosnącej współklasy $.$ abelianizacji w ramach każdej Aby liczba potomków była łatwa do zarządzania, drzewa są przycinane poprzez eliminację wierzchołków o głębokości większej niż jeden. Ponadto pomijamy drzewa, w których kryteria stabilizacji wymuszają wspólny TKT wszystkich wierzchołków, ponieważ nie uważamy już takich drzew za ustrukturyzowane. Wymienione niezmienniki obejmują

• długość przedokresu i okresu,
• głębokość i szerokość gałęzi,
• unipolaryzacja, TTT i TKT,
• ${\ displaystyle \ sigma}$ -grupy.

Powstrzymujemy się od uzasadniania niezmienników, ponieważ sposób wyprowadzania niezmienników z prezentacji został przykładowo pokazany w części dotyczącej rachunku komutatora

Rysunek 5: Strukturalne drzewo potomne 2-grup z współklasą 1.

klasa 1

Dla każdej liczby pierwszej $-grup$ p maksymalnej jest wyposażone w informacje o , ${\ Displaystyle {\ mathcal {T}} ^ {1} (\ langle 4,2 \ rangle)}$ dla ${\ displaystyle p = 2, {\ mathcal {T}} ^ {1} (\ langle 9,2 \ rangle)}$ dla ${\ displaystyle p = 3}$ i ${\ displaystyle {\ mathcal {T}} ^ {1} (\ langle 25,2 \ rangle)}$ dla ${\ displaystyle p = 5}$ . W tym ostatnim przypadku drzewo jest ograniczone do $-metabelowych$ .

2 ${\ displaystyle 2}$$5$ coclass na rysunku można zdefiniować za pomocą następującej sparametryzowanej policyklicznej prezentacji pc, zupełnie innej niż prezentacja Blackburna

2 ${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} G ^ {c, n} (z, w) = & \ langle x, y, s_ {2}, \ ldots, s_ {c} \ mid {} \\&x^{2}=s_{c}^{w},\ y^{2}=s_{c}^{z},\ s_{j}^{2}=s_{j+1}s_ {j+2}{\tekst{ dla }}2\równoważnik j\równoważnik c-2,\ s_{c-1}^{2}=s_{c},\\&s_{2}=[y,x ],\ s_{j}=[s_{j-1},x]=[s_{j-1},y]{\text{ for }}3\leq j\leq c\rangle ,\end{wyrównane }}}$

gdzie klasa nilpotencji wynosi ${\ Displaystyle c \ geq 3}$ , kolejność jest ${\ Displaystyle 2 ^ {n}}$ z ${\ Displaystyle n = c + 1}$ i ${\ displaystyle w, z}$ są parametrami. Gałęzie są ściśle okresowe z okresem przed okresem $displaystyle 1}$$1$ okresu $i$ mają głębokość ${$ szerokość . Polaryzacja zachodzi dla trzeciego składnika, a TTT wynosi ${$${\ Displaystyle \ tau = [(1 ^ {2}), (1 ^ {2}$$}$ \ Displaystyle $)$ . TKT zależy od parametrów i wynosi $w$ dwuściennych wierzchołków linii głównej z $}$$= z = 0}$ ϰ $\$$=$$varkappa$ ( końcowych uogólnionych i grupy dwuścienne z ${\ Displaystyle w = 1, z = 0}$ . Istnieją dwa wyjątki, pierwiastek abelowy z ${\ Displaystyle \ tau = [(1), (1), (1)]}$ i ${\ Displaystyle \ varkappa = (000)}$ i zwykła grupa kwaternionów z ${\ Displaystyle \ tau = [(2), (2), (2) ]}$ i ${\ Displaystyle \ varkappa = (123)}$ .

Rysunek 6: Ustrukturyzowane drzewo potomne 3 grup z współklasą 1.

3 {\ displaystyle $6$$}$ -grupy coclass na rysunku można zdefiniować za pomocą następującej sparametryzowanej policyklicznej prezentacji pc, nieco innej niż prezentacja Blackburna

3 ${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} G_ {a} ^ {c, n} (z, w )=&\langle x,y,s_{2},t_{3},s_{3},\ldots,s_{c}\mid {}\\&x^{3}=s_{c}^{w },\ y^{3}=s_{3}^{2}s_{4}s_{c}^{z},\ t_{3}=s_{c}^{a},\ s_{j} ^{3}=s_{j+2}^{2}s_{j+3}{\text{ for }}2\równoważnik j\równik c-3,\ s_{c-2}^{3}= s_{c}^{2},\\&s_{2}=[y,x],\ t_{3}=[s_{2},y],\ s_{j}=[s_{j-1} ,x]{\text{ for }}3\leq j\leq c\rangle ,\end{wyrównane}}}$

gdzie klasa nilpotencji wynosi ${\ Displaystyle c \ geq 5}$ , kolejność jest ${\ Displaystyle 3 ^ {n}}$ z ${\ Displaystyle n = c + 1}$ i ${\ displaystyle a, w, z}$ są parametrami. Gałęzie są ściśle okresowe z okresem przed okresem $i$${ \ displaystyle$ okresu $i$ mają głębokość szerokość $}$ . Polaryzacja zachodzi dla pierwszej składowej, a TTT wynosi ${\ Displaystyle \ tau = [A (3, ca) , (1 ^ {2}), (1 ^ {2}), (1 ^ {2})]}$ , zależne tylko od $\$$displaystyle a}$ { . TKT zależy od parametrów i wynosi $z = 0 \ varkappa = (1000)}$ linii głównej z $za$ dla wierzchołków końcowych z ${\ Displaystyle a = 0, w = 1, z = 0, \ varkappa = (2000)}$$}$ wierzchołków końcowych z i końcowych $\ Displaystyle a = w = 0, z = \$ 1 za $\ Displaystyle a = 1, w \ in \ {-1,0,1 \}, z = 0}$ . Istnieją trzy wyjątki, pierwiastek abelowy z ${\ Displaystyle \ tau = [(1), (1), (1), (1) ]}$ , dodatkowa specjalna grupa wykładnika $τ$ = $Displaystyle \ tau = [(1 ^ {2}) , (2), (2), (2)]}$ i ${\ Displaystyle \ varkappa = (1111)}$ i Sylow ${\ Displaystyle 3}$ - podgrupa grupy naprzemiennej ${\ displaystyle A_ {9}}$ z ${\ Displaystyle \ tau = [(1 ^ {3}), (1 ^ {2} }),(1^{2}),(1^{2})]}$ . Wierzchołki linii głównej i wierzchołki na nieparzystych gałęziach $to$ .

Rysunek 7: Strukturalne drzewo potomne 5-grup metabelowych z koklasą 1.

Metabelowe grupy $-grupy$ coclass na rysunku 7 można zdefiniować za pomocą następującej sparametryzowanej policyklicznej prezentacji pc, nieco innej $niż$ prezentacja

4 $\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} G_ {a}^{c,n}(z,w)=&\langle x,y,s_{2},t_{3},s_{3},\ldots,s_{c}\mid {}\\ &x^{5}=s_{c}^{w},\ y^{5}=s_{c}^{z},\ t_{3}=s_{c}^{a},\\&s_{ 2}=[y,x],\ t_{3}=[s_{2},y],\ s_{j}=[s_{j-1},x]{\text{ dla }}3\równoważnik j\leq c\rangle ,\end{wyrównane}}}$

gdzie klasa nilpotencji wynosi ${\ Displaystyle c \ geq 3}$ , kolejność jest ${\ Displaystyle 5 ^ {n}}$ z ${\ Displaystyle n = c + 1}$ i ${\ displaystyle a, w, z}$ są parametrami. Gałęzie (metabelowe! $)$ Są ściśle okresowe z przedokresem i długością okresu i mają głębokość $}$$3$ 3 { $displaystyle$ (Gałązki całego drzewa, w tym grupy niemetabelowe, są tylko praktycznie okresowe i mają ograniczoną szerokość, ale nieograniczoną głębokość!) Polaryzacja występuje dla pierwszego składnika, a TTT wynosi ${\ Displaystyle \ tau = [A (5, ck), (1 ^ {2}) ^ {5}]}$ , zależy tylko od do $\ Displaystyle c}$ i wady przemienności ${\ displaystyle c} styl wyświetlania k}$ . TKT zależy od parametrów i wynosi ${\ Displaystyle \ varkappa = (0 ^ {6})}$ dla głównych wierzchołków z ${\ Displaystyle a = w = z = 0, \ varkappa = (10 ^ {5})}$ dla wierzchołków końcowych z ${\ Displaystyle a = 0, w = 1, z = 0, \ varkappa = (20 ^ {5})}$ dla końcowych wierzchołków z ${\ Displaystyle a = w = 0, z \ neq 0}$ i ${\ Displaystyle \varkappa = (0 ^ {6})}$ dla wierzchołków z za $\ Displaystyle a \ neq 0}$ . Istnieją trzy wyjątki, pierwiastek abelowy z $]}$${6}$ , dodatkowa specjalna grupa z ${\ Displaystyle \ tau = [(1 ^ {2}), (2) ^ {5}]}$ i $)}$${\ Displaystyle \ varkappa = (1 ^$${5}),(1^{2})^{5}]}$ i grupa $^$ = $Displaystyle \ tau = [$ . Wierzchołki linii głównej i wierzchołki na nieparzystych gałęziach $to$ .

Koklasa 2

Abelianizacja typu ( p , p )

${\ Displaystyle {\ mathcal {T}} ^ {2} (\ langle 243,6 \ rangle)}$ , T $\ Displaystyle {\ mathcal {T}} ^ {2} (\ langle 243,8 \ rangle)}$ i ${\ Displaystyle {\ mathcal {T}} ^ {2} (\ langle 729, 40 \ rangle }}$ dla ${\ displaystyle p = 3}$ są wyposażone w informacje dotyczące TTT i TKT.

Rysunek 8: Pierwsze ustrukturyzowane drzewo potomne 3-grup z koklasą 2 i abelianizacją (3,3).

T ${\ Displaystyle {\ mathcal {T}} ^ {2} (\ langle 243,6 \ rangle)}$$Displaystyle 3}$ \ - grupy coclass ${ \displaystyle 2}$ z bicyklicznym centrum na rysunku 8 można zdefiniować za pomocą następującej sparametryzowanej policyklicznej prezentacji pc.

5 ${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} G ^ {c, n} (z, w) = & \ langle x,y,s_{2},t_{3},s_{3},\ldots,s_{c}\mid {}\\&x^{3}=s_{c}^{w},\ y^ {3}=s_{3}^{2}s_{4}s_{c}^{z},\ s_{j}^{3}=s_{j+2}^{2}s_{j+3 }{\text{ for }}2\równik j\równoważnik c-3,\ s_{c-2}^{3}=s_{c}^{2},\ t_{3}^{3}=1 ,\\&s_{2}=[y,x],\ t_{3}=[s_{2},y],\ s_{j}=[s_{j-1},x]{\tekst{ dla }}3\leq j\leq c\rangle ,\end{wyrównane}}}$

gdzie klasa nilpotencji wynosi ${\ Displaystyle c \ geq 5}$ , kolejność jest ${\ Displaystyle 3 ^ {n}}$ z ${\ Displaystyle n = c + 2}$ i ${\ displaystyle w, z}$ są parametrami. Gałęzie są ściśle okresowe z $okresem$$przed$$i$$głębokość$ okresu i mają szerokość Polaryzacja zachodzi dla pierwszej składowej, a TTT wynosi ${\ Displaystyle \ tau = [A (3, c), (1 ^ {3}), (21), (21)]}$ , zależne tylko od ${\ displaystyle c}$ . TKT zależy od parametrów i wynosi ${\ Displaystyle \ varkappa = (0122)}$ dla głównych wierzchołków z ${\ Displaystyle w = z = 0}$ , ${\ Displaystyle \varkappa = (2122)}$ dla zdolnych wierzchołków z ${\ Displaystyle w = 0, z = \ pm 1}$ , ϰ $\ Displaystyle \ varkappa = (1122)}$ wierzchołki końcowe z ${\ Displaystyle w = 1, z = 0}$ i dla wierzchołków końcowych z ${\ displaystyle w = 1, z = \ pm 1}$${\ Displaystyle \ varkappa = (3122)}$ . Wierzchołki linii głównej i wierzchołki na parzystych gałęziach $to$ .

Rysunek 9: Drugie ustrukturyzowane drzewo potomne 3-grup z koklasą 2 i abelianizacją (3,3).

T ${\ Displaystyle {\ mathcal {T}} ^ {2} (\ langle 243,8 \ rangle)}$$Displaystyle 3}$ \ - grupy coclass ${ \displaystyle 2}$ z bicyklicznym centrum na rysunku 9 można zdefiniować za pomocą następującej sparametryzowanej policyklicznej prezentacji pc.

6 ${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} G ^ {c, n} (z, w) =&\langle x,y,t_{2},s_{3},t_{3},\ldots,t_{c}\mid {}\\&y^{3}=s_{3}t_{c} ^{w},\ x^{3}=t_{3}t_{4}^{2}t_{5}t_{c}^{z},\ t_{j}^{3}=t_{j +2}^{2}t_{j+3}{\text{ dla }}2\równoważnik j\równoważnik c-3,\ t_{c-2}^{3}=t_{c}^{2} ,\ s_{3}^{3}=1,\\&t_{2}=[y,x],\ s_{3}=[t_{2},x],\ t_{j}=[t_{ j-1},y]{\text{ dla }}3\równoważnik j\równoważnik c\rangle ,\end{wyrównane}}}$

gdzie klasa nilpotencji wynosi ${\ Displaystyle c \ geq 6}$ , kolejność jest ${\ Displaystyle 3 ^ {n}}$ z ${\ Displaystyle n = c + 2}$ i ${\ displaystyle w, z}$ są parametrami. Gałęzie są ściśle okresowe z $okresem$$przed$$i$$głębokość$ okresu oraz mają szerokość Polaryzacja występuje dla drugiego składnika, a TTT wynosi ${\ Displaystyle \ tau = [(21), A (3, c), (21), (21)]}$ , zależne tylko od do $\ displaystyle c}$ . TKT zależy od parametrów i wynosi ${\ Displaystyle \ varkappa = (2034)}$ dla głównych wierzchołków z ${\ Displaystyle w = z = 0}$ , ${\ Displaystyle \varkappa = (2134)}$ dla zdolnych wierzchołków z ${\ Displaystyle w = 0, z = \ pm 1}$ , ϰ $\ Displaystyle \ varkappa = (2234)}$ wierzchołki końcowe z ${\ Displaystyle w = 1, z = 0}$ i dla wierzchołków końcowych z ${\ displaystyle w = 1, z = \ pm 1}$${\ Displaystyle \ varkappa = (2334)}$ . Wierzchołki linii głównej i wierzchołki na parzystych gałęziach $to$ .

Abelianizacja typu ( p ² , p )

${\ Displaystyle {\ mathcal {T}} ^ {2} (\ langle 16,3 \ rangle)}$ i ${\ Displaystyle {\ mathcal { T}} ^ {2} (\ langle 16,4 \ rangle)}$ dla ${\ Displaystyle p = 2}$ , ${\ Displaystyle {\ mathcal {T}} ^ { 2} (\ langle 243,15 \ rangle)}$ i ${\ Displaystyle {\ mathcal {T}} ^ {2} (\ langle 243,17 \ rangle)}$ dla ${\ displaystyle p = 3}$ .

Abelianizacja typu ( p , p , p )

${\ Displaystyle {\ mathcal {T}} ^ {2} (\ langle 16,11 \ rangle)}$ dla ${\ Displaystyle p = 2}$ i ${\ Displaystyle {\ mathcal {T}} ^ {2} (\ langle 81,12 \ rangle)}$ dla ${\ Displaystyle p = 3}$ .

Koklasa 3

Abelianizacja typu ( p ² , p )

${\ Displaystyle {\ mathcal {T}} ^ {3} (\ langle 729,13 \ rangle)}$ , ${\ Displaystyle {\ mathcal { T}} ^ {3} (\ langle 729,18 \ rangle)}$ i ${\ Displaystyle {\ mathcal {T}} ^ {3} (\ langle 729,21 \ rangle) }$ dla ${\ displaystyle p = 3}$ .

Abelianizacja typu ( p , p , p )

${\ Displaystyle {\ mathcal {T}} ^ {3} (\ langle 32,35 \ rangle)}$ i ${\ Displaystyle {\ mathcal { T}} ^ {3} (\ langle 64181 \ rangle)}$ dla ${\ Displaystyle p = 2}$ , ${\ Displaystyle {\ mathcal {T}} ^ {3} (\ langle 243,38 \ rangle)}$ i ${\ Displaystyle {\ mathcal {T}} ^ {3} (\ langle 243,41 \ rangle)}$ dla ${\ styl wyświetlania p=3}$ .

Rycina 10: Minimalne dyskryminacje dla pierwszego ASCT 3-grup z koklasą 2 i abelianizacją (3,3).

Aplikacje arytmetyczne

W algebraicznej teorii liczb i klasowej teorii pola ustrukturyzowane drzewa potomne (SDT) skończonych grup p stanowią doskonałe narzędzie do

• wizualizacja lokalizacji różnych nieabelowych grup p związanych z algebraicznymi polami liczbowymi $K$$( K$ }
• wyświetlanie dodatkowych informacji o grupach w etykietach dołączonych do odpowiednich wierzchołków i sol ${\ Displaystyle G (K)$
• podkreślając okresowość $współklasowych$ grup na

$\ displaystyle p}$ przykład niech $pierwszą$ załóżmy, że pole { p klasy algebraicznego p pole liczbowe $i$${\ displaystyle K$ maksymalne metabelowe nierozgałęzione rozszerzenie stopnia potęgi $}$ . Następnie druga grupa klas p ${\ Displaystyle G_ {p} ^ {2} (K) = \ operatorname {Gal} (F_ { p} ^ {2} (K) | K)} z$$zwykle$ nieabelową grupą p o pochodnej długości i często pozwala na wyciągnięcie wniosków na temat całej klasy p polowa ${\ displaystyle 2}$$wieża$ z grupy Galois ${p} ^ {\ infty} (K) = \ operatorname {Gal} (F_ {p} ^ {\ infty} (K) | K)}$ maksymalnego nierozgałęzionego prop - p rozszerzenie ${\ Displaystyle F_ {p} ^ {\ infty} ( K)}$ z ${\ displaystyle K}$ .

Biorąc pod uwagę sekwencję algebraicznych pól liczbowych $($ stałą sygnaturą $\ Displaystyle (r_ {1}, r_ {2})}$ , uporządkowaną według wartości bezwzględnych ich wyróżników ${\ Displaystyle d = d (K)}$ , odpowiednie ustrukturyzowane drzewo coclass (SCT) ${\ Displaystyle {\ mathcal {T}}}$ lub też skończona część sporadyczna ${\ Displaystyle {\ mathcal {G}} _ {0} (p, r)}$ wykresu współklasy ${\ Displaystyle {\ mathcal {G}} (p, r)}$ , którego wierzchołki są całkowicie lub częściowo realizowane przez drugie grupy klas p ${\ Displaystyle G_ {p} ^ {2} (K)}$$jest$ wyposażony w dodatkową strukturę arytmetyczną , gdy każdy zrealizowany wierzchołek ${\ Displaystyle V \ w {\ mathcal {T}}}$ wzgl. ${\ Displaystyle V \ in {\ mathcal {G}} _ {0} (p, r)}$$jest$ odwzorowywany na dane dotyczące pól , że ${\ Displaystyle V = G_ {p} ^ {2} (K)}$ .

Rycina 11: Minimalne dyskryminacje dla drugiego ASCT 3-grup z koklasą 2 i abelianizacją (3,3).

Przykład

Aby być konkretnym, niech rozważymy złożone pola kwadratowe. $re$${\ Displaystyle K (d) = \ mathbb {Q} ({\ sqrt$ ze stałą sygnaturą $(0,1)}$$Displaystyle$ mając -grupy klas z niezmiennikami typu $\ Displaystyle (3,3)}$ . Patrz OEIS A242863 [1] . $_ -10 ^ {6}<d <0}$ drugie grupy $klas$$3$ zakresu , a ostatnio przez N. Bostona, MR Busha i F. Hajira dla rozszerzonego zakresu ${\ displaystyle -10 ^ {8}<d < 0}$ .

$_$ wybierzmy ${\ Displaystyle {\ mathcal {T}} ^ {2} (\ langle 243,8 \ rangle)}$ i , które są już znane z rycin 8 i 9, i nadają tym drzewom dodatkową strukturę arytmetyczną przez otoczenie zrealizowany wierzchołek $okręgiem$ i dołączając sąsiednią podkreśloną pogrubioną liczbę całkowitą ${\ Displaystyle \ min \ {| d | \ mid V = G_ {3} ^ {2} (K (d)) \}}$ co daje minimalny bezwzględny wyróżnik tak, że druga $klas$$(d))}$ realizowana przez drugą grupę klas $3$ . $Następnie$ otrzymujemy drzewa koklas strukturze arytmetycznej (ASCT) na rysunkach 10 i 11, które w szczególności dają wrażenie rzeczywistego rozkładu drugich grup klas. Patrz OEIS A242878 [2] .

Tabela 2: Minimalne bezwzględne wyróżniki dla stanów sześciu sekwencji

Stan ${\ Displaystyle \ uparrow ^ {n}}$	TKT E.14 ${\ Displaystyle \ varkappa = (3122)}$	TKT E.6 ${\ Displaystyle \ varkappa = (1122)}$	TKT H.4 ${\ Displaystyle \ varkappa = (2122)}$	TKT E.9 ${\ Displaystyle \ varkappa = (2334)}$	TKT E.8 ${\ Displaystyle \ varkappa = (2234)}$	TKT G.16 ${\ Displaystyle \ varkappa = (2134)}$
GS ${\ Displaystyle \ górna część ^ {0}}$	${\ Displaystyle 16627}$	${\ displaystyle 15544}$	${\ Displaystyle 21668}$	${\ Displaystyle 9748}$	${\ Displaystyle 34867}$	${\ Displaystyle 17131}$
ES1 ${\ Displaystyle \ uparrow ^ {1}}$	${\ Displaystyle 262744}$	${\ displaystyle 268040}$	${\ displaystyle 446788}$	${\ Displaystyle 297079}$	${\ displaystyle 370740}$	${\ Displaystyle 819743}$
ES2 ${\ Displaystyle \ górna część ^ {2}}$	${\ Displaystyle 4776071}$	${\ Displaystyle 1062708}$	${\ Displaystyle 3843907}$	${\ displaystyle 1088808}$	${\ displaystyle 4087295}$	${\ displaystyle 2244399}$
ES3 ${\ Displaystyle \ górna część ^ {3}}$	${\ Displaystyle 40059363}$	${\ Displaystyle 27629107}$	${\ displaystyle 52505588}$	${\ Displaystyle 11091140}$	${\ Displaystyle 19027947}$	${\ displaystyle 30224744}$
ES4 ${\ Displaystyle \ górna część ^ {4}}$	${\ styl wyświetlania}$	${\ styl wyświetlania}$	${\ styl wyświetlania}$	${\ Displaystyle 94880548}$	${\ styl wyświetlania}$	${\ styl wyświetlania}$

Jeśli chodzi o $}$ drugich grup $3$ pól Displaystyle udowodnił, że tylko co druga gałąź drzew na rysunkach 10 i 11 może być wypełniona tymi grupami metabelowymi $że$ rozkład zachodzi ze stanem podstawowym (GS) na gałęzi ${\ Displaystyle 3} {\ mathcal {B}} (6)}$ i kontynuuje z wyższymi stanami wzbudzonymi (ES) na gałęziach ${\ Displaystyle {\ mathcal {B}} (j)}$ nawet ${\ displaystyle j \geq 8}$ . To zjawisko okresowości opiera się na trzech sekwencjach ze stałymi TKT

• E.14 ${\ Displaystyle \ varkappa = (3122)}$ , OEIS A247693 [3] ,
• E.6 ${\ Displaystyle \ varkappa = (1122)}$ , OEIS A247692 [4] ,
• H.4 ${\ Displaystyle \ varkappa = (2122)}$ , OEIS A247694 [5]

na ASCT i przez trzy sekwencje ze stałymi TKT ${\ Displaystyle {\ mathcal {T}} ^ {2} (\ langle 243,6 \ rangle)}$

• E. 9 ${\ Displaystyle \ varkappa = (2334)}$ , OEIS A247696 [6] ,
• E. 8 ${\ Displaystyle \ varkappa = (2234)}$ , OEIS A247695 [7] ,
• G.16 ${\ Displaystyle \ varkappa = (2134)}$ OEIS A247697 [8]

na ASCT ${\ Displaystyle {\ mathcal {T}} ^ {2} (\ langle 243,8 \ rangle)}$ . Do tej pory stan podstawowy i $nawet$ stany wzbudzone są dla każdej z sześciu sekwencji, stan wzbudzony wystąpił. Minimalne absolutne wyróżniki różnych stanów każdego z sześciu okresowych sekwencji przedstawiono w tabeli 2. Dane dla stanów podstawowych (GS) i pierwszych stanów wzbudzonych (ES1) zaczerpnięto z DC Mayer, najnowsze informacje o drugim , trzeci i czwarty stan wzbudzony (ES2, ES3, ES4) to zasługa N. Bostona, MR Busha i F. Hajira.

Rycina 12: Częstotliwość sporadycznych 3-grup z koklasą 2 i abelianizacją (3,3).

Tabela 3: Bezwzględne i względne częstotliwości czterech $-grup$

${\ Displaystyle | d|}$ <	Razem ${\ Displaystyle \ #}$	TKT D.10 ${\ Displaystyle \ varkappa = (3144)}$${\ Displaystyle \ tau = [(21) (1 ^ { 3}) (21) (21)]}$${\ Displaystyle G = \ langle 243,5 \ rangle}$	TKT D.5 ${\ Displaystyle \ varkappa = (1133)}$${\ Displaystyle \ tau = [(21) (1 ^ {3}) (21) (1 ^ {3})]}$${\ Displaystyle G = \ langle 243,7 \ rangle}$	TKT H.4 ${\ Displaystyle \ varkappa = (4111)}$${\ Displaystyle \ tau = [(1 ^ {3 }) (1 ^ {3}) (1 ^ {3}) (21)]} sol$$\ Displaystyle G = \ langle 729,45 \ rangle}$	TKT G.19 ${\ Displaystyle \ varkappa = (2143)}$${\ Displaystyle \ tau = [(21) (21) (21) ) (21)]}$${\ Displaystyle G = \ langle 729,57 \ rangle}$
${\ displaystyle b = 10 ^ {6}}$	${\ Displaystyle 2020}$	${\ Displaystyle 667 \ (33,0 \$	${\ Displaystyle 269 \ (13,3 \$	${\ Displaystyle 297 \ (14,7 \$	${\ Displaystyle 94 \ (4,7 \$
${\ displaystyle b = 10 ^ {7}}$	${\ Displaystyle 24476}$	${\ Displaystyle 7622 \ (31,14 \$	${\ Displaystyle 3625 \ (14,81 \$	${\ Displaystyle 3619 \ (14,79 \$	${\ Displaystyle 1019 \ (4,163 \$
${\ displaystyle b = 10 ^ {8}}$	${\ displaystyle 276375}$	${\ Displaystyle 83353 \ (30,159 \$	${\ Displaystyle 41398 \ (14,979 \$	${\ Displaystyle 40968 \ (14,823 \$	${\ Displaystyle 10426 \ (3,7724 \$

$} \mathcal {G}}(3,2)}$ po drugie, wybierzmy sporadyczną część wykresu sol $}} _ {0}$ do wykazania, że ​​innym sposobem dołączenia dodatkowej struktury arytmetycznej do drzew potomnych jest wyświetlenie licznika $_$ _ zrealizowanego wierzchołka $przez$ drugą grupę klasy sol $K (d))}$$Displaystyle$ pola z bezwzględnymi wyróżnikami poniżej określonej górnej granicy , na przykład $b = 10 ^ {8}$$displaystyle$ . W odniesieniu do całkowitego licznika wszystkich złożonych pól kwadratowych z $3}$${\ Displaystyle$ -grupą klas typu $\ Displaystyle (3,3)}$ i dyskryminatorem ${\ displaystyle -b <d <0}$ , daje to względną częstotliwość jako przybliżenie asymptotycznej gęstości populacji na rycinie 12 i tabeli 3. Dokładnie cztery wierzchołki skończonej części sporadycznej ${\ displaystyle {\ mathcal {G}} _ {0} (3,2)}$ sol ${\ Displaystyle {\ mathcal {G}} (3,2)}$ są wypełniane przez sekundę $Displaystyle 3}$ -grupy klas ${\ Displaystyle G_ {3} ^ {2} (K (d))}$ :

• ${\ Displaystyle \ langle 243,5 \ rangle}$ , OEIS A247689 [9] ,
• ${\ Displaystyle \ langle 243,7 \ rangle}$ , OEIS A247690 [10] ,
• ${\ Displaystyle \ langle 729,45 \ rangle}$ , OEIS A242873 [11] ,
• ${\ Displaystyle \ langle 729,57 \ rangle}$ , OEIS A247688 [12] .

Rysunek 13: Minimalne absolutne dyskryminatory sporadycznych 3-grup z koklasą 2 i abelianizacją (3,3).

Rysunek 14: Minimalne absolutne dyskryminatory sporadycznych 5-grup z koklasą 2 i abelianizacją (5,5).

Ryc. 15: Minimalne bezwzględne wyróżniki sporadycznych 7-grup z koklasą 2 i abelianizacją (7,7).

Porównanie różnych liczb pierwszych

P ${\ Displaystyle p \ in \ {3,5,7 \}}$ i rozważmy złożone pola kwadratowe $\ Displaystyle K (d) = \ mathbb {Q} ({\ sqrt {d}})}$ ze stałym podpisem ${\ Displaystyle (0,1)}$ i p -class grupy typu ${\ Displaystyle (p, p) }$ . Dominująca część drugiej $}$ ( p , 2 $G$ { $}} _$${0}$ wykresu coclass które należą do rdzenia rodziny izoklinizmu P. Halla ${\ Displaystyle \ Phi _ {6}}$ lub ich bezpośrednich potomków rzędu ${\ Displaystyle p ^ {6}}$ . Dla liczb pierwszych rdzeń $\ Phi _ {6}}$$\ Displaystyle$ składa się z regularnych grup p i wykazuje raczej jednolite zachowanie p > $> 3$$displaystyle \ Phi _ {6}}$ ale siedem -grup w rdzeniu $\$ jest nieregularnych . Podkreślamy, że istnieje również kilka ( ) nieskończenie zdolnych wierzchołków w rdzeniu $\ displaystyle p = 3}$${$ i 4 {\ displaystyle 4} dla p $3$$> 3$ } z ${\ displaystyle \ Phi _ {6}}$ , które są częściowo korzeniami drzew współklasowych. $displaystyle p = 3}$ tutaj skupiamy się na sporadycznych wierzchołkach, które są albo izolowanymi grupami - $($ p = $i$ p $\ displaystyle p + 1}$ dla ${\ Displaystyle p> 3}$ ) lub korzeni skończonych drzew w obrębie ${\ Displaystyle {\ mathcal {G}} _ {0} (p, 2)}$ ( ${\ displaystyle 2}$ dla każdego ${\ displaystyle p \ geq 3}$ ). Dla $p> 3}$$Displaystyle$ , TKT grup Schur permutacją , której rozkład cyklu nie zawiera transpozycji, podczas gdy TKT korzeni drzew skończonych jest kompozytem rozłącznych transpozycji $mający$ parzystą liczbę ( $lub$ ) punktów.

Dajemy lasowi $skończony związek$ drzew potomnych) ${\ Displaystyle \ min \ {| d | \ mid V = G_ {p} ^ {2} (K (d)) \}}$ arytmetyczną , minimalny do każdego zrealizowanego wierzchołka ${\ Displaystyle V \ w {\ mathcal {G}} _ {0} (p, 2)}$ . Otrzymany ustrukturyzowany wykres współklasy sporadycznej pokazano na rycinie 13 dla $displaystyle$ rycinie 14 dla $p = 5}$ i na rycinie 15 dla $=7}$${\ displaystyle p = 3$ .