Algorytm generowania grupy P

W matematyce, a konkretnie w teorii grup , skończone grupy pierwszego rzędu potęg dla ustalonej liczby pierwszej $i$ zmiennych wykładników liczb całkowitych $displaystyle$$n \ geq 0$ , są krótko nazywane skończonymi grupami p .

Algorytm generowania grupy p autorstwa MF Newmana i EA O'Briena jest rekurencyjnym procesem konstruowania drzewa potomnego przypisanej skończonej grupy p , która jest traktowana jako korzeń drzewa.

Dolny wykładnik- p seria środkowa

Dla skończonej p -grupy , dolny wykładnik - p środkowa seria (krótko dolna p -środkowa seria $Displaystyle$ sol $G}$ jest szeregiem malejącym ${\ displaystyle G} displaystyle (P_ {j} (G)) _ {j \ geq 0}}$ charakterystycznych podgrup , zdefiniowanych rekurencyjnie przez ${\ displaystyle G}$

${\ Displaystyle (1) \ qquad P_ {0} (G): = G}$ i ${\ Displaystyle P_ {j} (G): = \ lbrack P_ {j-1} (G), G \ rbrack \ cdot P_ {j-1} (G) ^ {p}}$ , dla ${\ displaystyle j \ geq 1}$ .

${\ Displaystyle P_ {c-1} (G)> P_ {c} (G) = 1}$ nietrywialna skończona $grupa$ p jest $sol$ liczba całkowita , i do ${\ Displaystyle \ operatorname {cl} _ {p} (G): = c}$ nazywana jest klasą wykładnika - p (w skrócie p -class ) sol. $\ Displaystyle G}$ . Tylko trywialna grupa ma $)$ l $\ Displaystyle \ operatorname {cl} _ {p} (1) =$. Generally, for any finite p-group $G$, its p-class can be defined as ${\ Displaystyle \ operatorname {cl} _ {p} (G): = \ min \ lbrace c \ geq 0 \ mid P_ {c} ( G)=1\rbrace }$ .

Kompletny dolny p -środkowy szereg jest zatem podany przez ${\ displaystyle G}$

${\ Displaystyle (2) \ qquad G = P_ {0} (G)> \ Phi (G) = P_ {1} (G)> P_ {2} (G)> \ cdots > P_ {c-1} ( G)>P_{c}(G)=1}$ ,

${\ Displaystyle P_ {1} (G) = \ lbrack P_$ P. to podgrupa Frattiniego ${\ Displaystyle G}$ .

Dla wygody czytelnika i wskazania przesuniętej numeracji przypominamy, że (zwykle) dolna środkowa seria jest również serią malejącą ${\ displaystyle$$sol$ charakterystycznych podgrup , zdefiniowanych rekurencyjnie przez ${\ displaystyle G}$

${\ Displaystyle (3) \ qquad \ gamma _ {1} (G): = G}$ i ${\ Displaystyle \ gamma _ {j} (G): = \ lbrack \ gamma _ {j-1} (G), G \ rbrack} ,$ dla ${\ Displaystyle j \ geq 2}$ .

$}$${\ Displaystyle \ gamma _ {c} (G)> \ gamma _ {c + 1} (G) = 1}$ nietrywialnej skończonej $grupy$ p istnieje liczba taka $sol$ i $Displaystyle \ operatorname {cl} (G): = c}$$G}$$sol$ nilpotencji , podczas gdy nazywana jest indeksem nilpotencji ${\$ G . Tylko trywialna grupa ma ${\ Displaystyle 1}$ do ${\ Displaystyle \ operatorname {cl} (1) = 0$ .

Całą dolną środkową serię podaje ${\ displaystyle G}$

${\ Displaystyle (4) \ qquad G=\gamma _{1}(G)>G^{\prime }=\gamma _{2}(G)>\gamma _{3}(G)>\cdots >\gamma _{c}( G)>\gamma _{c+1}(G)=1}$ ,

${2} (G) = \ lbrack \ gamma _ {1} (G), G \ rbrack = \ lbrack G, G \ rbrack = G ^ {\ liczba pierwsza}}$ _ jest podgrupą komutatora lub podgrupą pochodną ${\ displaystyle G}$ .

p należy pamiętać o następujących regułach :

Niech będzie skończoną grupą p . ${\ displaystyle G}$

R

1. do ${\ Displaystyle \ operatorname {cl} (G) \ równoważnik \ operatorname {cl} _ {p} (G)}$ ponieważ ${\ displaystyle \ gamma _ {j} (G)}$ schodzą szybciej niż ${\ Displaystyle P_ {j} (G)}$ .
2. Reguła: Jeśli $tylda {G$ pewnej grupy $})}$ , wtedy ${\ Displaystyle \ vartheta (P_ {j} (G)) = P_ {j} (\ vartheta (G)) }$ , dla dowolnego ${\ Displaystyle j \ geq 0}$ .
3. $=$$Displaystyle \ operatorname {cl}$ dla każdego $/$ i do implikować ${\ Displaystyle P_ {c} (G) \ równoważnik N}$ .
4. Zasada: Niech do $\ displaystyle c \ geq 0}$ . do $cl} _ {p} (G) = c}$$\ displaystyle \ operatorname {cl} _ {p} (G / P_ {k} (G)) = \ min (k, c)}$ , to do dla wszystkich ${\ Displaystyle k \ geq 0}$ w szczególności $\ Displaystyle \ operatorname {cl} _ {p} (G/P_ {k} (G)) = k}$ , dla wszystkich ${\ Displaystyle 0 \ równoważnik k \ równoważnik c}$ .

Drzewa rodzicielskie i potomne

Rodzic $skończonej$ nietrywialnej grupy p z $wykładnikiem-$ klasa $_ \displaystyle \mathrm {cl} _{p}(G)=c\geq 1}$ ( 1 jest zdefiniowane jako iloraz ${\ Displaystyle \ pi (G): = G / P_ {c-1} (G)}$$\ Displaystyle G}$ { przez ostatni nietrywialny termin ${\ displaystyle P_ {c-1} (G)> 1}$ dolnego wykładnika - p centralnej serii ${\ displaystyle G}$ . I odwrotnie, w tym przypadku nazywa się bezpośrednim potomkiem π $\ displaystyle G}$${\ Displaystyle \ pi (G)}$ . P -klasy rodzica i bezpośredniego potomka są połączone przez ${\ Displaystyle \ operatorname {cl} _ {p} (G) = \ operatorname {$ sol .

Drzewo potomne to hierarchiczna struktura służąca do wizualizacji relacji rodzic-potomek między klasami izomorfizmu skończonych grup p . Wierzchołki drzewa potomnego są klasami izomorfizmu skończonych grup p . Jednak wierzchołek będzie zawsze oznaczony przez wybranie przedstawiciela odpowiedniej klasy izomorfizmu. Ilekroć wierzchołek jest rodzicem wierzchołka sol . $\ Displaystyle \ pi (G$$) }$ skierowana krawędź drzewa potomnego jest zdefiniowana przez ${\ Displaystyle \ pi: G \ do \ pi (G)}$$Displaystyle G \ do \ pi (G)}$ w kierunku rzutu kanonicznego na iloraz ${\ Displaystyle \ pi (G) = G / P_ {c-1} (G)}$ .

W drzewie potomnym koncepcje rodziców i bezpośrednich potomków można uogólnić. Wierzchołek jest potomkiem wierzchołka i jest $wierzchołka$$,$$albo$$R$ równy $}$ \ displaystyle _ lub $istnieje$ _

${\ Displaystyle (5) \ qquad R = Q_ {0} \ do Q_ {1} \ do \ cdots \ do Q_ {m -1} \ do Q_ {m} = P}$ , gdzie ${\ Displaystyle m \ geq 1}$ ,

$skierowanych$ krawędzi od $.$ _ Wierzchołki tworzące $_$$z$${\ Displaystyle 0 \ równoważnik j \ równoważnik m}$ iterowanymi rodzicami :

${\ Displaystyle (6) \ qquad R = \ pi ^ {0} ( R)\to \pi ^{1}(R)\to \cdots \to \pi ^{m-1}(R)\to \pi ^{m}(R)=P} ,$ gdzie ${ \displaystyle m\geq 1}$ .

$Displaystyle Q_ {j} = R / P_ {cj} (R)}$ do - jot R p $\ Displaystyle cj }$ z ${\ Displaystyle R}$ , gdy klasa p z ${\ Displaystyle R}$ jest dana przez ${\ Displaystyle \ operatorname {cl} _ {p} (R) = c \ geq m}$ :

${\ styl wyświetlania (7)\qquad R\simeq R/P_{c}(R)\do R/P_{c-1}(R)\do \cdots \do R/P_{c+1-m}(R) \to R/P_{cm}(R)\simeq P}$ , gdzie do ${\ Displaystyle c \ geq m \ geq 1$ .

$(G)}$ każda nietrywialna skończona grupa p definiuje maksymalną ścieżkę $p$ składającą się z do $\ Displaystyle c = \ operatorname {cl} _ {$ krawędzie)

${\ Displaystyle (8) \ qquad G \ simeq G / 1 = G / P_ {c} (G) \ do \ pi (G) = G / P_ {c-1} (G) \ do \ pi ^ {2 }(G)=G/P_{c-2}(G)\do \cdots }$

${\ Displaystyle \ cdots \ do \ pi ^ {c-1 }(G)=G/P_{1}(G)\to \pi ^{c}(G)=G/P_{0}(G)=G/G\simeq 1}$

kończąc na trywialnej grupie ${\ Displaystyle \ pi ^ {c} (G) = 1}$ . Przedostatnim ilorazem maksymalnej ścieżki $jest$ elementarna abelowa grupa p ${\ Displaystyle \ pi ^ {$ rangi ${\ Displaystyle d = d (G)}$ , gdzie ${\ Displaystyle d (G) = \ słaby _ {\ mathbb {F} _ {p}} (H ^ {1} (G, \ mathbb {F} _ {p})}}$ oznacza rangę generatora ${\ Displaystyle G}$ .

Ogólnie rzecz biorąc, drzewo potomne wierzchołka jest poddrzewem wszystkich potomków ${$$\ mathcal {T}} (G)$ zaczynając od korzenia $\ Displaystyle {$ ( ${\ displaystyle G}$ . Maksymalne możliwe drzewo potomne trywialnej grupy ${\ Displaystyle$ wszystkie skończone p ${\ mathcal {T}} (1)}$$i$ jest wyjątkowy, ponieważ trywialna grupa $.$ nieskończenie wiele elementarnych abelowych grup p - ze zmienną rangą generatora swoich bezpośrednich $)$ każda nietrywialna skończona grupa p (rzędu podzielnego przez ma tylko skończenie wielu bezpośrednich potomków.

p -grupa pokrywająca, p -mnożnik i jądro

Niech $_$ skończoną grupą $p$ z . _ Naszym celem jest skompilowanie pełnej listy parami nieizomorficznych bezpośrednich potomków ${\ displaystyle G}$ . Okazuje się, że wszystkich bezpośrednich potomków można otrzymać jako iloraz pewnego rozszerzenia $}$${\ displaystyle G$$G},$ które nazywa się p -pokrywającą grupą sol i może być skonstruowany w następujący sposób.

Z $dokładnej$ możemy znaleźć prezentację w postaci sekwencji

${\ Displaystyle (9) \ qquad 1 \ longrightarrow R \ longrightarrow F \ longrightarrow G \ longrightarrow 1}$ ,

gdzie oznacza wolną grupę z ${\ Displaystyle R: = \ ker (\ vartheta)}$ i $ϑ$$\ longrightarrow G}$${\ Displaystyle \$ jest epimorfizmem z jądrem . Wtedy ${\ Displaystyle R \ triangleleft F}$ jest normalną podgrupą ${\ displaystyle F}$ składający się z definiujących relacji dla ${\ Displaystyle G \ simeq F/R}$ . R ${\ Displaystyle r \ w R}$ i ${\ Displaystyle f \ w F}$ koniugat ${\ Displaystyle f ^ {- 1} rf \ w R}$ i więc także komutator ${\ Displaystyle \ lbrack r, f \ rbrack = r ^ {- 1} f ^ {- 1} rf \ w R}$ są zawarte w ${\ displaystyle R}$ . W konsekwencji ${\ Displaystyle R ^ {\ ast}: = \ lbrack R, F \ rbrack \ cdot R ^ {p}}$ jest charakterystyczną podgrupą ${\ displaystyle R }$ i mnożnik p ${\ Displaystyle R / R ^ {\ ast}}$ z ${\ displaystyle G}$ jest elementarną abelową grupą p , ponieważ

${\ Displaystyle (10) \ qquad \ lbrack R, R \ rbrack \ cdot R ^ {p} \ równoważnik \ lbrack R ,F\rbrack \cdot R^{p}=R^{\ast}}$ .

Teraz możemy zdefiniować grupę pokrywającą p według ${\ displaystyle G}$

${\ Displaystyle (11) \ qquad G ^ {\ ast}: = F / R ^ {\ ast}}$ ,

i dokładna kolejność

${\ Displaystyle (12) \ qquad 1 \ longrightarrow R / R ^ {\ ast} \ longrightarrow F / R ^ {\ ast} \ longrightarrow F/R\longrightarrow 1}$

pokazuje, $że$ przez elementarny $-mnożnik$ p . Nazywamy

${\ Displaystyle (13) \ qquad \ mu (G): = \ dim _ {\ mathbb {F} _ {p}} (R /R^{\ast})}$

ranga p -mnożnika sol { \ $displaystyle G}$

Załóżmy teraz, że przypisana skończona $}(G)=c}$ klasy p do l p $do$$\ operatorname {cl}$ . warunki $fa$ l ${\ Displaystyle \ operatorname {cl} _ {p} (F/R) = c}$ implikować ${\ Displaystyle P_ {c} (F) \ równoważnik R}$ , zgodnie z regułą (R3) i możemy zdefiniować jądro przez . ${\ displaystyle G}$

${\ Displaystyle (14) \ qquad P_ {c} (G ^ {\ ast}) = P_ {c }(F)\cdot R^{\ast }/R^{\ast }\leq R/R^{\ast }}$

jako podgrupa mnożnika p . W konsekwencji ranga nuklearna

${\ Displaystyle (15) \ qquad \ nu (G): = \ dim _ {\ mathbb {F} _{p}}(P_{c}(G^{\ast}))\leq \mu (G)}$

od $jest$ ograniczona rangą p -mnożnika.

Dopuszczalne podgrupy mnożnika p

jak $poprzednio$ , niech $skończoną$ grupą p z .

Propozycja. Dowolne p - elementarne abelowe przedłużenie centralne

${\ Displaystyle (16) \ qquad 1 \ do Z \ do H \ do G \ do 1}$

sol {\ Displaystyle $}$ przez p - elementarną podgrupę abelową ${\ Displaystyle Z \ równoważnik \ zeta _ {1} (H)}$ tak, że ${\ Displaystyle d (H) = d (G) = d}$ jest ilorazem grupy obejmującej p $\ Displaystyle G ^ {\ ast}}$ sol ${\ displaystyle G$ .

Aby zobaczyć dowód, kliknij pokaż po prawej stronie.

Dowód

Powodem jest to, że skoro $\ do H}$ epimorfizm, $d}$$=$ takie, że ${\ Displaystyle \ vartheta = \ omega \ circ \ psi}$ , gdzie ${\ Displaystyle \ omega: \ H \ do H / Z \ simeq G}$ oznacza projekcję kanoniczną. W związku z tym mamy

${\ Displaystyle R = \ ker (\ vartheta) = \ ker (\ omega \ circ \ psi) = (\ omega \ circ \ psi) ^ {-1} (1) = \ psi ^ {-1} (\ omega ^{-1}(1))=\psi ^{-1}(Z)}$

$Displaystyle \ psi (R) = \ psi (\ psi ^ {- 1} (Z)) = Z}$ \ . $= Z ^ {p} = 1}$$-elementarny$ ) , ponieważ jest p i ${\ Displaystyle \ psi (\ lbrack R, F \ rbrack) = \ lbrack Z, H \ rbrack = 1}$ , ponieważ ${\ Displaystyle Z}$ jest centralny. Razem to pokazuje, że ${\ Displaystyle \ psi (R ^ {\ ast}) = \ psi (\ lbrack R, F \ rbrack \ cdot R ^{p})=1}$ , a zatem ${\ Displaystyle \ psi}$ indukuje pożądany epimorfizm ${\ Displaystyle \ psi ^ {\ ast}: \ G ^ {\ ast} \ do H}$ taki, że ${\ Displaystyle H \ simeq sol ^ {\ ast} / \ ker (\ psi ^ {\ ast})}$ .

$displaystyle H}$ szczególności bezpośredni potomek sol $\ displaystyle G}$ jest p -elementarnym abelowym centralnym rozszerzeniem H. {\

${\ Displaystyle (17) \ qquad 1 \ do P_ {c-1} (H) \ do H \ do G \ do 1}$

od ${\ displaystyle G$ }

$^ {p}}$${\ Displaystyle 1 = P_ {c} (H) = \ lbrack P_ {c-1} ( H), H \ rbrack \ cdot P_ {c-1} (H$${\ Displaystyle P_ {c-1} (H) ^ {p} = 1$ implikuje i ${\ Displaystyle P_ {c-1} (H) \ równoważnik \ zeta _ {1} (H)}$ ,

gdzie do $cl} _ {p} (H)}$ .

Definicja. Podgrupa $\ Displaystyle M/R ^ {\ ast} \ równoważnik R / R ^ {\ ast}}$$mnożnika$ p sol jest nazywana dopuszczalną, jeśli to jest dana przez jądro epimorfizmu ${\ Displaystyle M / R ^ {\ ast} = \ ker (\ psi ^ {\ ast})$$}: \ G ^ {\ ast} \ do H}$${\ displaystyle G}$ na bezpośredniego potomka ${\ displaystyle H}$ sol .

Równoważną charakterystyką $_$ _

${\ Displaystyle (18) \ qquad (M / R ^ {\ ast}) \ cdot (P_ {c}(F)\cdot R^{\ast }/R^{\ast })=R/R^{\ast }}$ .

Dlatego pierwsza część naszego celu, jakim jest skompilowanie listy wszystkich bezpośrednich potomków, $jest$ , kiedy skonstruowaliśmy wszystkie dopuszczalne podgrupy ${\ Displaystyle R / R ^ {\ ast}}$${\ Displaystyle P_ {c} (G ^ {\ ast}) = P_ {c} (F) \ cdot R ^$ do , gdzie ${\ Displaystyle c = \ operatorname {cl} _ {p} (G)}$ . Jednak ogólnie lista

${\ Displaystyle (19) \ qquad \ lbrace F/M \ quad \ mid \ quad M/R ^ {\ ast} \ równoważnik R /R^{\ast }{\text{ jest dozwolony }}\rbrace }$ ,

gdzie ${\ Displaystyle G ^ {\ ast} / (M / R ^ {\ ast}) = ( F/R ^ {\ ast})/(M/R ^ {\ ast}) \ simeq F/M} , będzie$ zbędne ze względu na izomorfizmy ${\ Displaystyle F/M_ { 1}\simeq F/M_{2}}$ wśród bezpośrednich potomków.

Orbity pod rozszerzonymi automorfizmami

Dwie dopuszczalne podgrupy ${\ Displaystyle M_ {1}/R ^ {\ ast}}$ i ${\ Displaystyle M_ {2}/R ^ {\ ast}}$ są nazywane równoważnymi, jeśli ilorazy ${\ Displaystyle F/M_ {1} \ simeq F/M_ {2}}$ , które są odpowiednimi bezpośrednimi potomkami ${\ Displaystyle G}$ , są izomorficzne.

Taki izomorfizm $\ F/M_ {1} \$$F / R}$ G $Displaystyle \ varphi$ z do $\ Displaystyle c = \ operatorname {cl} _ {p} (G)}$ tę właściwość, że ${\ Displaystyle \ varphi (R / M_ {1}) = \varphi (P_{c}(F/M_{1}))=P_{c}(\varphi (F/M_{1}))=P_{c}(F/M_{2})=R/M_ {2}}$ i tym samym indukuje automorfizm ${\ Displaystyle \ alfa \ in \ operatorname {Aut} (G)}$ z ${\ Displaystyle G}$ , który można rozszerzyć na automorfizm ${\ Displaystyle \ alfa ^ { \ ast } \ in \ operatorname {Aut} (G ^ {\ ast})}$ grupy obejmującej p ${\ Displaystyle G ^ {\ ast} = F/R ^ {\ ast} }$ z ${\ Displaystyle G}$ . Ograniczenie tego ${$ automorfizmu do p -mnożnika ${\ Displaystyle R / R ^ {\ ast}}$$G}$ \ jest określone jednoznacznie przez ${\ displaystyle \ alpha}$ .

Ponieważ ${\ Displaystyle \ alfa ^ {\ ast} (M / R ^ {\ ast}) \ cdot P_ {c} (F / R ^ {\ ast}) = \ alfa ^ {\ ast} \ lbrack M / R ^ {\ast}\cdot P_{c}(F/R^{\ast})\rbrack =\alpha ^{\ast}(R/R^{\ast})=R/R^{\ast}}$${\ Displaystyle \ alfa ^ {\ ast} \ w \ operatorname {Aut} (G ^ {\ ast})}$ ZA permutację ${\ Displaystyle \ alpha ^{\prime }}$ dopuszczalnych podgrup ${\ Displaystyle M / R ^ {\ ast} \ równoważnik R / R ^ {\ ast}}$ . P. ${\ Displaystyle P: = \ langle \ alfa ^ {\ pierwsza} \ środkowy \ alfa \ w \ operatorname {Aut} (G) \ rangle$ być grupą permutacji generowaną przez wszystkie permutacje indukowane przez automorfizmy ${\ displaystyle G}$ . Wtedy mapa ${\ Displaystyle \ operatorname {Aut} (G) \ do P}$ , ${\ Displaystyle \ alfa \ mapsto \ alfa ^ {\ pierwsza}}$ jest epimorfizmem i klasami równoważności dopuszczalnych podgrup $są$ dokładnie orbitami podgrup grupy $_$ _ _

Ostatecznie naszym celem jest sporządzenie listy wszystkich bezpośrednich potomków $displaystyle G}$${\ Displaystyle \ lbrace F/M_ {i} \ mid 1 \ równoważnik i \ równoważnik N \ rbrace$$}$ zostanie zrobione, gdy wybierzemy reprezentatywnego przedstawiciela każdej z orbit dopuszczalnych podgrup $Displaystyle$$M_ {i} / R ^ {\ ast}}$${\ Displaystyle R / R ^ {\ ast}}$ pod działaniem ${\ displaystyle P}$ . To jest dokładnie to, co algorytm generowania grupy p w jednym kroku rekurencyjnej procedury konstruowania drzewa potomnego przypisanego korzenia.

Zdolne grupy p i rozmiary kroków

Skończona grupa p nazywana jest zdolną (lub rozszerzalną $)$ , jeśli posiada co najmniej jednego bezpośredniego potomka, w przeciwnym razie jest terminalem (lub liściem . Stopień nuklearny przyznaje decyzję o zdolności sol ${\ displaystyle G}:$$G$$) { \ Displaystyle$ }

• ${\ Displaystyle G}$ jest terminalny wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ Displaystyle \ nu (G) = 0}$ .
• ${\ Displaystyle G}$ jest zdolny wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ Displaystyle \ nu (G) \ geq 1}$ .

W przypadku możliwości, ${$${\ Displaystyle 1 \ równoważnik s \ równoważnik \ nu}$ potomków rozmiarów kroków $Displaystyle \ nu$ , w zależności od indeksu ${\ Displaystyle (R / R ^ {\ ast}: M / R ^ {\ ast}) = p ^ {s}}$ odpowiedniej dopuszczalnej podgrupy ${\ Displaystyle M/R ^ {\ ast}}$ w mnożniku p ${\ Displaystyle R / R ^ {\ ast}}$ . Kiedy jest $porządek$${\ Displaystyle \ vert G \ vert = p ^ {n}}$ , to bezpośredni potomek wielkości kroku jest uporządkowany ${\ displaystyle s}$ ${\ Displaystyle \ # (F / M)=(F/R^{\ast }:M/R^{\ast })=(F/R^{\ast }:R/R^{\ast })\cdot (R/R^{ \ast}:M/R^{\ast})}$${\ Displaystyle = \ # (F / R) \ cdot p ^ {s} = \ vert G \ vert \ cdot p ^ {s} = p ^ {n }\cdot p^{s}=p^{n+s}}$ .

Dla powiązanego zjawiska multifurkacji drzewa potomnego w wierzchołku o randze jądrowej $sol$${\ Displaystyle \ nu (G) \ geq 2}$ o drzewach potomnych .

Algorytm generowania grup p $potomków$ do tych o jednym stałym rozmiarze kroku , w przypadku ogromne liczby potomków (patrz następna sekcja).

Liczby bezpośrednich potomków

Oznaczamy liczbę wszystkich bezpośrednich potomków , wzgl. bezpośredni potomkowie wielkości kroku $\$ odp. $displaystyle G}$ przez ${\ displaystyle N$ } ${\ Displaystyle N_ {s}}$ . Wtedy mamy ${\ Displaystyle N = \ suma _ {s = 1} ^ {\ nu} \, N_ {s}}$ . Jako konkretne przykłady przedstawiamy kilka interesujących skończonych metabelowych p $zdolnych$ potomków , identyfikatorów SmallGroups i dodatkowo wskazując liczby bezpośrednich potomków w ${\ Displaystyle (N_ {1}/C_ {1}; \ ldots; N_ {\ nu} / C_ {\ nu})}$ zgodnie z rzeczywistymi implementacjami z p -algorytm generowania grup w systemach algebry komputerowej GAP i MAGMA.

Po pierwsze, niech ${\ displaystyle p = 3}$ .

Zaczynamy od grup mających abelianizację typu ${\ Displaystyle (3,3)}$ . Zobacz rysunek 4 w artykule o drzewach potomnych .

• Grupa ${\ Displaystyle \ langle 27,3 \ rangle}$ coclass ${\ Displaystyle 1}$ ma szeregi ${\ Displaystyle \ nu = 2}$ , ${\ Displaystyle \ mu = 4 }$ i liczby potomne ${\ Displaystyle (4/1; 7/5)}$ , ${\ Displaystyle N = 11}$ .
• Grupa ${\ Displaystyle \ langle 243,3 \ rangle = \ langle 27,3 \ rangle - \ # 2; 1}$ coclass ${\ Displaystyle 2}$ ma stopnie ${\ Displaystyle \ nu = 2}$ , ${\ Displaystyle \ mu = 4}$ i liczby potomne ${\ Displaystyle (10/6; 15/15)}$ , ${\ Displaystyle N = 25}$ .
• Jeden z jej bezpośrednich potomków, grupa ${\ Displaystyle \ langle 729,40 \ rangle = \ langle 243,3 \ rangle - \ # 1; 7}$ , ma rangi ${\ Displaystyle \ nu = 2}$ , ${\ Displaystyle \ mu = 5}$ i liczby potomne ${\ Displaystyle (16/2; 27/4)}$ , ${\ Displaystyle N = 43}$ .

Natomiast grupy z $częściowo$ granicą

• Grupa ${\ Displaystyle \ langle 81,12 \ rangle}$ coclass ${\ Displaystyle 2}$ ma szeregi ${\ Displaystyle \ nu = 2}$ , ${\ Displaystyle \ mu = 7 }$ i liczby potomne ${\ Displaystyle (10/2; 100/50)}$ , ${\ Displaystyle N = 110}$ .
• Grupa ${\ Displaystyle \ langle 243,37 \ rangle}$ coclass ${\ Displaystyle 3}$ ma szeregi ${\ Displaystyle \ nu = 5}$ , ${\ Displaystyle \ mu = 9 }$ i numery potomne ${\ Displaystyle (35/3; 2783/186; 81711/10202; 350652/202266; \ ldots)}$ , ${\ Displaystyle N> 4 \ cdot 10 ^ {5}}$ nieznane.
• Grupa ${\ Displaystyle \ langle 729122 \ rangle}$ z coclass ${\ Displaystyle 4}$ ma szeregi i ${\ Displaystyle \ nu = 8}$ μ $\ Displaystyle \ mu = 11$ } liczby potomków ${\ Displaystyle (45/3; 117919/1377; \ ldots$ , ${\ Displaystyle N> 10 ^ {5}}$ nieznane.

Następnie niech ${\ displaystyle p = 5}$ .

$.$ grupy z abelianizacją typu mają większe liczby potomków niż dla $= 3$ \

• Grupa ${\ Displaystyle \ langle 125,3 \ rangle}$ coclass ${\ Displaystyle 1}$ ma szeregi ${\ Displaystyle \ nu = 2}$ , ${\ Displaystyle \ mu = 4 }$ i liczby potomne ${\ Displaystyle (4/1; 12/6)}$ , ${\ Displaystyle N = 16}$ .
• Grupa ${\ Displaystyle \ langle 3125,3 \ rangle = \ langle 125,3 \ rangle - \ # 2; 1}$ coclass ${\ Displaystyle 2}$ ma stopnie ${\ Displaystyle \ nu = 3}$ , ${\ Displaystyle \ mu = 5}$ i liczby potomne $)}$${\ Displaystyle N = 116$ , .

Mnożnik Schura

$\ mathbb {Q} /\ mathbb {Z} \ do \ mu _ {\ infty}}$ Displaystyle , ${\ Displaystyle {\frac {n}{d}}\mapsto \exp \left({\frac {n}{d}}\cdot 2\pi i\right)}$ grupa ilorazowa ${\ Displaystyle \ mathbb {Q} /\ mathbb {Z} = \ lewo \ lbrace {\ Frac {n} {d}} \ cdot \ mathbb {Z} \ mid d \ geq 1, \ 0 \leq n\leq d-1\right\rbrace}$ można postrzegać jako addytywny analog grupy multiplikatywnej ${\ Displaystyle \ mu _ { \infty }=\lbrace z\in \mathbb {C} \mid z^{d}=1{\text{ dla pewnej liczby całkowitej }}d\geq 1\rbrace } wszystkich$ pierwiastków jedności .

Niech $,$$liczbą$ i skończoną $grupą$ z poprzedniej . Następnie druga grupa kohomologii ${\ Displaystyle M (G): = H ^ {2} (G, \ mathbb {Q} / \ mathbb {Z})}$ z ${\ Displaystyle G}$ -moduł $displaystyle G$ się mnożnikiem Schura z $sol$ . Można to również interpretować jako grupę ilorazów ${\ Displaystyle M (G) = (R \ cap \ lbrack F, F \ rbrack) / \lbrack F,R\rbrack }$ .

IR Shafarevich udowodnił, że różnica między rangą relacji ${\ Displaystyle r (G) = \ dim _ {\ mathbb {F} _ {p }} (H ^ {2} (G, \ mathbb {F} _ {p})}}$ z ${\ Displaystyle G}$ i rangi generatora ${\ Displaystyle d (G) = \ dim _ {\ mathbb {F} _ {p}} (H ^ {1} (G, \ mathbb {F} _ {p})}}$ sol {\ $displaystyle$$G} jest$${\ Displaystyle r (G)-d(G)=d(M(G))}$ przez minimalną liczbę generatorów mnożnika Schura z czyli .

N. Boston i H. Nover wykazali, że ${\ Displaystyle \ mu (G_ {j}) - \ nu (G_ {j}) \ równoważnik r ( sol)}$ , dla wszystkich ilorazów ${\ Displaystyle G_ {j}: = G / P_ {j} (G)$ klasy p do ${\ Displaystyle \ operatorname {cl} _ {p} (G_ {j}) = j}$ , ${\ Displaystyle j \ geq 0}$${\ Displaystyle G}$ prop - p sol ze skończoną abelianizacją ${\ Displaystyle G / G ^ {\ pierwsza}}$ .

$z$ (w dodatku O jądrze niektórych grup p w artykule N. Bostona, MR Busha i F. Hajira) udowodnił , że niecykliczna skończona grupa p trywialny mnożnik Schura $($ w drzewie potomnym ${\ Displaystyle {\ mathcal {T}} (1)}$ 1 $Displaystyle 1 }$ , czyli ${\ Displaystyle M (G) = 1}$${\ Displaystyle \ Strzałka w prawo}$${\ Displaystyle \ nu (G) = 0}$ .

Przykłady

• Skończona grupa p ma zrównoważoną prezentację $G) = d (G)}$$\ Displaystyle r$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ Displaystyle r (G) -d (G) = 0 = d (M (G))}$ , to znaczy wtedy i tylko wtedy, gdy jego mnożnik Schura ${\ Displaystyle M (G) = 1}$ jest trywialne. Taka grupa nazywana jest grupą Schura i musi być liściem w drzewie potomnym ${\ Displaystyle {\ mathcal {T}} (1)}$ .
• Skończona p -grupa spełnia $sol$${\ Displaystyle r (G) = d (G) + 1}$ i tylko wtedy, ${\ Displaystyle r (G) -d (G) = 1 = d (M (G))}$ , to znaczy wtedy i tylko wtedy, gdy ma nietrywialny cykliczny mnożnik Schura ${\ Displaystyle M (G)}$ . Taka grupa nazywana jest grupą Schur+1 .