Ołówek Lefschetza

W matematyce ołówek Lefschetza jest konstrukcją w geometrii algebraicznej rozważanej przez Solomona Lefschetza , używaną do analizy topologii algebraicznej odmiany algebraicznej V.

Opis

Ołówek jest szczególnym rodzajem liniowego układu dzielników na V , a mianowicie jednoparametrową rodziną sparametryzowaną linią rzutową . Oznacza to, że w przypadku złożonej rozmaitości algebraicznej V ołówek Lefschetza jest czymś w rodzaju fibracji nad sferą Riemanna ; ale z dwoma zastrzeżeniami co do osobliwości.

Pierwszy punkt pojawia się, gdy założymy, że V jest dane jako rozmaitość rzutowa , a dzielniki na V są przekrojami hiperpłaszczyznowymi . Załóżmy, że dane są hiperpłaszczyzny H i H ′ obejmujące ołówek - innymi słowy, H jest dane przez L = 0, a H ′ przez L ′ = 0 dla form liniowych L i L ′, a ogólny przekrój hiperpłaszczyzny to V przecięty przez

${\ Displaystyle \ lambda L + \ mu L ^ {\ pierwsza} = 0. \}$

Wtedy przecięcie J z H z H ′ ma współwymiar dwa. Istnieje racjonalne mapowanie

${\ Displaystyle V \ rightarrow P ^ {1} \}$

który jest w rzeczywistości dobrze zdefiniowany tylko poza punktami na przecięciu J z V . Aby uzyskać dobrze zdefiniowane odwzorowanie, V należy zastosować pewne powiększenie .

Drugim punktem jest to, że włókna same mogą „zdegenerować się” i uzyskać punkty osobliwe (tam, gdzie ma zastosowanie lemat Bertiniego , ogólny przekrój hiperpłaszczyzny będzie gładki). Ołówek Lefschetza ogranicza charakter uzyskanych osobliwości, dzięki czemu topologię można analizować metodą cyklu znikającego . Włókna z osobliwościami muszą mieć tylko unikalną kwadratową osobliwość.

Wykazano, że ołówki Lefschetza istnieją w charakterystycznym zera . Stosują się w sposób podobny do funkcji Morse'a na rozmaitościach gładkich , ale bardziej skomplikowanych . Wykazano również, że ołówki Lefschetza istnieją w charakterystycznym p dla topologii etale.

Simon Donaldson znalazł rolę ołówków Lefschetza w topologii symplektycznej , co doprowadziło do zainteresowania nimi w nowszych badaniach.

Zobacz też

• Teoria Picarda-Lefschetza

•   Donaldson, Simon K. (1998). „Fibracje Lefschetza w geometrii symplektycznej”. Documenta Mathematica (Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. II (Berlin, 1998)). Dodatkowy tom II: 309–314. MR 1648081 .
•   Griffiths, Phillip ; Harris, Joe (1994). Zasady geometrii algebraicznej . Biblioteka Wiley Classics. Wiley Interscience. P. 509. ISBN 0-471-05059-8 .

Linki zewnętrzne

• Gompf, Robert (2005). „Co to jest ołówek Lefschetza?” (PDF) . Zawiadomienia Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego . 52 (8).
•   Gompf, Robert (2001). „Topologia rozmaitości symplektycznych” (PDF) . Turecki Dziennik Matematyczny . 25 : 43–59. MR 1829078 .