Rozwiązanie w rodnikach

Rozwiązanie w pierwiastkach lub rozwiązaniu algebraicznym jest wyrażeniem w postaci domkniętej , a dokładniej wyrażeniem algebraicznym w postaci domkniętej , czyli rozwiązaniem równania wielomianowego , i polega tylko na dodawaniu , odejmowaniu , mnożeniu , dzieleniu , podnoszeniu do potęg całkowitych, oraz ekstrakcja $n$ -tych pierwiastków (pierwiastki kwadratowe, pierwiastki sześcienne i inne pierwiastki całkowite).

Dobrze znanym przykładem jest rozwiązanie

{\ Displaystyle x = {\ Frac {-b \ pm {\ sqrt {b ^ {2} -4ac \}}} {2a}}}

równania kwadratowego

{\ Displaystyle ax ^ {2} + bx + c = 0.}

Istnieją bardziej skomplikowane rozwiązania algebraiczne dla równań sześciennych i równań kwartalnych . Twierdzenie Abla – Ruffiniego i bardziej ogólnie teoria Galois stwierdzają, że niektóre równania kwintyczne , takie jak

{\ Displaystyle x ^ {5} -x + 1 = 0,}

nie mają rozwiązań algebraicznych. To samo dotyczy każdego wyższego stopnia. Jednak dla dowolnego stopnia istnieją równania wielomianowe, które mają rozwiązania algebraiczne; ${\ Displaystyle x = \ pm {\ sqrt [{10}] {2}}.$ $x$ równanie rozwiązać Osiem innych rozwiązań to nierzeczywiste liczby zespolone , które są również algebraiczne i mają postać ${\ Displaystyle x = \ pm r {\ sqrt [{10}] {2}},}$ gdzie $r$ jest piątym pierwiastkiem jedności , który można wyrazić za pomocą dwóch zagnieżdżonych pierwiastków kwadratowych . Zobacz także funkcja Quintic § Inne rozwiązywalne kwintyki, aby zapoznać się z różnymi innymi przykładami w stopniu 5.

Évariste Galois wprowadził kryterium pozwalające zdecydować, które równania są rozwiązywalne w pierwiastkach. Zobacz rozszerzenie Radical , aby zapoznać się z dokładnym sformułowaniem jego wyniku.

Rozwiązania algebraiczne tworzą podzbiór wyrażeń w formie zamkniętej , ponieważ te ostatnie dopuszczają funkcje transcendentalne (funkcje niealgebraiczne), takie jak funkcja wykładnicza , funkcja logarytmiczna , funkcje trygonometryczne i ich odwrotności.

Zobacz też